江西省南昌市新建县第一中学2020届高三第二次适应性考试数学(文)试题

江西省南昌市新建县第一中学2020届高三第二次适应性考试
数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 为虚数单位，2
121z i i ⋅=+-，则复数z 的虚部是（ ） A ．
32
B ．32i
C ．12
i D ．12
2．全集U =R ，集合04x
A x x ⎧
⎫=≤⎨⎬-⎩⎭
，集合{}2log (1)2B x x =->，则
()
U
A B 为（ ） A ．[]
(,0)4,5-∞⋃ B ．(,0)(4,5]-∞⋃ C ．(,0)[4,5]-∞⋃
D ．(,4])(5,)-∞⋃+∞
3．已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A ．m ∥l
B ．m ∥n
C ．n ⊥l
D ．m ⊥n
4．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A ．
310
B ．
15
C ．
110
D ．
120
6．已知等差数列{}n a 中，11a =，前10项的和等于前5项的和，若70m a a +=，则m =（ ） A ．10
B ．9
C ．8
D ．2
7．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若“122x ⎡⎤
∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）
A
．(
-∞
B
．⎡⎤⎣⎦ C
．⎡⎤-⎣⎦
D ．3λ=
9．在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥,2AB DC =,点P 在线段BC 上，且2BP PC =,则（ ）
A ．21
32AP AB AD =+ B ．12
23AP AB AD =
+ C ．3
2
AD AP AB =-
D ．2
3
AD AP AB =-
10．已知变量x ，y 满足约束条件2240240x y x y x y +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若222z x y x =++，则z 的最小
值为（
）
A ．40
B ．9
C ．8
D ．
72
11．已知12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右
支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13
F MO π
∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）
A ．2y x =±
B ．1
2
y x =±
C ．y =
D ．y x = 12．已知函数ln ()1x x
f x x
=-
+在0x x =处取得最大值，则下列选项正确的是（ ） A ．()0012f x x =< B ．()001
2
f x x =>
C ．()001
2
f x x ==
D ．()001
2
f x x <<
二、填空题
13．若210a =，5log 10b =，则
11
a b
+=________. 14．某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人､女员工40人，第2个部门男员工150人､女员工200人，第3个部门男员工240人､女员工160人.若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为______.
15．执行如图所示的程序框图，输出S 的值是__________．
16．如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则正四棱柱体积的最大值为__________.
三、解答题
17．在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =（1）若a ，b ，c 成等比数列，求证：60B ≤︒；
（2）若1
cos23
A =-（A 为锐角），1
sin 3
C =
.求ABC ∆中AB 边上的高h . 18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）
与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i
x (1,2,3,,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回
归直线方程分别为：ˆ4105y
x =-+，ˆ453y x =+和1ˆ304y x =-+，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
（2）若用2
y ax bx c =++模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为
20.3750.87590.25ˆy
x x =-++，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为0.9702和0.9524，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好； （3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）
80.91≈.
19．如图，四边形ABCD 为矩形，ABE ∆和BCF ∆均为等腰直角三角形，且
90BAE BCF DAE ∠=∠=∠=︒，//EA FC .
（1）求证：//ED 平面BCF ；
（2）
BC AB λ=，问是否存在λ，使得棱锥A BDF -的高恰好等于3
BC ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
20．已知1F ，2F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，离心率为12，M ，
N 是平面内两点，满足122F F F M =，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为
12．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过(0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B ，求OA OB ⋅（其中O 为坐标原点）的取值范围．
21．已知函数()ln f x x ax =-.
（1）若函数()f x 在定义域上的最大值为1，求实数a 的值；
（2）设函数()(2)()x
h x x e f x =-+，当1a ≥时，()h x b ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成
立，求满足条件的实数b 的最小整数值.
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为224
7cos2ρθ=
-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为
34
π. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .
