人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (48)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等
的判定考试复习题九（含答案)
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且∠EAF ＝45°，若将△ADE绕点A顺时针方向旋转90°得到△ABG．回答下列问题：（1）∠GAF等于多少度？为什么？
（2）EF与FG相等吗？为什么？
（3）△AEF与△AGF有何种位置关系？
【答案】解：（1）∠GAF＝45°；（2）EF＝FG；（3）△AEF与△AGF关于直线AF轴对称．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质可知△ADE≌△ABG，可知AE=AG，∠DAE=∠BAG，故∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠BAD-∠EAF；
（2）由（1）可知∠EAF=∠GAF，且AE=AG，AF=AF，可证△AEF≌△AGF，从而得EF=FG；
（3）根据（2）可知△AEF≌△AGF.
【详解】
解：（1）∠GAF＝45°．
∵△ABG是将△ADE绕A点顺时针旋转90°得到的，
∴∠DAE＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠FAB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAG+∠FAB＝45°，即∠GAF＝45°；（2）EF＝FG．
理由：∵△ABG是△ADE旋转90°得到的，∴AE＝AG，
∵∠EAF＝45°，∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，{AE AG
EAF FAG AF AF
=
∠=∠
=
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG；
（3）△AEF与△AGF关于直线AF轴对称．
由△AEF≌△AGF易证．
【点睛】
本题考查了旋转的性质在证题中的运用．关键是利用旋转得出三角形全等，再利用全等的性质证明新的三角形全等．
72．在△ADF与△CBE中，点A、E、F、C在同一直线上，已知AD∥BC，AD＝CB，∠B＝∠D．求证：AF＝CE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由AD ∥BC 得∠A=∠C ，再由已知条件可证明△ADF ≌△CBE （ASA ），AF=CE ．
【详解】
证明：∵AD ∥BC
∴∠A ＝∠C
在△ADF 和△CBE 中{D B
AD CB A C
∠=∠=∠=∠,
∴△ADF ≌△CBE （ASA ）
∴AF ＝CE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，若判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
73．如图，Rt △ABC ，∠B ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DF ⊥AC
于F ．线段AB 上一点E ，且DE ＝DC,证明：BE ＝CF ．
【答案】证明见解析
.
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得出BD ＝DF ，利用HL 证明Rt △BED 与Rt △DFC 全等，利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】
∵∠B ＝90°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AC 于F ，
∴BD ＝DF ，
在Rt △BED 与Rt △DFC 中
DE DC BD DF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BED ≌Rt △DFC （HL ），
∴BE ＝CF ．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并构造出全等三角形是解题的关键．
74．(1)如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． (提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE)
(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝
12
∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．(可利用(2)的结论)
【答案】(1)EF＝BE+DF；(2)EF＝BE+DF仍然成立；(3)此时两舰艇之间的距离是140海里．
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形对应边相等解答；
（2）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B＝∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再求出∠EAF＝∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝GF，然后求解即可；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF＝1
∠AOB，
2
判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．
【详解】
解：(1)EF ＝BE+DF ；
证明：如图1，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ，
在△ABE 和△ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， △△ABE △△ADG(SAS)，
△AE ＝AG ，△BAE ＝△DAG ，
△△EAF ＝12
△BAD ， △△GAF ＝△DAG+△DAF ＝△BAE+△DAF ＝△BAD ﹣△EAF ＝△EAF ， △△EAF ＝△GAF ，
在△AEF 和△GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， △△AEF △△AGF(SAS)，
△EF ＝FG ，
△FG ＝DG+DF ＝BE+DF ，
△EF ＝BE+DF ；
(2)EF ＝BE+DF 仍然成立．
证明：如图2，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ，
△△B+△ADC ＝180°，△ADC+△ADG ＝180°，
△△B ＝△ADG ，
在△ABE 和△ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， △△ABE △△ADG(SAS)，
△AE ＝AG ，△BAE ＝△DAG ，
△△EAF ＝12
△BAD ， △△GAF ＝△DAG+△DAF ＝△BAE+△DAF ＝△BAD ﹣△EAF ＝△EAF ， △△EAF ＝△GAF ，
在△AEF 和△GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， △△AEF △△AGF(SAS)，
△EF ＝FG ，
△FG ＝DG+DF ＝BE+DF ，
△EF ＝BE+DF ；
(3)如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，
△△AOB＝20°+90°+(90°﹣60°)＝140°，△EOF＝70°，
△△EOF＝1
2
△AOB，
又△OA＝OB，
△OAC+△OBC＝(90°﹣20°)+(60°+50°)＝180°，
△符合探索延伸中的条件，
△结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1×(60+80)＝140(海里)．
答：此时两舰艇之间的距离是140海里．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．
75．如图1，已知A(a，0)，点B(0，b)，且a、b40
b-=.
