高三数学上学期第三次月考试题 文.doc

2018-2019学年第一学期高三第三次月考文科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第I 卷（选择题）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A ∪B 有几个元素( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
2．设i 为虚数单位，则复数
34i
i
-＝( ) A. －4－3i B. －4＋3i C. 4＋3i D.4－3i
3．已知向量(2,1)a =-r ，(3,)b n =r ，n R ∈，若a b ⊥r
r ,则n =（ ）
A. 6
B. 3
2
-
C. 32
D. 6-
4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝1
3，则sin B ＝( )
A. 15
B.59
C.5
3
D ．1 5．函数f(x)＝1－2x
＋1x ＋3
的定义域为( )
A ．(－3，0]
B ．(－3，1]
C ．(－∞，－3)∪(－3，0]
D ．(－∞，－3)∪(－3，1]
6．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π
4
对称，则φ的可能取值是
( )
A.3π4
B ．－3π
4
C.π
4
D.π2
7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A ．y ＝1x
B ．y ＝e －x
C ．y ＝－x 2
＋1 D ．y ＝lg |x|
8．将函数()sin(2)6
f x x π
=+的图象向右平移
6
π
个单位后,则所得的图象对应的解析式为
（ ） A.sin 2y x =
B. cos 2y x =
C.2sin 23
y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭ D. sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
9．函数y ＝a x
－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )
10．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝（ ） A ．
12 B ．2 C ．2- D ．1
2
- 11．若非零向量a ，b 满足==+32r
r
r
r
a b a b ，则r a 与r
b 夹角的余弦值为 （ ）
A ．
13 B ．3 C ．3- D ．13
- 12．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －1
2
，则( )
A ．x < y < z
B ．z < x < y
C ．y < x < z
D ．y < z < x
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设r
a 与r
b 是两个不共线向量，且向量λ+r
r
a b 与-r
r
2a b 共线，则λ= ．
14．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2
＝b 2
＋c 2
＋3bc .求A =__________．
15．在等差数列{a n }中，46420,10a a s +==，则d =______________ ．
16．已知α=3
sin 5
，且α为第二象限角．求sin2α=__________．
三、解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分）
17．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝10
2
-n a ，求b 2；
(3)求数列{nb n }的前n 项和T n .
18．已知函数()sin f x x x =，求： (1)函数()f x 的最大值，最小值及最小正周期； (2)函数()f x 的单调递增区间．
19. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac.
(1)求B ； (2)若sinAsin C ＝3－1
4
，求C.
20. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．
21. 已知函数f(x)＝x －1＋a
e
x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．
(1)若曲线y ＝f(x )在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f(x)的极值；
(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点，求k 的最大值．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参
数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝2tan 2
θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点
的坐标．
文科第一次月考答案
一．选择题
1.D
2.A
3.A
4.B
5.A
6.A
7.C
8.D
9.B 10. B 11. D 12.C 二．填空题
13. 1
-2
14. 1500
15. 16.24-25
三．解答题 17. 【答案】
18. 【答案】
f(x)=2(1/2sinx+√3/2cosx) =2sin(x+π/3)
∴f(x)最小正周期T=2π 最大值2，最小值-2
由2k π-π/2≤x+π/3≤2k π+π/2 得2k π-5π/6≤x ≤2k π+π/6,k ∈Z
∴单调递减区间为[2k π-5π/6,2k π+π/6]k ∈Z 19【答案】解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 2
＝－ac.
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ＝－1
2，
因此B ＝120°.
(2)由(1)知A ＋C ＝60°， 所以cos (A －C)
＝cos Acos C ＋sin Asin C
＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C
(2) b 2=26
＝12＋2×3－14 ＝32
， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.
20. 【答案】解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，
A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，
A 3}，{A 2，A 3}，共3种．
所以P (B )＝315＝1
5.
21. 【答案】(1)由f(x)＝x －1＋a e x ，得f ′(x)＝1－a
e
x .
又曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－a
e ＝0，解得a
＝e.
(2)f ′(x)＝1－a
e
x ，
①当a ≤0时，f ′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ②当a>0时，令f ′(x)＝0，得e x
＝a ，x ＝ln a. 当x ∈(－∞，ln a)时，f ′(x)<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f(x)在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a ，无极大值．
综上，当a ≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． (3)方法一：当a ＝1时，f(x)＝x －1＋1
e
x .
令g(x)＝f(x)－(kx －1)＝(1－k)x ＋1
e x ，
则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点， 等价于方程g(x)＝0在R 上没有实数解． 假设k>1，此时g(0)＝1>0，g ⎝
⎛⎭
⎪⎫1k －1＝－1＋1e
1k －1
<0，
又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R 上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.
又k ＝1时，g(x)＝1
e x >0，知方程g(x)＝0在R 上没有实数解．
所以k 的最大值为1.
22解：因为直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y
＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.
同理得到曲线C 的普通方程为y 2
＝2x.
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，（1
2，－1）。