2025届湖南省百所重点名校高三第一次调研测试数学试卷含解析

2025届湖南省百所重点名校高三第一次调研测试数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，则复数2
4
(1)i =-（ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
2．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫
=-
≠ ⎪⎝
⎭的图象向右平移4
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）
A ．
512
π
B ．
56
π C ．
6
π D ．
12
π
3．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π
B ．86π
C ．
433
π
D ．12π
4．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
6．已知集合A {x x 0}︱=>，2
B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-
B ．6
C ．5
D ．5-
7．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
9．若双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆()2
221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )
A ．2
B ．
3
2
C ．
23
3
D ．3
10．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+= 11．已知数列满足
，且
，则数列
的通项公式为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数e 1()e 1
x x f x -=+，()
0.32a f =，()
0.3
0.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________. 14．对定义在[0,1]上的函数()f x ，如果同时满足以下两个条件： （1）对任意的[0,1]x ∈总有()0f x ；
（2）当10x ，20x ，121x x +时，总有()()()1212f x x f x f x ++成立.
则称函数()f x 称为G 函数.若()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数，则实数a 的取值范围为________.
15． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．
16．设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = . 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin 42
πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭.
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点()0,1M ，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值
18．（12分）设函数1
1f x x
=-（
），ln g x x =（）， （Ⅰ）求曲线21y f x =-（）在点（1,0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y f x g x =⋅（）（）在区间1[,]e e
上的取值范围．
19．（12分）如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.
（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；
（2）若30CAD ∠=︒，二面角 C AB D --为60，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值. 20．（12分）已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）求
12
a b
+的最小值； （2）证明：
22
25
12
ab b a b +<++. 21．（12分）已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平
面直角坐标系，直线l 的参数方程是2
2(22
x t m t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值. 22．（10分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线
与椭圆交于
两点，
点
在上，且满足
.(点
从上到下依次排列)
(I )试用表示：
(II )证明：原点到直线l 的距离为定值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
根据复数的基本运算求解即可. 【详解】
22
4422(1)2i
i i i i ===---.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题. 2、A 【解析】
先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】
()sin 2(0)6f x A x A π⎛
⎫=-≠ ⎪⎝
⎭的图象向右平移4π个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 22
63g x A x A x π
ππ⎛
⎫
⎛
⎫
=-
-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
， 故()2sin 223
g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝
⎭
. 令22232x m k πππ--
=+，k Z ∈，解得7122
k x m ππ=++，k Z ∈.
因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122
ππ+
+=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ
=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512
m π
=. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数
()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．
3、A 【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为2 设球的半径为r ， 则()
2
22224r =
+6r =
所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题． 4、B
根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．
由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ． 5、B 【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】
∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+, ∴()()111
1a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪
⎨
+=++⎪⎩，
解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6、A 【解析】
由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b . 【详解】
{}3A B ⋂=，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，
故选：A 【点睛】
本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题. 7、D 【解析】
求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.
复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题. 8、C 【解析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，
∴1634657
66636222
a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 9、C 【解析】
利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1
1=，
所以223a b ，c e a =
===
3
. 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题. 10、B 【解析】
设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解；
解：设z x yi =+
∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题. 11、D 【解析】 试题分析：因为，所以
，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即
，所以数列
的通项公式是
，故选D ．
考点：数列的通项公式． 12、B 【解析】
可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.3
0.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.
【详解】
12()111
e e x x x
f x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.3
0.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、9 【解析】
用1n -换(21)3n n S a +=中的n ，得11233(2)n n S a n --=+≥，作差可得13(2)n n a a n
，从而数列{}n a 是等比数
列，再由28
10
a k q a ==即可得到答案. 【详解】
由233n n S a =+，得11233(2)n n S a n --=+≥，两式相减，得1233n n n a a a -=-， 即13(2)n
n a a n
；又11233S a =+，解得13a =-，所以数列{}n a 为首项为-3、
公比为3的等比数列，所以28
10
9a k q a ===. 故答案为：9. 【点睛】
本题考查已知n a 与n S 的关系求数列通项的问题，要注意n 的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题. 14、{}1 【解析】
由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：12x
a ≥对任意的[0,1]x ∈恒成立，解得1a ≥，又()()121
2121x x a a
-≤--在120,0x x ≥≥，121x x +≤恒成立，即1
0a a
-≤，所以1a ≤，从而可得1a =. 【详解】
因为()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数，
所以对任意的[0,1]x ∈总有()0h x ≥， 则1
2
x a ≥
对任意的[0,1]x ∈恒成立， 解得1a ≥， 当1a ≥时，
又因为10x ，20x ，121x x +时， 总有()()()1212h x x h x h x ++成立，
即()()()1
2
1112122
221x x x x h x x h x h x a a a ++-+=⋅-⋅-⋅+⎡⎤⎣⎦
()()12212110x x a a =--+-≥恒成立，
即
()()121
2121x x a a
-≤--恒成立， 又此时(
)(
)
122121x
x
--的最小值为0， 即
1
0a a
-≤恒成立， 又因为1a ≥ 解得1a =.
故答案为：{}1 【点睛】
本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题. 15、24 【解析】
分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列． 【详解】
第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有2
22A =种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有23
2312A A =种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为223
22324A A A =．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法． 16、
.
【解析】 试题分析：∵，，
成等差数列，∴
，
又∵等比数列
，∴
.
考点：等差数列与等比数列的性质.
