2015年高考试题：正弦定理和余弦定理

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考点 16 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1. (2015 ·广东高考文科· T5) 设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 a=2,c=2 ,cosA= , 且 b<c, 则 b= (
)
A.
B.2
C.2
D.3
【解题指南】 直接利用 a 2=b 2 +c 2 -2bccosA 即可求得 b 的值 .
【分析】选 B 由余弦定理得： a
2
b
2
c
2
2bc cos
，因此 2
2
b
2
2
3 ，
2 32 b 2 3
2
即 b 2 6b 8 0 ，解得： b
2 或 b 4 ，因为 b c ，因此 b 2 ．
二、填空题
2. (2015 ·广东高考理科· T11) 设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 a
= ,sinB= ,C= , 则 b =
.
【解题指南】 可先求出角 B 的大小 , 再利用正弦定理求解 .
【分析】 因为 sin B
1
且 B
0, ，因此 B
或 B
5
，又C
，因此 B
，
2
6
6
6
6
A
B
2
，又 a
3 ，由正弦定理得
a b
即
3
b
解得 b 1.
C
sin A
sin B 2
3
sin
sin
6
3
答案:1
3. (2015 ·北京高考理科· T12) 在△ ABC 中 ,a=4,b=5,c=6,
则 sin2 A =
.
sin C
【解题指南】 利用二倍角公式睁开
sin2A, 再利用正、余弦定理角化边 .
sin2 A 2sin Acos A
2a b 2 c 2 a 2
a(b 2 c 2 a 2 )
【分析】
2bc
sinC
sin C
c
bc
2
=4 (526242 )
1.
562
答案:1
4 .(2015·天津高考理科·T13) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ ABC的面积为 3,b-c=2,cosA=-, 则 a 的值为.
【分析】因为 0<A<π , 因此sin A1cos2A15 ，
4
又S
ABC 1
bc sin A15 bc315,bc24 ，解方程组b
c 2
得 b 6,c 4 ，由余弦定28bc24
理得
a2b2c22bc cos A6242 2 64164 因此a=8.
4
答案:8
5.(2015·福建高考理科· T12) 若锐角△ ABC的面积为 10, 且 AB=5,AC=8, 则 BC 等于.
【解题指南】利用三角形面积公式及余弦定理求解.
【分析】 S= × 5× 8sinA=10 ? sinA= , 因为 A 为锐角 , 因此 A=60° , 因此
BC 2AB2AC 2 2 AB AC cos6025 64 2 5 81
49 ,因此BC=7. 2
答案:7
6.(2015 ·福建高考文科·T14) 若△ ABC中 ,AC= ,A=45 ° ,C=75 °, 则 BC=.【解题指南】利用正弦定理解答本题.
【分析】因为 A=45° ,C=75 ° , 因此 B=60° , 由正弦定理可知
AC BC3BC sin B sin A sin 60BC2
sin 45答案 :
7. (2015·北京高考文科·T11) 在△ ABC中 ,a=3,b= 6 ,∠A=2
, 则∠ B=. 3
【解题指南】利用正弦定理求解, 注意角 B 的范围 .
【分析】由正弦定理得36,因此2因为∈),因此B= .
2sin B sin B. B (0,34
2
sin
3
答案 :
4
8．（ 2015·安徽高考文科· T12）在ABC 中，AB 6 ， A75，B45，则 AC。

