上海民办交华中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE CD ⊥，GF BC ⊥，1500m AD =，小敏行走的路线为B A G E →→→，小聪行走的路线为B A D E F →→→→．若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为（ ）
A ．3100m
B ．4600m
C ．5500m
D ．6100m 2．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M 所代表的正方形面积可表示为（ ）
A ．40064-
B ．2240064-
C ．2240064-
D ．40064+ 3．如图，在ABC 中，D ，
E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，
F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
4．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）
A ．AE CF =
B ．DE BF =
C ．ADE CBF ∠=∠
D ．AB
E CD
F ∠=∠
5．平行四边形一边的长是12cm ，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A ．4cm 或6cm B ．6cm 或10cm C ．12cm 或12cm D ．12cm 或14cm 6．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：
①AB ∥CD ，AD ∥BC ；
②AB CD =，AD BC =；
③AO CO =，BO DO =；
④AB ∥CD ，AD BC =．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A ．1组；
B ．2组；
C ．3组；
D ．4组．
8．如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知AC ＝4，则DE 为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 9．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ）
A ．平行四边形
B ．正方形
C ．矩形
D ．菱形 10．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点
E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作ED
F ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）
A ．6
B ．3
C ．43
D ．423+ 11．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）
A ．18°
B ．36°
C ．72°
D ．144°
12．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（ ）
A ．12a
B ．25a
C ．32a
D ．33
a 二、填空题
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为DB 、BC 的中点，若AB ＝8，则EF ＝_____．
14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 是对角线BD 上一动点（点O 与端点B ，D 不重合），OM ⊥AD 于点M ，ON ⊥AB 于点N ，连接MN ，则MN 长的最小值为_____．
15．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．
16．菱形有一个内角为120︒，较长的对角线长为63，则它的面积为__________． 17．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将∠B 沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB ＝_______．
18．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．
19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，延长BC 至E 点，使CE BC =，连结AE 交CD 于点F ，连结BF 并延长与线段DE 交于点G ，则FG 的长是____．
20．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．
参考答案
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，连接AC ，DF ．
（1）求证：AEF ≌DEC ；
（2）求证：四边形ACDF 是平行四边形．
22．如图，将长方形ABCD 边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，求DE 的长．
23．如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =．
求证：（1）BE DF =；
（2）//BE DF ．
24．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AD 的两侧，且AC BD =，EBC FCB ∠=∠，BE CF =．
求证：四边形AFDE 是平行四边形；
25．如图，已知点D 在ABC 的BC 边上，//DE AC 交AB 于E ，//DF AB 交AC 于F ．
（1）求证：AE DF =；
（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
26．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．
（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
连接CG ，由正方形的对称性，易知AG=CG ，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE ⊥DC ，易得DE=GE ．在矩形GECF 中，EF=CG ．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．
【详解】
解：连接GC ，
∵四边形ABCD 为正方形，
所以AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDB=45°，GE ⊥DC ，
∴△DEG 是等腰直角三角形，
∴DE=GE ．
在△AGD 和△GDC 中，
AD CD ADG CDG DG DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AGD ≌△GDC （SAS ）
∴AG=CG ，
在矩形GECF 中，EF=CG ，
∴EF=AG ．
∵BA+AD+DE+EF-BA-AG-GE ，
=AD=1500m ．
∵小敏共走了3100m ，
∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m ），
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF ，DE=GE ．
2．A
解析：A
【分析】
要求图中字母所代表的正方形的面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理即可求出2a ，即可得到答案．
【详解】
设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，
则2400c =，264b =，
如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：
22240064a c b =-=-，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．
3．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
BC=6，
2
∵DE=3DF，
∴EF=4，
∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴AC=2EF=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．
【详解】
，
解：A、∵AE CF
∴AO=CO，
由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA=12AC ，OB=12BD ，然后利用三角形三边关系分析求解即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=12AC ，OB=12
BD ，
A 、∵AC=4cm ，BD=6cm ，
∴OA=2cm ，OB=3cm ，
∴OA+OB=5cm ＜12cm ，不能组成三角形，故不符合；
B 、∵AC=6cm ，BD=10cm ，
∴OA=3cm ，OB=5cm ，
∴OA+OB=8cm ＜12cm ，不能组成三角形，故不符合；
C 、∵AC=12cm ，BD=12cm ，
∴OA=6cm ，OB=6cm ，
∴OA+OB=12cm=12cm ，不能组成三角形，故不符合；
D 、∵AC=12cm ，BD=14cm ，
∴OA=6cm ，OB=7cm ，
∴OA+OB=13cm ＞12cm ，能组成三角形，故符合；
故选D ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．
6．C
解析：C
【分析】
根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【详解】
解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．
ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．
根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．
,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．
AO OD ∴=．
,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④,DAO BAO BO DO ∠∠==，
AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，
∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．
故选：C ．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．C
解析：C
【分析】
根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．
【详解】
解：①AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
②AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；
③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
④AB ∥CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键． 8．B
解析：B
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ＝12AC ＝12
⨯4＝2， 故选：B ．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.