23．已知函数()21f x x x =---，函数()421g x x x m =---+-． （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；
（2）当()g x 与()f x 的图象有公共点时，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．D 【分析】
利用复数的乘法法则将复数z 化为一般形式，进而可得出复数z 的虚部. 【详解】
2121z i i ⋅
=+-，()()11231222
i i z i -+∴=
=+，所以z 的虚部是12． 故选：D ． 【点睛】
本题考查复数虚部的求解，考查了复数乘法运算的应用，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】
解分式不等式以及对数不等式，得出集合,A B ，再结合集合的运算，即可得出答案. 【详解】
(4)00404x x x
x x -≤⎧≤⇔⎨-≠-⎩，解得04x ≤<
214
log (1)210x x x ->⎧->⇔⎨->⎩
，解得5x >
[0,4),(5,)A B ∴==+∞ [0,4)(5,)A B ∴⋃=⋃+∞
()(,0)[4,5]U A B ∴⋃=-∞⋃
故选：C 【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算，涉及了解分式不等式以及对数不等式，属于基础题. 3．C 【解析】 试题分析：
由题意知,l l αββ⋂=∴⊂，
,n n l β⊥∴⊥．故选C ．
【考点】空间点、线、面的位置关系．
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系． 4．A 【解析】
由正视图和俯视图可知，则该几何体P -ABCD 的底面ABCD 的正方形，
P A ⊥面ABCD ，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A 所示，故选A ．
5．C 【详解】
试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为1
10
，故选C. 考点：古典概型 6．B 【分析】
设等差数列{}n a 公差为d ,再用基本量法求解即可. 【详解】
设等差数列{}n a 公差为d ,则由题意可知1110954
10522
a d a d ⨯⨯+
=+,代入11a =有1045510d d +=+,解得17d =-.又70m a a +=,即()10725m ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
+=,解得9m =.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量计算,同时也考查了等差数列的求和公式.属于基础题. 7．A 【解析】
分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案.
详解：设()sin ln f x x x =+，
当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x
=+⇒=+
'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；
因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.
点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 8．A 【解析】
因为命题“1
[,2]2
x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定
“1[,2]2x ∀∈，使得2
210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x x λ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成
立，而22112x x x x +=+≥=12x x =，即2
x =
时取等号），即
λ≤ A.
9．C 【分析】
根据向量加法的三角形法则求解. 【详解】
因为11
22
BC AB AD DC AB AD AB AD AB =-++=-++
=-， 221
333
BP BC AD AB =
=-， 所以2122
++3333
AP AB BP AB AD AB AB AD =-=+=，
所以3
2AD AP AB =-.
故选C. 【点睛】
本题考查向量加法的三角形法则. 10．D 【分析】
画出不等式表示的平面区域，将222z x y x =++
=
，
的几何意义，即可得出答案. 【详解】
该不等式表示的平面区域，如下图所示
222z x y x =+
+
=
(1,0)D -到该平面区域
内点的距离
由图可知，点D 到直线2x y
+=
min
2
=
=
，即2
min 7122z ⎛=-= ⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题. 11． C 【分析】
从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123
F PF π
∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即
可求解. 【详解】
连接2PF ，因为M
是线段1F P 的中点，
由三角形中位线定理知21
,2
OM PF =
2//OM PF ， 由双曲线定义知122PF PF a -=， 因为1OF M 周长为111211
322
OF OM F M c PF PF c a ++=+
+=+， 所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中， 由余弦定理得222
12121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即()()()2
2
2
242242cos
3
c a a a a π
=+-⨯⨯，整理得，223c a =，
所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为y =. 故选:C . 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题. 12．A 【分析】 先求()()
2
ln 1
1x x f x x ++'=-
+，令()ln 1h x x x =---，则()h x 在()0,∞+上单调递减，
分析出010,,2x ⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
使()00h x =，且()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，
即可证明()0012
f x x =<. 【详解】
函数的定义域为()0,∞+，而()()
2
ln 1
1x x f x x ++'=-
+，
令()ln 1h x x x =---，则()h x 在()0,∞+上单调递减， 且()2
2
1
133110,ln 2ln 02222h e
h e e -⎛⎫
=->=-<-=-< ⎪⎝⎭
，
010,,2x ⎛⎫
∴∃∈ ⎪⎝⎭
使()00h x =，从而()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，
()f x 在0x x =处取得最大值，00ln 10x x ∴++=，
()0000000ln 1
ln 1,12
x x x x f x x x ∴=--∴=-
=<+.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了函数的导数应用，函数的单调性，函数的最值等问题. 13．1 【分析】
根据对数运算与指数运算是互为逆运算，求出a ，再利用换底公式求出1
a 与1b
，进行对数运算可求. 【详解】
2210,log 10,a a =∴=又5log 10b =，
251111
lg 2lg 5lg101log 10log 10
a b ∴+=+=+==. 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查了指数与对数的互化，考查了对数的运算公式及换底公式，熟练运用换底公式化同底数的对数是进行对数运算的关键. 14．24 【分析】
根据女员工在总体中所占比例，求得抽样比，进而求得抽取校本中女员工的人数. 【详解】
应选取的女员工的人数为40200160
51244020016060150240
++⨯=+++++.
