【成才之路】2021-2022学年高中数学人教B版选修1-1同步练习 基本知能检测1

第一章基本知能检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句中，不表示命题的一个是()
A．3>8B．0是自然数
C．杭州是省会城市D．他去哪儿
[答案] D
[解析]选项D不涉及真假．
2．(2021·安徽文，3)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析]∵p：x<3，q：－1<x<3，∴q⇒p，，但p⇒q，∴p是q成立的必要不充分条件，故选C.
3．命题“π≥3.14”使用的规律联结词的状况是()
A．没有使用规律联结词
B．使用了规律联结词“且”
C．使用了规律联结词“或”
D．使用了规律联结词“非”
[答案] C
[解析]“π≥3.14”的意思为：
“π>3.14或π＝3.14”．故选C.
4．假如一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题()
A．是真命题B．是假命题
C．不肯定是真命题D．不肯定是假命题
[答案] A
[解析]一个命题的逆命题与否命题真假相同．
5．下列四个命题中的真命题是()
A．∀x∈R，x2＋3<0 B．∀x∈N，x2>1
C．∃x∈Z，使x5<1 D．∃x∈Q，x2＝3
[答案] C
[解析]本题考查命题的真假性判定．依题意，对于A，留意到x2＋3>0，因此选项A是假命题；对于B，留意到02＝0<1，因此选项B是假命题；对于C，留意到(－1)5＝－1<1，因此选项C是真命题；对于D，留意到使得x2＝3的x＝±3∉Q，因此选项D是假命题，故选C.
6．设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋2y－3＝0与直线l2：2x＋y－a＝0平行”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析]当a＝0时，易知两直线不平行，若a≠0，两直线平行满足
2
a
＝1
2≠
－a
－3⇒a＝4，故a＝4是两直线平行的充要条件．
7．设命题p：函数y＝cos
x
2的最小正周期为2π；命题q：函数y＝2
x＋
1
2x是偶函数，则下列推断正确的是() A．p为真B．¬q为真
C．p∧q为真D．p∨q为真
[答案] D
[解析]本题考查三角函数的最小正周期、函数的奇偶性的推断及复合命题真假性的推断等学问．由题y
＝cos x
2
的最小正周期为T＝2π
|ω|
＝4π，故p为假，f(x)＝2x＋1
2x
的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋1
2－x
＝2x＋1
2x
，故其为偶函数，即q为真，故p∨q为真，故选D.
8．下列推断不正确
．．．的是()
A．命题“若p则q”与“若¬q则¬p”互为逆否命题
B．“am2<bm2”是“a<b”的充要条件
C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假
D．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真
[答案] B
[解析]由am2<bm2⇒a<b，但a<b⇒/am2<bm2.
例如：m＝0时，故选B.
9．假如命题“¬(p∨q)”为假命题，则()
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C ．p 、q 中至少有一个真命题
D ．p 、q 中至多有一个真命题 [答案] C
[解析] “¬(p ∨q )”为假，则“p ∨q ”为真，故p 、q 中至少有一个为真． 10．设p ：x <－1或x >1；q ：x <－2或x >1，则¬p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ¬p ：－1≤x ≤1，¬q ：－2≤x ≤1， ¬p ⇒¬q ，而¬q ⇒/¬p .
11．设x 、y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] 若x ≥1，y ≥2，则x ＋y ≥3，即充分性成立；若x ＋y ≥3，取x ＝0.5，y ＝3.5，则不满足x ≥1，y ≥2，故必要性不成立，从而为充分不必要条件，故选A.