【详解】
如图，设矩形ABCD 各边的中点依次为E ，F ，G ，H ，
∴EF ，FG ，GH ，HE 分别是△ABC ，△BCD ，△CDA ，△DAB 的中位线，
∴EF=12AC ，FG=12BD ，GH=12AC ，EH=12
BD ， ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD ，
∴EF=FG=GH=HE ，
∴四边形EFGH 是菱形，
故选D.
【点睛】
本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.
10．D
解析：D
【分析】
只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长
4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．
【详解】
解：连接BD ，
菱形ABCD 中，60A ∠=︒，
ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，
60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，
60EDF ∠=︒，
BDE CDF ∴∠=∠，
在BDE ∆和CDF ∆中，
DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DBE DCF ∴∆≅∆，
DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，
60EDF BDC ∴∠=∠=︒，
DEF ∴∆是等边三角形，
BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，
∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，
当DE AB ⊥时，DE 最小2
3=，
BEF ∴∆的周长最小值为423+，
故选：D ．
【点睛】
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．
11．B
解析：B
【分析】
利用平行四边形的性质解决问题即可
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，
∵BC ∥AD ，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A ，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B ．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12．D
解析：D
【分析】
首先证明△OBC 是等边三角形，在Rt △EBC 中求出CE 即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB=OC ，∠BCD=90°，
由翻折不变性可知：BC=BO ，
∴BC=OB=OC ，
∴△OBC 是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠EBC=∠EBO=30°，
∴BE=2CE
根据勾股定理得：
， 故选：D ．
【点睛】
本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC 是等边三角形． 二、填空题
13．2【分析】根据直角三角形的性质求出再根据三角形中位线定理计算即可
【详解】解：在中是斜边上的中线分别为的中点是的中位线故答案为：2【点睛】本题考查的是直角三角形的性质三角形中位线定理掌握三角形的中位线 解析：2
【分析】
根据直角三角形的性质求出CD ，再根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，8AB =，
118422
CD AB ∴==⨯=， E 、F 分别为DB 、BC 的中点，
EF ∴是BCD ∆的中位线，
114222
EF CD ∴==⨯=， 故答案为：2．
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．1【分析】连接AO可证四边形AMON是矩形可得AO＝MN当AO⊥BD时AO有最小值即MN有最小值由等腰直角三角形的性质可求解【详解】解：如图连接AO∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BD＝AB＝
解析：1.