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列 基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）C 的普通方程为()2
224x y -+=，l 的直角坐标方程为1x y +=；（2）32【解析】
（1）在曲线C 的参数方程中消去参数α可得出曲线C 的普通方程，利用两角和的正弦公式以及cos sin x
y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可将直
线l 的极坐标方程化为普通方程；
（2）设直线l
的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），并设点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，利用韦达定理可求得12MA MB t t +=+的值.
【详解】
（1）由22cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩，得22cos x α-=，2sin y α=， ∴曲线C 的普通方程为()2224x y -+=，
由sin 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，得sin cos 1ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为1x y +=； （2）设直线l
的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
代入()2
224x y -+=
，得210t ++=，则184140∆=-=>，
设A 、B 两点对应参数分别为1t 、2t
，120t t ∴+=-，1210t t =>， 10t ∴<，20t <
，1212MA MB t t t t ∴+=+=+=【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.
18、（1）1y x =-（2
）1]
【解析】
分析：(1)先断定(1,0)在曲线(21)y f x =-上，从而需要求'(21)f x -，令1x =，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.
详解：（Ⅰ）当1x =，()()2110y f f =-==. ()()3/21''2121y f x x =-=
-，
当1x =，()''11y f ==， 所以切线方程为1y x =-.
（Ⅱ）1ln ln y x x ⎛
== ⎝
, ln 11'x y x +
==,因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以0>. 令(
)ln 12x h x =+，(
)'0h x =>，则()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 因为()1=0h ，所以()()y f x g x =⋅在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上增，在[]
1,e 单调递增. ()()min 110y f g =⋅=,()(
)max 11max ,max 1,1y f g f e g e e e ⎧⎫⎛⎫
⎛⎫=⋅⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭,
11>()()y f x g x =⋅在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为1⎡⎤⎣⎦. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.
19、（1）证明见解析
（2
）6
【解析】
（1）取AC 中点,F 连接,FD FB ，得,DF AC ⊥AB BC ⊥，可得FA FB FC ==，
可证DFA DFB ≌，可得DF FB ⊥，进而DF ⊥平面ABC ，即可证明结论；
（2）设,,E G H 分别为边,,AB CD BD 的中点，连,,,,DE EF GF FH HG ，可得//GF AD ，//,//GH BC EF BC ，可得FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角，BC AB ⊥，可得EF AB ⊥，DEF ∠为二面角 C AB D --的平面角，即60DEF ∠=，设AD a =，求解FGH ∆，即可得出结论.
【详解】
（1）证明:取AC 中点,F 连接,FD FB ，
由,DA DC =则,DF AC ⊥
AB BC ⊥，则FA FB FC ==，
故DFA DFB ≌，2DFB DFA π
∠=∠=，
,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=
DF ⊥∴平面ABC ，又DF ⊂平面ACD ，
故平面ABC ⊥平面ACD
（2）解法一:设,G H 分别为边,CD BD 的中点，
则//,//FG AD GH BC ，
FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角.
设E 为边AB 的中点，则//EF BC ，
由,AB BC ⊥知EF AB ⊥.
又由（1）有DF ⊥平面,ABC DF AB ∴⊥，
,EF DF F AB =⊥平面.,D F B E E D A ∴⊥，
所以DEF ∠为二面角C AB D --的平面角，60DEF ∴∠=，
设,DA DC DB a ===则2
a DF AD CAD =⋅∠= 在Rt DEF △
中，2a EF ==
从而12GH BC EF === 在Rt BDF 中，122a FH BD =
=， 又122
a FG AD ==， 从而在FGH 中，因FG FH =，
126
GH cos FGH FG ∴∠==， 因此，异面直线AD 与BC
解法二:过点F 作FM AC ⊥交AB 于点,M
由（1）易知,,FC FD FM 两两垂直，
以F 为原点，射线,,FM FC FD 分别为x 轴，
y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F xyz -.
不妨设2AD =，由30CD AD CAD =∠=︒,，
易知点,,A C D 的坐标分别为()0,3,0,()()3,0, 0,0,1A C D - 则 (0)3,1AD =
显然向量()0,0,1k =是平面ABC 的法向量
已知二面角 C AB D --为60︒，
设(),,0B m n ，则223,,3,0()m n AB m n +==+
设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =， 则(300030z AD n AB n mx n y ⎧+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎩⎪⎩ 令1y =，则33n n ⎛+=- ⎝ 由2||3
1,234k n cos k n k n n m ⋅<>=
==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 由上式整理得2923210n n +-=，
解之得3n =-舍)或39
n =
4673,,099B ⎛⎫∴± ⎪ ⎪⎝⎭4623,,099CB ⎛⎫∴=±- ⎪ ⎪⎝⎭，
2
33,62323AD CB
cos AD CB AD CB ⋅<>===⨯ 因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为36.
【点睛】 本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20、（1）322+2）证明见解析
【解析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】 （1）
121222()()332322a b a b a b a b a b b a b a +=++=+++=+“2b a =”时取等号， 故12a b
+的最小值为322+； （2）222222222225241
4(2)122155555ab b ab b ab ab b b b a b b b ab b a a +++===+++++++， 当且仅当15,2a b ==时取等号，此时1a b +≠．
故222512
ab b a b +<++． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
21、222m =±
【解析】
将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线l 与圆C 相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m 的值.
【详解】
由，得
， ， 即圆的方程为， 又由消，得，
直线与圆
相切，，． 【点睛】 本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
22、 (I )
；(II )证明见解析
【解析】
(I )直接利用两点间距离公式化简得到答案.
(II ) 设
，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明.
【详解】
(I ) 椭圆，故，
.
(II )设，，则将代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化简得到.
故原点到直线l的距离为为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。