代数学基本定理的系统证明与推广应用

平面 上解析且有界，则 必为常数）
证法三（反证法）：
柯西(
) 积 分 定 理：设 是 中 的 单 连 通 域，
设 = +…+ 1 1+ 0 0 在复平面 无零点，从而
，且 ′在 中连续，则对 中任意的可求长闭曲线 ，均
有
=0。
最大模原理：设函数 在区域 内解析，则 在 内任
1 在复平面 上解析。又 1 =
知 由此可知
，于是
。
= 1 在 上必为常数，从而 =0。
证法九：
记
（ 0 0） 则存在正数 ，当| | 时，有| |>1
设 的根的个数是 ,则这 个根都在| |< 内，令 为闭 曲线（ ：| |= ）
由辐角原理得
即 在复平面 上有 个根。 证法十： 令=
= 1 1+…+ 0 ， 当 在充分大的圆周 ：| |= 上时，有
的零点。 二、定理的证明 证法一：
在引理 1 中，取 >| 0 |=| 0| ，又因为
= ，故对于
且在复平面有界，为证明其有界，记 = 0 + 1 +…+ 1
1
那么 = +
。可以找到充分大的正数 使得 = 0 +
1 +…+
1
1 中的每一项当| |
时都小于│ │。由 项的广 2
义三角多项式得当| | 时，有| |< │2│。所以当| | 时，
有| +
| || | |
||>│2│：于是有当| | 时，有| |=
|+
|| |>│2│| |
││ 2
。
作者简介：潘劲松（1968-），男，汉族，湖南津市人，湖南机电职业技术学院，副教授，硕士，人文科学系主任，研究方向：高等数 学教学、数学建模、高职教育管理等；童丽娟（1977-），女，汉族，湖南澧县人，湖南机电职业技术学院讲师，研究方向：数学教学。
也去试求指数函数形式的解 = 其中 是待定常数，可以 是实数的，也可以是复数的。有
1
= + 1 1 +…+ 1 +
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= + 1 1+…+ 1 + =
不然得出的特解可能会出现初值的微小误差就导致物体运 动的巨大误差。
高阶微分方程转换成线性微分方程组，得到线性转化矩
定理：任何一个 次多项式 = +…+ 1 1+ 0 0 在
证法二（反证法）：
复平面上至少有一个根。或者：任何一个 次多项式 =
若 = +…+ 1 1+ 0 0 在复平面 上没有根，那么
+…+ 1 1+ 0 0 在复平面上有且只有 个根（ 重根就算
= 1 在复平面上也解析，并且是整函数，对于 =
个根）。 （二）相关知识 引理 1：设 在闭圆| |
上解析，如果存在 >0, 使当| |
+…+ 1 1+ 0 0 ，由引理 2 知，对于任意的 1 >0 ,存在 >0 ，
当 | | > 时有| |> 1从而有 | |=| 1 |< 1 另一方面，
1
= 时，| |> ，且| 0 |< ，则| |在| |< 内至少有一个零点。 当| | 时，由 连续性知它有界，可设| |< 2 ( 2为正常
复平面 上| 1 | +1，于是 1 在复平面 上解析且有界， 由刘维尔定理知 1 是常数，即 是常数，这与假设矛盾。
辐角原理：设 在闭围线 上解析，在其内部除了 个极
证法四（反证法）：
点外解析，在 上不为零，而在 的内部有 个零点，而在一个
假设 对任何 都不为零，那么 = 1 是整函数。并
级极点算作 个极点。 1、它们在 的内部均解析，且连续到 2、在 上，| |>| | 则函数 与 + 在 的内部有同样多（ 级算作 个）
引理 2：若 是一个 次的有理整函数（ 1）， 是任给 数)，取 = （ 1， 2）,在复平面有| |< 。从而在复平面
的正数。那么存在正数 ，当| |> 时恒有| |> 成立。
上 是一个有界的整函数，有刘维尔定理知 必为常数，
刘维尔定理：有界整函数必为常数（设函数 在整个复 即 为常数，这与题设矛盾。故 至少有一个根。
常系数齐线性方程的求解、特征值、微分方程的稳定性等方面的基础应用。
关键词：代数学基本定理；证明；应用
中图分类号：O15
文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2010）-05-0140-04
一、预备知识
存在正数 ,当| | 时，有| |> 由引理 1 的结论知， =