【解题指南】依据正弦定理解三角形。

AB AC6AC
AC2
【分析】由正弦定理可知：sin[1800(750450 )]sin 450sin 600sin 450
答案： 2
三、解答题
9.(2015 ·浙江高考文科· T16) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan(+A)=2.
(1) 求的值.
(2) 若 B= ,a=3, 求△ ABC的面积 .
【解题指南】(1) 利用两角和与差的正切公式, 获得 tan A的值 , 利用同角三角函数基本关系式
获得结论 ;(2)利用正弦定理获得边 b 的值 , 依据三角形 , 两边一夹角的面积公式计算获得三角形
的面积 .
【分析】 (1)由 tan(+A)=2得 tan A=,
因此sin 2A2sin A cos A 2 tan A 2 .
sin 2A cos2 A2sin A cos A cos2 A 2 tan A 15
(2)由 tan A 1
可得， sin A10,cos A 3 10 31010
a3, B，由正弦定理知，b35
4
又 sin C sin( A B)sin A cos B cos Asin B 2 5 ，
5
因此
S V ABC 11
3 35
25
9. ab sin C
5
22
10.(2015·浙江高考理科·T16) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知
A= ,b 2-a 2= c 2.
(1) 求 tan C 的值 .
(2) 若△ ABC 的面积为 3, 求 b 的值 .
【解题指南】 (1) 依据正弦定理可将条件中的边之间的关系转变成角之间的关系
, 再将式子作三
角恒等变形即可求解 ;(2) 依据条件第一求得
sin B 的值 , 再联合正弦定理以及三角形面积的计
算公式即可求解 .
【分析】 （ 1）由 b
2
a 2 = 1 c 2 及正弦定理得 sin 2
B
sin 2
A
1
sin 2
C ，即 sin 2
B
1
1
sin 2 C ，
2
2
2 2
因此
cos2B sin 2 C
又因为 A
，因此
B
C
3 2B
3 2C ，
， 2
4
4
因此 cos2B sin 2C 2sin C cosC
即 2sin C cosC
sin 2 C ，因此 tan C
2
（ 2）由 tanC
2 ， C
0,
得 sin C
2
5 5 5 ,cos C
5
又因为 sin B
sin A C sin(C)
sin
cosC
3 10
cos sin C
10
4
4
4
由正弦定理得 c
2 2 b
3
因为 A
， 1
bc sin A 3 ，因此 bc
6 2 ，因此 b
3 .
4
2
ABC 中， A , AB 6, AC 3 2
11. （ 2015·安徽高考理科·
T16） . 在
4
,点 D 在
BC
边
上，
AD BD ，求 AD 的长。

【解题指南】 依据余弦定理解三角形。

【分析】 设 AD=x, 由余弦定理得：
BC 2
AB 2
AC 2
62
(3 2)2 2
6 3 2 cos 3
=90，
2AB.AC.cos A =
4 因此 BC=
3 10
，在 VABD 中，设 ADB
，则 ADC
1800 ，
设 AD=x, 则 BD=x,DC=3 10
-x, 由余弦定理得：
AB 2AD 2BD 22AD .BD .cos ，
即 362x22x2 cos(1)
AC 2AD 2DC 2 2 AD.DC .cos(1800) ,
即 18x2(3 10x)22x.(3 10 x).cos（2）
由（ 1）（ 2）解得x10,即 AD10 。

12. （ 2015·四川高考文科·T19). 已知A, B, C为VABC的内角，tan A, tan B是对于x的方程
x2 3 px p 1 0 ( p R) 的两实根.
（ 1）求C的大小；
（ 2）若AB3, AC 6 ，求p的值.
【解题指南】（ 1）将三角函数与韦达定理联合，利用正切函数和角公式。

