北师版八年级数学下册课件 第1章 三角形的证明第1课时 等腰三角形的性质

∵AB=AC, AD⊥BC(已知), ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
新课讲解
例1 如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上, 且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC；
（2）指出图中有几个等腰三角形？ △ABC, △ABD, △BCD. B
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
新课讲解
想一想：由△BAD≌ △CAD,除了可以得到∠B= ∠C之 外,你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的 同伴交流一下,看看你有什么新的发现？
A
解：∵△BAD≌ △CAD,由全等三角形的
性质易得
BD=CD,∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD.
新课讲解
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）. 根据全等三角形的定义,我们可以得到： 全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2 等腰三角形的性质及其推论
新课讲解
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
定理:等腰三角形的两个底角相等.
推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边 上的高互相重合(三线合一).
方法一：作底边上的中线
已知： 如图,在△ABC中,AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明： 取BC的中点D,连接AD.
新课讲解
A
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 ), BD=CD ( 已作 ), AD=AD (公共边),
B DC
还有其他的 证法吗？
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
A D C
新课讲解
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系,∠ABC、∠C
呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A.
⌒
A
x
D 2x
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角
2x
和用含x的式子表示出来.
B
C
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °,∴ x+2x+2x=180 °,
BS八(下) 教学课件
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和 等腰三角形的性质
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论,能运用
其解决基本的几何问题.(重点)
问题引入
问题 在八上的“平行线的证明”这一章中,我们学了哪8 条基本事实？
1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等,两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
8.三边分别相等的两个三角形全等.
1 全等三角形的判定和性质
新课讲解
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
新课讲解
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图,在△ABC中,AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD, 则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ),
B DC
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
D
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°,
B CE F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）,
∴∠C=180°－(∠A+∠B),∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）,
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知）,
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
新课讲解
A x
⌒
D 2x
2x
B
C
归纳 在含多个等腰三角形的图形中求角时,常常利用
方程思想,通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
新课讲解
例2 如图①,点D、E在△ABC的边BC上,AB＝AC. (1)若AD＝AE,求证：BD＝CE；
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°,
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° , B D C 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶
角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
归纳总结
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
新课讲解
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. A 等腰三角形的两个底角相等.
已知：△ABC中,AB=AC,
求证：∠B=C.
B
C
可以运用全等三 角形的性质“对
如何证明两个 角相等呢？
应角相等”来证
思考：如何构造两个全等习轴对称时,我们利用折叠的方法 说明了等腰三角形是轴对称图形,且两个底角相等,如 下图,实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等的三 角形.由此,你得到了什么解题的启发？
问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上 面的推论吗？
弄清楚证明 一个命题的 一般步骤是 解题的关键
证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.
新课讲解
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. A
B
C
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
归纳总结
A 综上可得：如图,在△ABC中,
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知),
12
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. B D C
∵AB=AC, BD=CD (已知),
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
解：∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° , 解得x=36 °,在△ABC中, ∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.