（一）代数学基本定理
+…+ 1 1+ 0 0 在| |< 内至少有一个零点。
代数基本定理确定在复数域有且只有 个根。求出该 个根
后既可以确定 =0的所有解。具体解法这里不予讨论，如
果没有代数基本定理，则 =0的解是否存在，有几个都无
法确定。
2、特征值应用于线性变换与微分方程组的稳定性
定义 2：设 是数域 上线性空间 的一个线性变换，如果
令
对于数域 中的一数 0 ，存在一个非零向量 ，使得 = 0 ，那 么 0称为 A 的一个特征值，而 称 A 的属于特征值 0的一个特 征向量。
一个矩阵根。
定理：设 0, 1,… 是复数域上的 +1个 阶两两可交换
矩阵，记 = + 1 1+…+ 1 1+ 0 (det
0 ) 为复
数域上的一元 次 阶矩阵多项式，则矩阵方程 在复数域
与 0, 1,… 可交换的矩阵根恰好有 个。（重根按重数算） （二）代数基本定理的 个根的位置关系
设 = +…+ 1 1+ 0 0 关于 在复平面上的位置有如下定理:
+1
=1
· │ │=1
1
+
1
设 = +…+ 1 1+ 0 0 在复平面 无零点，即对任 意的 , 都有 ≠0，于是 ′ 在复平面 上解析，由柯西
积分定理得 ′ =0其中 是圆周| |= ，因此应有
= ′ =0 。
（1）
令 = + 1 。显然 是多项式并且 ≠0，于是
1 在 复 平 面 解 析，根 据 柯 西 (
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代数学基本定理的系统证明与推广应用
潘劲松 童丽娟
（湖南机电职业技术学院，湖南 长沙 410151）
摘 要：复数域中多项式因式分解问题，可归结为对应方程求根问题，代数学基本定理保证了多项式方程根的存在性。本文中
第一部分运用柯西积分定理、刘维尔定理、最大模原理、辐角原理等对代数学基本定理进行系统证明。第二部分代数学基本定理在
)积分定理有
2
02
=0
另一方面有
′=
1+ 1 1 2+…+ 1 + 1 1+…+ 1 1+ 0
这与 2 02
0矛盾。
1+ =
1·
1 · 1 +… 1 ·
1·
1
1
1+ 1 · 1 +…+ 0 · 1
= 1+
证法八： 记 =inf| |。 因为| |→∞（ →∞）所以存在 0 使| 0 |= 。 现证明 =0, 若 >0 ，记 = 1 ，则 在 上解析
特征值与特征向量在线性代数中具有举足轻重的地位，
相当于一个线性变换 = 得到特征方程| | =0 用如
由特征值求出特征向量在把线性变换矩阵 A 化为最简形式。 上的方法求出该矩阵 特征值 ，由特征值确定微分方程的
所有特征向量加上零向量形成特征子空间 0. N 个特征向量 奇点类型以及它的稳定性，从而可以清楚绘画出微分方程零
比较（1）与（2）得 =0。这与定理的条件矛盾。
证法六（反证法）：
，若
0，则函数 ′ 在复平面 上解析。
由柯西积分定理对任意整数 ，积分 ′ =0其中 是
由平均值定理于是有
圆周| |= 。
。
另一方面
令 M=max{| |, =0,1… -1}，
所以
。
可推知│ ′ 大）。
1
│ │ │ +1
1（ ， 充分
=0 的所有 个根
1、 =0含的所有根的凸多边形，也包含 ′ =0的所有
根。（ . . ）
2、设复平面上的一条不通过 =0的根的可求长
曲线，则在 的内部，
=0的根的个数等于
1 2
′ （重
根的个数以其重数计算）
3、若在复平面上的
曲线 上没有一点 ，总有
| |>| |则 =0与 + =0 在 的内部具有相
其中 = + 1 易知 = 是 = +1
1+…+
1
1 +…+
1 + 是 的 次多项式 。 1 + 的解的充要条件是
阵，对于一般 阶微分方程： = , , ′,… 1 取 1= , 2= ′,…, = 1得到如下一阶微分方程组
是代数方程 = + 1 1+…+ 1 + 的根。从 =0 方程 求出的特征根 就可以完成解出常系数齐线性方程的解。由
+
1 2 1 +…+ 1
=0。
故存在充分大的正数 ，使得当| |> 时 ，| 1 |<1 又 1 在比
何点都不能达到最大值，除非在 内恒为常数。
圆盘 | 连续，故可设| 1 | （ >0 为常数）。从而在整个