（2）利用正弦定理和正切函数和
角公式。

本题将三角函数与韦达定理联合，考察正切函数和差角公式、解三角形基础知识的运用. 题目较简单，难度与题型与全国卷相像，表现对考生基础知识的运用能力，运算求解能力，较易拿分.
【分析】
（ 1）tan A, tan B是对于x的方程x2 3 px p 10 的两个根可得：
tan A tan B 3 p ， tan A tan B 1 p ，
因此 tan( A B)tan A tan B 3 p3，则A B120o，由三角形内角和为180o可知，1tan A tan B p
C 60o.
（ 2）在VABC
中，由正弦定理可得，
AB AC2. 又，由三
求得，则
sin C sin B sin B2tan B 1 tan C3
角形内角和为180o及引诱公式可知tan A tan( B C ) ，解得 tan A 2 3 ，将 tan A, tan B 代入tan A tan B 3 p ，解得 p 3 1.
13.(2015 ·四川高考理科·T19) 如图 ,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角 .
(1) A 1 cos A
证明 : tan
.
2
sin A
(2) 若∠ A+∠ C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5, 求 tan
A
tan
B
tan
C
tan D
的值 .
2
2
2 2
【解题指南】 (1)
利用二倍角公式 , 分子分母同时睁开 .
(2) 利用 (1) 的结果 , 再联合余弦定理求解 .
2sin 2
A
sin
A
A
【分析】 (1) 右侧 =
2
2
tan
A
A
A =左侧 ,
2sin cos cos
2
2 2 2
故原式建立 .
(2) 由 (1) 知,
tan
A
1 cos A ，tan B 1 cos B , tan C
1 cosC , tan D 1 cosD
2
sin Ａ 2 sinB 2
sin C 2 sinD
又∠ A+∠ C=180° , 因此∠ B+∠ D=180° ,
因此 sinA=sinC,cosC=-cosA,sinD=sinB,cosD=-cosB,
因此,原式=
1
cos A 1 cosB 1 cosC 1 cos D
sinA sinB sin C sin D 1 cos A 1 cos A 1 cosB
1 cos B sinA
sin A
sinB
sin B
2
2
sin A sin B
在三角形 DAB 中 ,
2
2
2
BD=AB+AD-2AB · ADcos ∠ DAB=36+25-2× 6× 5cos ∠ DAB=61-60cos ∠ DAB,
在三角形
2
2
2
BCD 中 ,BD =BC+CD-2BC ·DCcos ∠BCD=9+16-2× 3× 4cos ∠ BCD 因此 ,61-60cos ∠ DAB=25+24cos ∠ DAB
cos DAB
3
,sin DAB
2 10
,即 sin A
2 10
7
7
7
610
同理 sin B
19
因此,原式=22 4 10.
sin A sin B3
14.(2015 ·新课标全国卷Ⅰ文科· T18)(12 分 ) 已知 a,b,c分别是△ ABC内角 A,B,C 的对边 ,sin 2B=2sin Asin C.
(1) 若 a=b, 求 cos B.
(2) 若 B=90° , 且 a=, 求△ ABC的面积 .
【解题指南】(1) 依据正弦定理将sin 22
B=2sin Asin C变成 b =2ac, 再利用余弦定理求出
cos B.(2) 利用勾股定理及b2=2ac 求出 c, 而后确立△ ABC的面积 .
【分析】 (1)因为 sin 2B=2sin Asin C,由正弦定理得b2 =2ac, 因为 a=b,
因此 a=2c.
由余弦定理得cos B a2c2b2c2c 1 .
2ac2ac2a4
（ 2）因为B90 o，因此 a2c2b2，又 b22ac ，因此 a2c22ac ，即 a c 2 ，所
1
221
以S ABC
2
15.(2015 ·新课标全国卷Ⅱ理科·T17)(12分 ) △ ABC中 ,D 是 BC上的点 ,AD 均分∠BAC,
△ABD是△ ADC面积的 2 倍 .
(1)求 .
(2) 若 AD=1,DC= , 求 BD和 AC的长 .
【解题指南】(1) 由正弦定理确立.(2)由余弦定理求BD和 AC 的长 .【分析】 (1)S △ABD= AB· ADsin ∠ BAD,
S△ADC= AC· ADsin ∠ CAD,
因为 S△ABD=2S△ADC, ∠ BAD=∠ CAD,因此 AB=2AC.
由正弦定理可得
= = .
(2) 因为 S △ ABD ∶ S △ ADC =BD ∶ DC,因此 BD= .
在△ ABD 和△ ADC 中 , 由余弦定理知 ,
2
2
2
AB =AD+BD-2AD · BDcos ∠ ADB,
2
2
2
AC=AD+DC-2AD · DCcos ∠ ADC,
2 2
2
2
2
故 AB +2AC=3AD +BD+2DC=6.
由 (1) 知 AB=2AC,因此 AC=1.
16.(2015 ·新课标全国卷Ⅱ文科· T17) △ ABC 中 D 是 BC 边上的点 ,AD 均分∠ BAC,BD=2DC.
(1) 求 .
(2) 若∠ BAC=60° , 求 B.
【解题指南】 (1) 由正弦定理求解
.(2) 联合
, 求出 sin C,
进而确立∠ B 的值 .
【分析】 (1) 由正弦定理得= BD
, =
DC , 因为 AD 均分∠ BAC,BD=2DC,因此
sin CAD sin BAC
= = .
(2) 因为∠ C=180° -( ∠ BAC+∠ B), ∠ BAC=60° ,
因此 sin C=sin(
∠ BAC+∠ B)
= cos B+ sin B.
由 (1) 知 2sin B=sin C,
因此 tan B=
, ∠ B=30° .
17. (2015 ·江苏高考· T15) 在△ ABC 中 , 已知 AB=2,AC=3,A=60 ° .