【分析】
连接AO，可证四边形AMON是矩形，可得AO＝MN，当AO⊥BD时，AO有最小值，即MN有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD2BD2＝2，∠DAB＝90°，
又∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴四边形AMON是矩形，
∴AO＝MN，
∵当AO⊥BD时，AO有最小值，
∴当AO⊥BD时，MN有最小值，
此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，
∴AO＝1
BD＝1，
2
∴MN的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质，利用矩形的对角线相等，把线段MN的最小值转化为线段AO的最小值是解题的关键. 15．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC由平行线的性质得到
∠AEG=∠EGF根据折叠的性质得到推出△GEF是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠AEG
解析：24
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性质
得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEG=∠EGF ，
∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，
∴60GEF DEF ∠=∠=︒，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF 是等边三角形，
∵EF=8，
∴△GEF 的周长=24，
故答案为：24．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
16．【分析】由题意画出菱形根据菱形的对角线性质得继而解出由含30°角的直角三角形性质解得在中利用勾股定理解得进一步得到最后由菱形的面积公式解题即可【详解】解：如图菱形中在中设则解得菱形的面积故答案为：【 解析：183 【分析】 由题意画出菱形ABCD ，根据菱形的对角线性质得
160,2
BAC BAD AC BD ∠=∠=︒⊥，继而解出30ABO ∠=︒，由含30°角的直角三角形性质解得33BO =，在Rt ABO 中，利用勾股定理解得3AO =，进一步得到6AC =，最后由菱形的面积公式解题即可．
【详解】
解：如图，
菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，
160,2
BAC BAD AC BD ∴∠=∠=︒⊥
30ABO ∴∠=︒
6BD =
BO ∴=在Rt ABO 中，设AO x =，则2AB x =，
222(2)x x ∴+=
22274x x +=
解得3x =
3AO ∴=
6AC ∴=
∴
菱形的面积62S =÷=
故答案为：
【点睛】
本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．【分析】利用矩形和折叠的性质证明
∠ADE=∠ADE=∠ADC=30°∠C=∠ABD=90°推出△DBA ≌△DCA 那么DC=DB 设AB=DC=x 在Rt △ADE 中通过勾股定理可求出AB 的长度【详解】解：
【分析】
利用矩形和折叠的性质，证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，∠C=∠A'B'D=90°，推出△DB'A'≌△DCA'，那么DC=DB'，设AB=DC=x ，在Rt △ADE 中，通过勾股定理可求出AB 的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC ，
由翻折知，△AED ≌△A'ED ，△A'BE ≌△A'B'E ，∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°，
∴∠AED=∠A'ED ，∠A'EB=∠A'EB'，BE=B'E ，
∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=13
×180°=60°， ∴∠ADE=90°-∠AED=30°，∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°，
∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，
又∵∠C=∠A'B'D=90°，DA'=DA'，
∴△DB'A'≌△DCA'（AAS ），
∴DC=DB'，
在Rt △AED 中，
∠ADE=30°，AD=2，
∴
3
，
设AB=DC=x ，则 ∵AE 2+AD 2=DE 2，
∴222233
x x +=+-（（
解得，x 1（负值舍去），x 2，
【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明
∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°．
18．2或【分析】分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M 交BC 于N 则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交
解析：2 【分析】
分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=12
AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E ，即可得出结果．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，
则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM=BN=12
AD=2， ∵△ABE 沿BE 折叠得到△A′BE ，
∴A′E=AE ，A′B=AB=2，
∴，即A′与N 重合，
∴A′M=2= A′E ，
∴AE=2；
②如图2，过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，
则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ ⊥AB ，AP=PB ，AD ∥PQ ∥BC ，
∴A′B=2PB ，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，
设A′E=x ，则BE=2x ，
在△A′EB 中，()22222x x =+，
解得：x=23， ∴AE=A′E=23；
综上所述：AE 的长为223， 故答案为：2或
33
． 【点睛】 本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．
19．【分析】用全等三角形的判定AAS 得出△ADF ≌△ECF 进而得出FG 是△DCP 的中位线得出DG=GP=PE=再利用勾股定理得出BG 的长进而得出FG 即可
【详解】解：如图过点C 作CP ∥BG 交DE 于点P ∵B
5【分析】
用全等三角形的判定AAS 得出△ADF ≌△ECF ，进而得出FG 是△DCP 的中位线，得出
DG=GP=PE=1
2233
DE =，再利用勾股定理得出BG 的长，进而得出FG 即可． 【详解】 解：如图，过点C 作CP ∥BG ，交DE 于点P ．
∵BC=CE=2，
∴CP 是△BEG 的中位线，
∴P 为EG 的中点．
又∵AD=CE=2，AD ∥CE ，
在△ADF 和△ECF 中，
AFD EFC ADC FCE AD CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADF ≌△ECF （AAS ），
∴CF=DF ，又CP ∥FG ，
∴FG 是△DCP 的中位线， ∴G 为DP 的中点．
∵CD=CE=2，
∴2，
因此DG=GP=PE=
12233DE =． 连接BD ，
易知∠BDC=∠EDC=45°，
所以∠BDE=90°．
又∵22BD = ∴2284589BG BD DG =