儒歇（
′）定理：设 ，
， 是 中可求长的简
单闭曲线，的内部位于 中。如果当 时，有不等式|
|<| | ，那么 和 在 的内部的零点个数相同。
其中函数 当 →∞时，一致趋于零。又因为 1 =2 故lim 1 [ 1
max|
│ │=
+
|| 1 |=2 max| │ │= ]=
|→0 （2）
并且| 0 | =max| | 记 = 0+ ，选取 0足够小使当 0
（*） 0，0 2 时,有
0<│ 0+ │ 1
0
对每一个固定的 (0, 0)记
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而当| |> 时，有|
|=│
1
│<│
2 │
，因此
在圆盘| 号，于是 2 2
| 外有界。在闭圆盘上连续，所以 在其上有界。因此
在整个复平面上有界。由刘维尔定理知 为常数。这与假设矛盾。
是常数，所以
但是 2 02
证法五（反证法）：
0，
= 1 · │ │=1
的无关充要条件是矩阵可化为 阶对角矩阵的。没有矩阵的 解得稳定性和一致性。
特征值就没有若当（
）标准形理论。
由 = 0 得求出特征值与特征根， 得出 A 的特征多项式| | =0 是数域 P 上的一个 次
参考文献：
[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,1997. [2]刘红旭.代数学基本定理的引申及证明[J].辽宁师专学报(自然 科学版),2006,(04). [3]任勇.代数学基本定理及应用[J].科技资讯,2006,(03). [4]周智恒,洪毅,廖芹.一元实系数多项式方程实根的求解问题[J]. 华南理工大学学报(自然科学版),2002,(05). [5]张奕河,郭文川.关于一阶常微分方程的积分因子求解问题[J]. 四川理工学院学报(自然科学版),2009,(6).
有 个根。
另外在圆周 ：| |= 上或者在它的外部，任取一点 0 ，则 | 0|= 1> 。 于是| +…+ 0| | | | 1 1+…+ 0|
| | 1 (| 1| 1+…+| 0|) > | | 1 (| 1|+…+| 0|) 1
>| | 1 | | 1
=0
这说明 在圆周 ：| |= 上或者在它的外部都没有零
再由0<│ 0+ │ 1 知
0
因此lim ′ = lim
=2 与 ′ =0矛盾。
证法七： 不妨假定当 为实数时，得 是实数。否则可考虑 · ，其中 的系数与 的系数共轭。若 无零点， 特别是在是直线上无零点。因此 在是直线上不改变符
，
从而
。
再由
′ =0
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多项式。| | =0 由代数基本定理得知，在复数域内有 个
根，即为 n 个特征根。把每个特征根代入
=0 都求出一
组基础解系，所有的这些向量就是特征向量。
在微分方程中，由初值得到的特解需要确定其稳定性中，
代数学基本定理的系统证明与推广应用
同数目的根（
′）定理）。
4、若 ∈ 值都小于 1。
， > 1>…> 0则 =0 的所有根的绝对
5、当 = +…+ 1 1+ 0 0 当 >0 时， =0 的根 全部在虚轴的左侧的充要条件：
由儒歇（
′）定理可知，在圆| |< 内，
= 1 1+…+ 0=0 = =0有相同的根。
而 = =0在| |< 内有 个重根 =0 ，因此 在| |< 内
取矩阵
的前 行，
列所得的柱子行列式（ =1,2,… ）全部为正 （三）代数学基本定理的应用 1、常系数齐线性方程的求解 设常系数齐线性方程为
1
= + 1 1 +…+ 1 + （ 1,… 1, 为常数）
求解方程 =0问题可归结为代数方程求根问题。回顾 一阶常系数齐线性方程 + =0的通解是 =
1
这启示对于 = + 1 1 +…+ 1 +
点。所以原方程在复平面上有且只有 个根。
三、代数学基本定理的推广与应用
（一）代数学基本定理的推广
定义 1：设 0, 1,… 是复数域上的 +1个 阶矩阵，称
=
+ 1 1+…+ 1 1+ 0
为复数域上的一个 次 阶矩阵多项式，如果 阶矩阵 0
满足 =0（该 0 表示 阶零矩阵），则称 0 是方程的 的