⑴求A、B两点的坐标；
⑵若点C是第一象限内一点，且∠OCB＝45°，求点A作AD⊥OC于点F，求证：FA＝FC．
⑶如图2，若点D的坐标为(0，1)，过点A作AE⊥AD，且AE=AD,连接BE交x轴于点G，求G点的坐标．
图1图2
，0）.
【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）见解析；（3）G（3
2【解析】
【分析】
（1）首先根据非负数是性质求得a=4，b=4，则易求点A、B的坐标；（2）如图1，作BE⊥CO于于E，可以得出△BEO≌△OFA，可以得出BE=OF，OE=AF由等腰三角形的性质就可以得出BE=CE，CE+EF=OF+EF就可以得出结论；
（3）如图2，作EF⊥x轴于F，就可以证明△AOD≌△EFA，就可以得出AO=EF，DO=EA，再证明△BOG≌△EFG，可以得出OG=FG就可以得出结论．【详解】
b-=，
∴a−4=0，4−b=0，
则a=4，b=4，
∴A、B两点的坐标分别是：A(4,0)点B(0,4)；
⑵(2)如图1，作BE⊥CO于于E，
∴∠BEC=∠BEO=90°.
∵A(4,0)，B(0,4)，
∴OA =OB =4.
∵AD ⊥OC ，
∴∠AFO =90°，
∴∠AOF +∠OAF =90°. ∴∠BEO =∠OFA .
∵∠BOE +∠AOE =90°， ∴∠BOE =∠OAF . 在△BEO 和△OFA 中， BOE OAF BEO OFA OB OA ，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BEO ≌△OFA (AAS )， ∴BE =OF ，OE =AF . ∵∠OCB =45°，
∴∠EBC =45°，
∴∠EBC =∠BCE ， ∴BE =CE .
∴OF =CE ，
∴OF +EF =CE +EF ， ∴OE =CF ，
∴AF =CF ；
(3)如图2，作EF ⊥x 轴于F ， ∴90.EFA EFG ∠=∠=
∴90.FEA FAE ∠+∠=
∵AE ⊥AD ，
∴90DAE ，∠=
∴∠DAO =∠AEF .
在△AOD 和△EFA 中，
DAO AEF DOA AFE AD EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AOD ≌△EFA (AAS ).
∴AO =EF ，OD =AF .
∴BO =EF .
在△BOG 和△EFG 中
BOG EFG OGB FGE OB EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BOG ≌△EFG (AAS )，
∴OG =FG .
∵D (0,1)，
∴OD =1，
∴AF =1，
∴OF =3，
∴OG =1.5.
∴G (1.5,0)
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
76．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CAF
（2）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，试探索EF、BE、CF三条线段的关系；
（3）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求FE长．
【答案】（1）见解析；（2）EF=BE=CF.理由见解析；（3）EF的长为7.
【解析】
【分析】
（1）由条件可以得出∠BAE=∠ACF，∠AEB=∠CFA，就可以得出△ABE≌△CAF；
（2）由△ABE≌△CAF就可以得出EF=BE+CF；
（3）通过证明三角形△ABE≌△CAF就可以得出结论．
【详解】
（1）BAE+∠CAF=90°.
