行列式的展开定理

Dn (a b) Dn 1 abDn 2 Dn aDn 1 b( Dn 1 aDn 2 ) b 2 ( Dn2 aDn3 )
b n2 ( D2 aD1 ) b n2 ((a b) 2 ab a(a b)) Dn aDn1 b n Dn bDn1 a n
例4
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 x1 1 x2
2 x2

1 xn
2 xn
2 Dn x1 n 1 x1

n i j 1
( xi x j ).
(1)
n 1 n 1 x2 xn
证 用数学归纳法 1 1 D2 x2 x1 ( xi x j ), x1 x 2 2 i j 1
对于列也有类似的性质. 性质1.5把行列式的某一行(列)的元素乘以同一数后加到另一行 (列)的对应元素上, 行列式不变.
1.4 行列式按行（列）展开
一.
余子式、代数余子式的定义 二.按行(列)展开定理 三. 例5,6，7
一 1.余子式: n(n >1)阶行列式D的某一元素aij的余子式Mij是 指在D中去掉aij所在的第i行和第j列后所得到的n–1阶子式.
1
1
1 1
b a d c , D4 ( a b c d ) c d a b d c b a 再将第2、 3、 4列都减去第 1列，得 1 0 0 0
b ab d b cb , D4 ( a b c d ) c d c ac bc d cd bd ad
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简
化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某
再将第2列减去第1列，得 D 4 (a b c d )( a b c d )
1
0
0 bc ,
d c ad
cd bc ad 按第1行展开，得 ad D４ (a b c d )(a b c d ) bc
(a b c d )(a b c d ) [(a d ) (b c ) ]
当 n 2 时（ 1 ）式成立．
假设（ 1 ）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立 ， 从n行始，后行减去前行的 x1倍：
Dn 1 0 0 0 1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n2 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
性质1.4 设某行列式的第i行的所有元素都是两项之和, 则:
a11 a12 bi1 ci1 bi 2 ci 2 an1 an 2 a1n a11 a12 bin cin bi1 bi 2 ann an1 an 2 a1n a11 a12 bin ci1 ci 2 ann an1 an 2 a1n cin ann
例 7：
2 D2 n 3 2 3 3 2 2 3
2 2 D2 n 3
2
3 3 2 3 3 2 2
3 3 2 3 3 2 2 0 2 n 1
2 2 2 3 2 3 3 2 2 3
3
3
2
2
0
3
3 3
4 D 2n 2 9 D2n2 5D2n2 3 2 (5) D2n4 (5) D2n6 n1 (5) D2 2 3 n D2 (5) 3 2
按第1行展开，得
ab d b
cb bc. ad
D4 ( a b c d ) d c a c cd bd
中提取公因子a b c d，得
把上面右端行列式第 2行加到第 1行，再从第 1行
D４ (a b c d )( a b c d ) 1 d c cd 1 ac bd 0 bc, ad
例2. 在四阶行列式
a11 a D 21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a31 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
中a23的余子式是:
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34 . a41 a42 a44
3.代数余子式: 设Mij是n(n >1)阶行列式D的元素aij的余子式, 则称Aij=(–1)i+jMij是aij的代数余子式.
3 5 3
例1 计算行列式
D 0 7
1 0 7 2
解
按第一行展开，得
D 3 1 0 7 2 5 0 0 7 2 3 0 1 7 7
27.
例2.计算 x 0 D y y x 0 y x 0 y x 0 0 y x
0
解：按第一列展开，得 D
二.线性方程组有唯一解的条件(克莱姆规则) 定理1.4(克莱姆规则) 线性方程组(1)当它的系数行列式 D0时有且仅有一个解: D D D x1 1 , x2 2 , , xn n , D D D 其中, Dj是把行列式D中的第j列元素用方程组(1)的常数项 b1, b2, … , bn 代替后得到的行列式. 例 解线性方程组
2 2
bc ad
(a b c d )(a b c d ) (a b c d )(a b c d )

本例中利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素， 然后按此行（列）展开，每展开一次，行列 式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到 行列式能直接计算出来为止（一般展开成二 阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行 列式比较适用．
0
行列式有两行 相同，值为0
综上，得公式
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn
D , （当 i j） 0，（当 i j）
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj
D , （当 i j） 0，（当 i j）
行列式的展开定理
n阶行列式的性质
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. 性质1.2 交换行列式的两行(或两列)的位置, 则行列式的绝对值 不变而符号改变. 推论1.1 如果一个行列式的两行(或两列)完全相同, 则这个行列 式等于零. 性质1.3. 把一个行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一个数 k, 等于用k乘这个行列式. 推论 一个行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边. 推论1.2 如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例, 那么这 个行列式等于零.
a
ki
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn aik Ajk
k 1
n
第i行 a11
a1 j
a1n
ai1 aij ain ai1 aij ain an1 anj ann
原来的第j 行，用第i 行去换
定理1.4.3 n阶行列式D的某一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式的乘积的和等于零. 即, 当ij时 :
பைடு நூலகம்a
k 1 n k 1
n
ik
A jk ai1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0, Akj a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0.

1 xn x1 xn ( xn x1 )
n2 n2 x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
1 x2 ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n 2 x2
1 x3

1 xn
n 2 n 2 x3 xn
二.按行(列)展开定理
引理1.1 如果n阶行列式D的第i行(或列)中的元素除 aij 外都 是零, 则D=aijAij=(–1)i+j aij Mij.
定理1.2 n阶行列式D等于它的任一行(列)的所有元素与它们 的对应的代数余子式的乘积的和. 即 :
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj .
一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,
变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或
二阶行列式。 另外，一些含变元的高阶（如n 阶）行列式，不可能按 照上述方法完全展开，也需要利用行列式的展开定理， 选择n 阶行列式的某个含有较多零元的行（列）展开， 化为较低阶的行列式，进而得到递归公式。
5
2 2 n 1
1.5 克莱姆规则
本节将给出当方程的个数与数的个数相等时线性方程组有唯 一解的条件, 并用行列式表示出这个唯一的解. 一.线性方程组的系数行列式 设给定了一个有n个未知数n个方程的方程组: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 由它的系数构成的n阶行列式 D 称为方程组(1)的 an1 an 2 ann 系数行列式.
x x y x y x y x
( 1)
n 1
y x y
y x y x y
x ( 1)
n
n 1
y
n
例3 计算
a
b
c d a b
d c . b a
b a D4 c d d c
解 将 D 4的第2、 3、 4行都加到第 1行，并从第 1行中
提取公因子a b c d，得
x1 3 x2 7 x3 2 2x 4x 3 x4 1 1 2 3 x2 7 x3 2 x4 3
1 D 2
3 7 4 2
2 3 7 3 54, 2 3 7
3 196 0, D1 1 4
3 7
b n 1 a n 1 a b时，Dn ba
a b时，Dn aDn1 a n Dn aDn1 a n a 2 Dn2 2a n a n1D1 （n 1 ）a n
a n 1 2a （n 1 ）a n （n 1 ）a n
例3. 在四阶行列式
a11 a D 21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a31 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
中a23的代数余子式是:
a11 a12 a14 A23 (1) 23 M 23 a31 a32 a34 . a41 a42 a44
n-1阶范德蒙德行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
例6 求三对角行列式的值
a b ab 0 1 a b ab Dn 0 1 ab 0 0 0 0 0 0 ab
1 2 7 1 3 2 D2 2 1 3 38D3 2 4 1 80 3 3 2 3 7 3 由Cramer法则知方程有唯一解：