故答案为：24. 【点睛】
本题考查分层抽样的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 15．0 【分析】
模拟运行程序，得出该程序框图S 的值会以3为周期循环出现，根据20193673=⨯，即可得出答案. 【详解】
1,0tan
3
n S π
==+=
22,tan
03
n S π=== 33,0tan
03n S π==+=
44,0tan
3n S π
==+=
55,tan
03
n S π=== 6,0tan
603
n S π==+= 由于()tan 3f n n π=的周期3
3
T π
π==，则tan 3
n π的值以3为周期循环出现
即该程序框图S 的值会以3为周期循环出现
因为20193673=⨯，所以2019n =时，0S =，此时循环终止，输出的0S = 故答案为：0 【点睛】
本题主要考查了由程序框图计算输出值，属于中档题. 16．64. 【分析】
设正四棱柱在半球中的高为x ,画出沿正四棱柱对角面的截面,再根据平面几何关系求出正四棱柱的底面边长和高,进而求得正四棱柱的体积关于x 的表达式,再利用导数分析最大值即可. 【详解】
设正四棱柱在半球中的高为x ,画出沿正四棱柱对角面的截面.则易得正四棱柱的底面边长
,正四棱柱的高为3x +,故正四棱柱的体积为
()()()2
2
3293V x x x =
⋅+=-+.
设()(
)()2
293f x x
x =-+,则()()()()()()2
'22329613f x x x x x x =-++-=--+.
因为03x <<,故当()'0f x =时1x =.
且在()0,1上()'0f x >,()f x 单调递增；在()1,3上()'0f x <,()f x 单调递减. 故()()()()max 12913164f x f ==⨯-+=
故答案为：64 【点睛】
本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的线段长度,再表达出体积的关系式,求导分析函数的单调性与最值即可.属于中档题.
17．（1）见解析（2）3
【分析】
（1）由a ，b ，c 成等比数列得2b ac =，再利用余弦定理及基本不等式求出cos B 的范围，从而证明60B ≤︒；
（2）先利用二倍角公式解1cos23
A =-得sin A =
；再由正弦定理求得a ；下面可采用种方法求解.方法一：由余弦定理求得b ，再利用AB 边上的高sin h b A =代入即得；方法二：先由同角的三角函数的基本关系算出cos ,cos A C ，进而算出sin B ，再利用AB 边上的高sin h a B =代入即得 【详解】
解：（1）证明：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =
而22222cos 22a c b a c ac B ac ac
+-+-==11122a c c a ⎛⎫=+-≥ ⎪
⎝⎭（当且仅当a c =时取等号） 又因为B 为三角形的内角，所以60B ≤︒
（2）在ABC 中，因为2
1
cos 212sin 3
A A =-=-，所以sin 3
A =
.
又因为c =
1sin 3C =
，
所以由正弦定理sin sin a c
A C
=，解得a =
法1：由sin A =
，02A π<<得cos A =
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=. 解得5b =或3b =-（舍）
所以AB 边上的高sin 5h b A ===
法2：由sin 3
A =
，02A π<<得cos A =
又因为1sin 3C =
，所以cos 3
C =±
所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=133339
=
⋅+=
或sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=133-=+=
（舍）
（或：因为a c =>=02
A π
<<，所以C 为锐角，）
又因为1sin 3C =
所以cos 3
C =
∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=13=
=
所以AB 边上的高sin h a B ===
. 【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，同角的三角函数基本关系式，二倍角公式等知识，考查了学生综合应用公式的计算能力.