∵BE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中
∠BAE=∠ACF∠AEB=∠CFAAB=CA
∴△ABE≌△CAF(AAS)；
(2)EF=BE=CF.理由：
证明：∵△ABE≌△CAF，
∴AE=CF，BE=AF.
∵EF=AE+AF，
∴EF=CF+BE；
(3)如图2,∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAF=90°.
∵BE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中，
∠BAE=∠ACF∠AEB=∠CFAAB=CA，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，AE=CF.
∵EF=AF−AE，
∴EF=BE−CF=10−3=7.
答：EF的长为7.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
77．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
依据中线的定义，即可得到BD ＝CD ，再根据SAS 即可判定△ACD ≌△EBD ．
【详解】
证明：∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD ＝CD ，
在△ACD 和△EBD 中，
CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACD ≌△EBD （SAS ）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
78．(1)发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b ． 填空：当点A 位于 时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为 (用含a 、b 的式子表示)；
(2)应用：点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝4，AB ＝2，如图2
，分别以
AB、AC为边，作等边三角形ABD和等边△ACE，连接CD、BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
①直接写出线段BE长的最大值；
①直接写出△DBC面积的最大值．
【答案】(1)CB的延长线上，a+b；(2)△CD＝BE，理由见解析；△6；△4.
【解析】
【分析】
（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE ＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；
②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
③作DP⊥CB，交CB延长线于点P，当DB⊥BC时，DP取得最大值，最大值为2，再根据三角形的面积公式求解可得．
【详解】
(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为
BC+AB＝a+b，
故答案为CB的延长线上，a+b；
(2)①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
∵
AD AB
CAD EAB AC AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩，
∴△CAD≌△EAB(SAS)，
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝6；
③如图，过点D作DP⊥CB，交CB延长线于点P，
在Rt△BDP中，DP＜DB，
当DB⊥BC时，DP取得最大值，最大值为2，
∴△DBC面积的最大值为1
424 2
⨯⨯=．
【点睛】
本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点．
79．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
(1)（观察猜想）当点E在AB的中点时，如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，观察猜想得到线段AE与DB的大小关系是；
(2)（探究证明）当点E不是AB的中点时，如图2，上述结论是否成立，如果成立，请写出解答过程，如果不成立，请说明理由；
(3)（拓展延伸）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长(请直接写出结果)．
【答案】(1)AE＝DB；(2)AE＝DB，理由见解析；(3)CD线段的长度是3
或1．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF 全等，求出BD＝EF即可；
（3）根据（2）的结论计算即可．
【详解】
(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，
∴∠ACB＝60°，∠BEC＝90°，AE＝BE，
又∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECB＝30°，
∴∠DEC＝120°，
∴∠DEB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠D＝∠DEB＝30°，
∴BD＝BE＝AE，即AE＝DB．
故答案为：AE＝DB．
(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，AE＝DB．理由如下：
如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A ＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC ＝∠ACB ＝∠AFE ＝60°，
∴∠DBE ＝∠EFC ＝120°，∠D+∠BED ＝∠FCE+∠ECD ＝60°，
∵DE ＝EC ，
∴∠D ＝∠ECD ，
∴∠BED ＝∠ECF ，
在△DEB 和△ECF 中，
,DEB ECF DBE EFC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DEB ≌△ECF(AAS)，
∴BD ＝EF ＝AE ，即AE ＝BD ，
(3)如图2，当点E 在线段AB 上时，CD ＝BC+BD ＝BC+AE ＝2+1＝3． 当点E 不在线段AB 上时，CD ＝BC ﹣AE ＝2﹣1＝1．
综上所述，CD 线段的长度是3或1．
【点睛】
本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD ＝EF ，解（3）题是利用（2）的结论．
80．作图题，在下面图中找出点A ，使它到M ，N 两点的距离相等，并且到OH ，OF 的距离相等.（不写作法，要求保留作图痕迹）
【答案】见详解
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等分别作出∠HOF的平分线和MN的垂直平分线，交点即为A．【详解】
点A为所求.
【点睛】
本题考查的是作图，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.。