12．下列推断中正确的是( )
A ．命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2>1
2”是真命题
B ．“1a ＋1b ＝4”的必要不充分条件是“a ＝b ＝12
”
C ．命题“若a ＋1a ＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ＝1，则a ＋1
a ≠2”
D ．命题“∀a ∈R ，a 2＋1≥2a ”的否定是“∃a ∈R ，a 2＋1<2a ” [答案] D
[解析] 若a ＝b ＝12，满足a ＋b ＝1，但a 2＋b 2＝12，故A 不正确；“1a ＋1
b ＝4”的充分不必要条件是“a
＝b ＝12”，故B 不正确；命题“若a ＋1a ＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ≠1，则a ＋1
a ≠2”，故C 不正确；
由全称命题的否定可知D 正确，故选D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．命题“假如ab 不为零，则a 、b 都不为零”的逆否命题是________． [答案] 假如a 、b 至少有一个为零，则ab 为零
[解析] 将原命题的结论和条件进行“换位”及“换质”，即得其逆命题．
14．函数f (x )＝x 2－mx ＋m 的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是____________． [答案] m ＝2
[解析] 函数f (x )＝x 2－mx ＋m 的对称轴为x ＝m
2
＝1，解得m ＝2.
15．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是__________________．
[答案] (1,2]
[解析] 若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2. 依题意，得(¬p )∧q 真，或p ∧(¬q )真，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1a >2或⎩⎪⎨⎪⎧
a >10<a ≤2
，所以1<a ≤2. 16．已知：①命题“假如xy ＝1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②命题“全部模相等的向量相等”的否定；
③命题“假如m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“假如A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．
其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． [答案] ①②③
[解析] ①逆命题：若x 、y 互为倒数，则xy ＝1，是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，有|a|＝|b|＝2，但a ≠b .
③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是由于当m <0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m >0恒成立，故方程有根，所以其逆否命题也是真命题．
④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并推断它们的真假．
[解析] 逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；真命题．
否命题：若
x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；真命题．
逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则
x －2＋(y ＋1)2≠0；真命题．
18．(本题满分12分)指出下列命题的构成形式，并判定下列命题的真假： (1)不等式|x ＋2|≤0没有实数解； (2)－1是偶数或奇数；
(3)2属于集合Q ，也属于集合R .
[解析] (1)此命题为“非p ”的形式，其中p ：不等式|x ＋2|≤0有实数解．由于x ＝－2是该不等式的一个解，所以p 是真命题，即非p 为假命题．所以原命题为假命题．
(2)此命题为“p 或q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数．由于p 为假命题，q 为真命题，所以“p 或q ”为真命题，故原命题为真命题．
(3)此命题为“p 且q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R .由于p 为假命题，q 为真命题，所以p 且q 为假命题，故原命题为假命题．
19．(本题满分12分)已知命题p {x |1－c <x <1＋c ，c >0}，命题q (x －3)2<16，且p 是q 的充分不必要
条件．求c 的取值范围．
[解析] 命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，由(x －3)2<16可解得命题q 对应的集合B ＝{x |－
1<x <7}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A
B ，∴⎩⎨⎧
c >0
1－c ≥－1
1＋c ≤7
，
解得：0<c ≤2，经检验知c ＝2也符合题意，所以所求c 的取值范围为0<c ≤2.
20．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)
(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a >2，q ：a >5； (4)p ：a <b ，q ：a
b
<1.
[解析] (1)在△ABC 中，∠A >∠B ⇔BC >AC .所以p 是q 的充要条件．
(2)a ＝3⇒(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0⇒/a ＝3.所以p 是q 的充分而不必要条件． (3)a >2⇒/a >5，但a >5⇒a >2，所以p 是q 的必要而不充分条件． (4)a <b ⇒/a b <1，且a b
<1⇒/a <b ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．
21．(本题满分12分)已知p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋1
16
a )的定义域为R ；q ：a ≥1.假如命题“p ∨q 为真，
p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．
[解析] 由p 真可知⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0Δ＝1－4a ·1
16a <0，解得a >2， 由p ∨q 为真，p ∧q 为假知，p 和q 中一个为真、一个为假． 若p 真q 假时a 不存在，若p 假q 真时1≤a ≤2. 综上，实数a 的取值范围是1≤a ≤2.
22．(本题满分14分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．假如p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．
[解析] 函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减⇔0<a <1；
曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4>0.即a <12或a >5
2.
(1)p 正确，q 不正确．
则a ∈(0,1)∩⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪
12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈⎣⎡⎭
⎫1
2，1. (2)p 不正确，q 正确．
则a ∈(1，＋∞)∩⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a ⎪
⎪
0<a <12或a >52， 即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.
综上所述，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.。