(1) 求 BC 的长 .
(2) 求 sin2C 的值 .
【解题指南】
(1) 利用余弦定理可求得
BC 的
长
.(2)
先利用正弦定理求出
sinC 的值,再利
用余弦定理求出
cosC 的值 , 最后由二倍角的正弦公式即可求得
sin2C 的值 .
【分析】 (1) 在△ ABC 中 , 由余弦定理可知 ,BC 2= AC 2 + AB 2-2AC ·AB · cosA, 即 BC 2=32 +22 -2
× 3×2×cos60 ° , 解得 BC= .
(2) 由正弦定理可知
,
AB
BC , 即
2 7 o , 解得 sinC= 21
; 由余弦定理可
sin A
sin C
sin C sin60
7
得 ,cosC= BC 2
AC
2
AB
2
=
(
7) 2
32
22
=
2 7
.
2BC AC
2
7 3
7
因此 sin2C=2sinCcosC=
2
21 2 7=4 3.
7 7
7
18.(2015 ·山东高考理科· T16)( 本小题满分
12 分 ) 设 f (x)
sin x cos x cos 2 ( x)
4
(1) 求 f(x) 的单一区间 .
(2) 在锐角△ ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分别为
a,b,c. 若
(A
) 0
求△
面积的最大
f
,a=1,
ABC
2
值 .
【解题指南】 先将函数 f(x) 化简成一个角的一个三角函数 , 再联合面积公式和基本不等
式求解 .
1
sin 2x 1 cos2(x
) 【分析】 (1) f ( x)
sin x cos x cos 2 ( x
)
2
4
4
2 1
sin 2 x 1 1
sin 2x sin 2 x
1 .
2 2
2
2
令
2k
2x
2 2k , k
Z ，得
k x
k ,k Z ；
2
4
4
令
2k 2x
3 2k , k
Z ，得
k
x
3 k , k Z .
2
4
2
4
因此 f(x) 的单一递加区间为
4k ,
k (k Z ) ，单减区间为
k ,
3
k
(k Z ) .
4
4
4
(2)
因为 f ( A sin A 1
ABC 为锐角三角形，因此
A .
)
0 ，且
2
2
6
由 a 1 ， cos A
3 b 2 c 2 a 2 ，得
3bc b 2 c 2 1 2bc
1，因此 bc
1 2
3 ，所
2 2bc
2
3
1 bc sin A
1 (
2 3)
1
2
3 以S
ABC
2 2
.
2
4
即 ABC 面积的最大值为
2
4
3 .
19.(2015 ·山东高考文科· T17)( 本小题满分 12 分 )
在△ ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 cos B
3
,sin( A B)
6
. 求 sin A 和
3
9
c 的值 .
【解题指南】先判断 A+B,再将其看作一个整体, 利用两角和与差的三角公式, 联合正弦定理求解 .
【分析】在△ ABC中 ,cos B 3
，则 sin B 6 . 33
因为 sin( A B)66
，因此 A B 为钝角，cos(A B) 5 3 ，
939因此 sin A sin( A B B) sin( A B)cos B cos( A B)sin B
63( 5 3 )622
. 即sin A 2 2 .
939333
因为 sin C sin( A B)6
,sin A
2 2
， ac 2 3 ，93
a c sin A 22
由正弦定理，得 ac23
c2，因此 c 1 .
sin A sin C c 2 3
sin C6
9
20.(2015 ·陕西高考理科· T17)( 本小题满分 12 分 ) △ΑΒ C 的内角Α , Β ,C 所对的边
分别为 a,b,c.向量m=(a,b) 与 n=(cos Α ,sin Β ) 平行 .
(1)求Α .
(2)若 a= ,b=2, 求△ΑΒ C 的面积 .
【解题指南】(1)先利用m ∥ n得asinB-bcosA=0,再利用正弦定理转变求得tanA的值进而得 A的值 .
(2) 利用余弦定理得边 c 的值 ,代入三角形的面积公式求解.
【分析】(1) 因为m ∥ n, 因此asinB-bcosA=0,
由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0,
又 sinB ≠ 0, 进而 tanA= , 因为 0<A<π , 因此 A= .
(2)由余弦定理得
a2 =b2+c 2-2bccosA,
而 a= ,b=2,A= ,
得 7=4+c 2 -2c, 即 c 2-2c-3=0,
因为 c>0, 因此 c=3.
故△ ABC的面积为bcsinA=.
21.(2015 ·陕西高考文科· T17)( 本小题满分 12 分 )
△ΑΒ C 的内角Α , Β ,C 所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b) 与 n=(cos Α ,sinΒ )平行 .
(1)求Α .
(2)若 a= ,b=2 求△ΑΒ C 的面积 .
【解题指南】(1) 先利用m∥ n 得出 asinB-bcosA=0, 再利用正弦定理转变求得tanA 的值进而得 A 的值 .
(2) 利用余弦定理得边 c 的值 , 代入三角形的面积公式求解.
【分析】 (1) 因为 m ∥ n, 因此 asinB-bcosA=0,
由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0,
又 sinB ≠ 0, 进而 tanA= , 因为 0<A<π , 因此 A= .
（ 2）由余弦定理得
a 2b2c22bc cos A,
而
a7, b2, A,
3
得
74c22c,即c22c 30,
因为 c0,因此 c 3.
故的面积为1 3 3
ABC bc si n A
22
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