18．（1）甲；（2）20.3750.87590.25ˆy x x =-++；（3）9.77
【分析】
（1）根据数据知,x y 负相关，排除乙，计算中心点验证排除丙得到答案. （2）2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702>，得到答案.
（3）32ˆ0.3750.87590.25z xy
x x x ==-++，求导得到单调区间，得到答案. 【详解】
（1）根据数据知,x y 负相关，排除乙.
456789 6.56x +++++=
=，898382797467
796
y +++++==.
代入验证知，丙不满足，故甲计算正确.
（2）2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702>，
故选用2
0.3750.87590.25ˆy
x x =-++更好. （3）根据题意：32ˆ0.3750.87590.25z xy
x x x ==-++，故297361
844
z x x '
=-++.
令'0z =，则79x =
（舍去）或7
9
x =
.
故当70,9x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，函数单调递增，当7,9x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，函数单调递减.
故当7
9.779
x =≈时，商品的月销售额预报值最大. 【点睛】
本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．（1）见解析（2）存在，1λ= 【分析】
（1）通过证明平面//ADE 平面BCF 来证明//ED 平面BCF ；
（2）设AB a ，BC b =，则λ=b a ，利用等体积法，则A BDF F ADB V V --=三棱锥三棱锥，可得关于λ的方程，求解可得. 【详解】
解：（1）因为//AD BC ，所以//AD 平面BCF 因为//EA FC ，所以//EA 平面BCF 所以平面//ADE 平面BCF 故//ED 平面BCF （2）
90,BAE AE AB ∠=∴⊥，又//,//EA FC CD AB CF CD ∴⊥，
,,BC CF BC CD C ⊥⋂=
CF ∴⊥平面ABCD ，
设AB a ，BC b =，则λ=b a
在矩形ABCD 和BCF ∆中，易得BD DF ===，BF =
所以在BDF ∆中，BF 边上的高
h ===又211
22
ABD S ab a λ∆=
= 所以，由等体积法得
2112323
a b b ab λ⋅=⋅=⋅
=1λ=
所以存在正实数1λ=，使得三棱锥A BDF -的高恰好等于
3
BC .
【点睛】
本题主要考查了直线与平面的平行，棱锥体积的计算，采用了等体积法求解参数，考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.
20．（1）22
143
x y +=（2）133,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
【分析】
（1）连接2PF ，根据中位线定理结合椭圆的定义得出4412a c +=，再由椭圆的性质，即可得出椭圆C 的方程；
（2）当直线l 的斜率不存在时，将直线l 的方程代入椭圆方程，得出3OA OB ⋅=-，当直线l 的斜率存在时，设出直线l 的方程并代入椭圆方程，结合韦达定理以及向量的数量积公式，得出225
343
O OB k A ⋅=-++，根据k 的范围，即可得出OA OB ⋅的取值范围．
【详解】
（1）连接2PF ，∵122F F F M = ∴2F 是线段1F M 的中点
∵P 是线段1F N 的中点，∴2//PF MN ，且21
=
2
PF MN
由椭圆的定义知，122PF PF a +=
∴1F MN △周长为，()
11121224412NF MN F M F P PF F F a c ++=++=+= 由离心率为
1
2知，12
c a =，解得2a =，1c =，∴2223b a c =-= ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线0x =
代入椭圆方程22
143
x y +=，解得y =此时3OA OB ⋅=-
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+
椭圆C 的方程22
34120x y +-=整理得，(
)2
2
341640k
x
kx +++=
设()11,A x y ，()22,B x y ，则122
1634k x x k
+=-
+，1224
34x x k =+ ()()222(16)443448410k k k ∆=-⨯⨯+=->，解得214
k >
∴()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++
222
222
43212124343434k k k k k k
-=-+=+++ 222121222222
412121612121625
33434344343
k k k OA OB x x y y k k k k k ---⋅=+=+==-=-++++++ ∵2
14k >
，∴2434k +>，∴2110434k <<+，∴22525
0434
k <<+
∴1334
OA OB -<⋅<
综上所述，OA OB ⋅的取值范围为133,4⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
． 【点睛】
本题主要考查了求椭圆的标准方程，椭圆中的向量的点乘问题，属于中档题. 21．（1）2a e -=（2）3-. 【分析】
（1）先对函数求导，得到()1
f x a x
'=
-，分别讨论0a ≤，0a >两种情况，判定函数单调性，根据函数的最大值，即可求出结果；
（2）先由题意，将问题转化为：得到()2ln x
b x e x ax ≥-+-，对任意的1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立；
再由()()2ln 2ln x x x e x ax x e x x -+-≤-+-，转化为：只需()2ln x
b x e x x ≥-+-对任