+=+=． ∴11524FG CP BG === 5 【点睛】
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得
出正确辅助线是解题关键．
20．【分析】先计算出C1C2的长进而得到规律最后求出C2020的长即可【详解】解：∵E 是BC 的中点ED ∥AB ∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ＝AB ＝AD ＝AC ＝∵EF ∥AC ∴四边形EDAF 是菱形∴C1＝4 解析：20181
2
【分析】
先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．
【详解】
解：∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12
， ∵EF ∥AC ，
∴四边形EDAF 是菱形，
∴C 1＝4×12
， 同理C 2＝4×
12×12=4×212， …
C n ＝4×12n
， ∴20202020
20181
1422C =⨯=． 故答案为：
20181
2．
【点睛】 本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD ，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE ，利用ASA 即可证明△AEF ≌△DEC ；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】
（1）∵在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，
∴∠FAE ＝∠CDE ，
∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中
FAE CDE AE DE
AEF DEC ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
22．10 3
【分析】
先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵S△ABF=24，
∴1
2AB•BF＝24，即
1
2
×6×BF＝24．
解得：BF=8．
在Rt△ABF中由勾股定理得：
=10．
由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE．
∴FC=10-8=2．
设DE=x，则EC=6-x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，x2=4+（6-x）2．
解得：x=10
3
，
∴DE=10
3
．
【点睛】
本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．
【详解】
证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，
,//AD BC AD BC ∴=，
DAC BCA ∴∠=∠，
DAF BCE ∴∠=∠，
AE CF =，
AF EC ∴=，
在ΔFAD 和ΔECB 中，
AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ΔΔ()FAD ECB SAS ∴≅，
BE DF ∴=；
（2）ΔΔFAD ECB ≅，
F E ∠=∠∴，
//BE DF ∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD ≌△ECB 是解题的关键．
24．见解析
【分析】
证明△ABE ≌△DCF ，得到AE=DF ，∠EAB=∠FDC ，推出AE ∥DF ，即可证明结论．
【详解】
解：∵AC=BD ，即AB+BC=CD+CB ，
∴AB=CD ，
∵∠EBC=∠FCB ，
∴∠ABE=∠DCF ，
在△ABE 和△DCF 中，
AB CD ABE DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△DCF （SAS ），
∴AE=DF ，∠EAB=∠FDC ，
∴AE ∥DF ，
∴四边形AFDE 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是根据全等得到对应角和对应边相等．
25．（1）见解析；（2）菱形，见解析
【分析】
（1）由DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，可证得四边形AEDF 是平行四边形，即可证得结论；
（2）由AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，易证得△ADE 是等腰三角形，又由四边形AEDF 是平行四边形，即可证得四边形AEDF 是菱形．
【详解】
（1）证明：∵DE ∥AC ，DF ∥ AB ，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
∴DE=AF ；
（2）若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形；
理由：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD ，
∵DE ∥AC ，
∴∠ADE=∠FAD ，
∴∠EAD=∠ADE ，
∴AE=DE ，
∵四边形AEDF 是平行四边形，
∴四边形AEDF 是菱形．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．注意熟练掌握菱形的判定方法是解此题的关键．
26．（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒
【分析】
（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12
GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；
（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12
GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；
（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．
【详解】
证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，
//EG AB ∴，且12
GE AB =，
同理可证：//HF AB ，且12
HF AB =， //EG HF ∴，且EG HF =，
∴四边形EGFH 是平行四边形；
（2）GH EF ⊥，
理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，
12
GF CD ∴=， 由（1）知12
GE AB =， 又AB CD =，
GE GF ∴=， 又四边形EGFH 是平行四边形，
∴四边形EGFH 是菱形，
GH EF ∴⊥；
（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，
//EG AB ∴，//HF AB ，12
GE AB =， //EG HF ∴，
同理可证//EH GF ，12
GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，
∵AB CD =，
GE GF ∴=，
∴四边形EGFH 是菱形，
20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ，
∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，
∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，
∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，
∵FE 平分∠GEH ，
∴∠GEF=
11502522
GEH ∠=⨯︒=︒． 故答案为：25︒．
【点睛】 本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．。