栾川县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

栾川县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则=⎰
dx x f 1
)(（ ）
A ．67-
B ．67
C ．65
D ．6
5- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.
2． 设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 在复平面内，复数Z=+i 2015对应的点位于（ ）
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
5． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．
13 B ．2
3
C ．1
D ．2 6． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则2
1
z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．
54 C ．i - D ．i 5
4 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
7． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示
B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
1x y
a b
+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示
9． 执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．k ＞7
B ．k ＞6
C ．k ＞5
D ．k ＞4
10．若圆22
6260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为， 则a =（ ）
A ． 1±
B ． 4±
C ．
D ．2
±11．定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f （7）=6，则f （x ）（ ） A ．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B ．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C ．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D ．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
12．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
二、填空题
13．（lg2）2+lg2•lg5+
的值为 ．
14．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值．
15．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2n，则数列的通项a n=．
16．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=．
17．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次
服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）
18．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C
相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则=．
三、解答题
19．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．
20．已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设动直线与y轴相交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的最小值．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：//AB EF ；
（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余 弦值．
【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.
22．已知一个几何体的三视图如图所示． （Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A 为所在线段中点，点B 为顶点，求在几何体侧面上从点A 到点B 的最短路径的长．
23．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
24．已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a10，a11，…a20，是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列（d≠0）．
（1）若a20=40，求d；
（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a30，a31，…a40，是公差为d3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
栾川县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
2．【答案】A
【解析】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．
3．【答案】A
【解析】解：p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，
则￢p：∃n∈N*，a n+2﹣a n+1≠d；￢q：数列{a n}不是公差为d的等差数列，
由￢p⇒￢q，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列{a n}就不是等差数列，
若数列{a n}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得a n+2﹣a n+1≠d，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，
即后者可以推不出前者，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．
4．【答案】A
【解析】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．
复数对应点的坐标（），在第四象限．
故选：A ．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．
5． 【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为1
12
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=，选B ． 6． 【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=，所以2
1z z 的虚部为54.
7． 【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，
则S 4=4a 1+d=﹣2，S 5=5a 1+d=0，
联立解得，
∴S 6=6a 1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
8． 【答案】B 【解析】
考
点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 9． 【答案】 C
【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环 循环前 1 0
第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为k ＞5？ 故答案选C ．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：由圆226260x y x y +--+=，可得22(3)(1)4x y -+-=，所以圆心坐标为(3,1)，半径为2r =，要使得圆上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于
1
2
r
，即1=
，解得a =，故选B. 1 考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于12
r 是解答的关键.
11．【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数， ∴函数f （x ）在x=7时，函数取得最大值f （7）=6， ∵函数f （x ）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6， 故选：D
12．【答案】A
【解析】
二、填空题
13．【答案】1．
【解析】解：（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，
故答案为：1．
14．【答案】5﹣4．
【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：﹣4=5﹣4．
故答案为：5﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
15．【答案】2n﹣1．
【解析】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n，
∴a2﹣a1=2，
a3﹣a2=22，
…
a n﹣a n﹣1=2n﹣1，
相加得：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，
a n=2n﹣1，
故答案为：2n﹣1，
16．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1
故圆的圆心为（1，0），半径为1
直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18
17．【答案】, 无．
【解析】【知识点】等比数列
【试题解析】设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为毫克，
所以）=300，=350．
由，
所以是一个等比数列，
所以
所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为：, 无．
18．【答案】．
【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，
过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，
直线AO与l相交于D，
∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，
联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）
∴直线OA的方程为：y=，
联立，解得D（﹣，﹣）
∴|BD|==，
∵|OF|=，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．
三、解答题
19．【答案】
【解析】满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），
．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得．
极小值
故函数f（x）在单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值，无极大值．…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0
当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，
且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）
当a＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，
只需h（1）=2a+1＞0，得．…（7分）
综上，．…（8分）
（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分），
由，故由（Ⅱ）可知，
方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，
且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）
又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分）
取t=e﹣3+2a∈（0，1），
则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，
从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，
即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，
从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）
解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得．…（5分）
设，则m∈（1，+∞），，…（6分）
问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）
故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）
（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）
【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C：，
所以，，
故，解得，
所以椭圆的方程为．
因为，
所以离心率．
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设点，
则线段的中点的坐标为，
且直线的斜率，
由点关于直线的对称点为，得直线，
故直线的斜率为，且过点，
所以直线的方程为：，
令，得，则，
由，得，
化简，得．
所以
．
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为．
21．【答案】
【解析】
∵BG ⊥平面PAD ，∴)0,3,0(=GB 是平面PAF 的一个法向量，
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠ ∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………2分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P EDF ∠=∠，又PEA DEF ∠=∠，∴EDF ∆∽EPA ∆，
∴
ED
EP
EF EA =，∴EP EF ED EA ⋅=⋅，又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ，∴ 2
9
=EC ，∵2:3:=BE CE ，∴3=BE ，解得427=EP .
∴4
15
=-=EB EP BP ．∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2
∴)29427(4152
+⨯=PA ，解得4
315=PA ．……………………10分 24．【答案】
【解析】解：（1）a 10=1+9=10．a 20=10+10d=40，∴d=3．
（2）a 30=a 20+10d 2=10（1+d+d 2
）（d ≠0），
a 30=10，
当d ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a 30∈[7.5，+∞） （3）所给数列可推广为无穷数列{a n ]，
其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，
当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n+1，…，a 10（n+1）是公差为d n
的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a 10（n+1）关于d 的关系式，并求a 10（n+1）的取值范围．
研究的结论可以是：由a 40=a 30+10d 3=10（1+d+d 2+d 3
），
依此类推可得a 10（n+1）=10（1+d+…+d n
）=
． 当d ＞0时，a 10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道中档题．。