意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立即可，令()()2ln x
g x x e x x =-+-，用导数的方法求其最大值，即
可得出结果. 【详解】
（1）由题意，函数的定义域为()0,∞+，()1
f x a x
'=- 当0a ≤时，()1
0f x a x
'=
->，()f x 在区间()0,∞+上单调递增， ∴()f x 在定义域上无最大值．
当0a >时，令()1
0f x a x
'=-=，1x a
=，
由()0f x '>，得10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，
()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
所以函数max 21
11()()=()ln 11f x f x f a a a e
==-=⇒=极大值， 即2a e -=为所求．
（2）由()()2ln x h x x e x ax =-+-，因为()h x b ≤对任意的1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立， 即()2ln x b x e x ax ≥-+-，当1a ≥时，对任意的1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立， ∵1a ≥，0x >．
∴()()2ln 2ln x x
x e x ax x e x x -+-≤-+-， 只需()2ln x b x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立即可． 构造函数()()2ln x g x x e x x =-+-，()()()11111x x g x x e x e x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝
⎭， ∵1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，∴10x -<，且()1x t x e x
=-单调递增， ∵121202t e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
，()110t e =->，∴一定存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x = 即001x e x =，00ln x x =-．∴()g x 单调递增区间为01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调递减区间为()0,1x ． ∴()()()()000000max 012ln 124,3x g x g x x e x x x x ⎛
⎫==-+-=-+∈-- ⎪⎝⎭
， ∴b 的最小整数值为3-．
【点睛】
本题主要考查已知函数最值求参数的问题，以及导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.
22．（1）22143x y +=
，122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 是参数）（2）247 【分析】
（1）将曲线C 用二倍角余弦整理，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入，即可求出其
直角坐标方程；根据条件，写出直线参数方程的标准形式；
（2）将直线参数方程的标准形式代入椭圆方程，利用直线参数的几何意义，结合根与系数
关系，即可求出结论.
【详解】
（1）由2247cos2ρθ=
-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=， 将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22
143
x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22
143
x y +=， 由题知直线l
的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 是参数）.
（2）设直线l 与曲线C 交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，
将直线l
的标准参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 是参数）
代入曲线C 方程22
143
x y +=整理得，
27180t --=
，12121877
t t t t ∴+==-，
12247AB t t ∴=-===. 【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查应用直线参数标准方程的几何意义求相交弦长，考查计算求解能力，属于中档题.
23．（1）1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
；（2）[)1,+∞． 【分析】
（1）去绝对值，转化为分段函数，解不等式即可；
（2）函数()y g x =与()y f x =的图象有公共点，则方程()()f x g x =有解，利用参变量
分离法得出224m x x =-+-有解，利用绝对值三角不等式可求得m 的取值范围.
【详解】
（1）当()0f x >时，即21x x ->+.
当2x ≥时，则21x x ->+，此时x ∈∅；
当2x <时，则21x x ->+，解得12x <，此时12
x <. 综上所述，实数x 的取值范围为1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
； （2）因为函数()421g x x x m =---+-与函数()y f x =的图象有公共点， 则42121x x m x x ---+-=---有解．即224m x x =-+-有解， 由绝对值三角不等式得()24242x x x x -+-≥---=，所以22m ≥，m 1≥． 所以当()y g x =与()y f x =的图象有公共点时，实数m 的取值范围为[)1,+∞．
【点睛】
本题考查解绝对值不等式，以及函数图象有交点的问题，考查绝对值三角不等式以及分类讨论思想的应用，属于中档题．。