四川省雅安市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析

四川省雅安市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在等差数列{}n a 中，若32a =，64a =，则1a =（ ） A ．
43
B ．1
C ．
23
D ．
13
【答案】C 【解析】 【分析】
运用等差数列的性质求得公差d ，再运用通项公式解得首项即可． 【详解】 由题意知634226333a a d --===-，所以1342
2233
a a d =-=-=. 故选C. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题． 2．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)...(2018)f f f f ++++=（ ）
A ．50
B ．2
C ．0
D ．-2018
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得()00f =，()f x 为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和． 【详解】
解：()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数， 可得()()f x f x -=-，
()()11f x f x -=+即有()()2f x f x +=-，
即()()2f x f x +=-，
进而得到()()()42f x f x f x +=-+=，
()f x 为周期为4的函数，
若()12f =，可得()()()3112f f f =-=-=-，
()()200f f ==，()()400f f ==，
则()()()()123420200f f f f +++=+-+=， 可得()()()()123...2018f f f f ++++
5040202=⨯++=.
故选：B ． 【点睛】
本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
3．设非零向量a b c v v v 、、满足a b c ==v v v ，a b c +=v v v ，则向量a b v
v 、
间的夹角为( ) A ．150° B ．60° C ．120° D ．30°
【答案】C 【解析】 【分析】
利用平方运算得到夹角和模长的关系，从而求得夹角的余弦值，进而得到夹角. 【详解】
a b c +=v v v ()
22a b c ⇒+=v v v 2222a a b b c ⇒+⋅+=v v v v v
即2222cos ,a a b a b b c +<>+=v v
v v v v v 1cos ,2
a b ⇒<>=-v v
,120a b ∴<>=o v
v
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查向量夹角的求解，关键是利用平方运算和数量积运算将问题变为模长之间的关系，求得夹角的余弦值，从而得到所求角. 4．函数y=12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为 A ．（-1,1] B ．（0,1]
C ．[1，+∞）
D ．（0，+∞）
【答案】B 【解析】
对函数21ln 2y x x =-求导，得2
11
x y x x x
='-=-（x>0）,令21
0{0
x x x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数
2
1ln 2
y x x =
-的单调减区间为(0,1]，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域
5．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作垂直于实轴的弦PQ ，
若12
PF Q π
∠=，则C 的离心率e 为（ ）
A ．21-
B ．2
C ．21+
D ．22+
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得到关于a,c 的齐次式，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】
由双曲线的通径公式可得2
2b PF a
=，
由1
2
PFQ π
∠=结合双曲线的对称性可知1
PFQ △是等腰直角三角形， 由直角三角形的性质有：212PF F F =，即：2
2b c a =， 据此有：222c a ac -=，2210e e --=，解得：12e =±， 双曲线中1e >，故C 的离心率e 为21+. 本题选择C 选项. 【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c
e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】
分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====， 由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：
,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 7．已知f(x)为偶函数，且当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x ，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log 2x ，则
()(4)3
f f π
-+等于( )
A 3＋2
B ．1
C ．3
D 3＋2
【答案】D 【解析】 【分析】
函数f （x ）为偶函数，可得f （﹣
3π）=f （3
π
）再将其代入f （x ）=2sinx ，进行求解，再根据x ∈[2，+∞）时f （x ）=log 2x ，求出f （4），从而进行求解； 【详解】
∵函数f （x ）为偶函数， ∴f （﹣
3π）=f （3
π
）， ∵当x ∈[0，2）时f （x ）=2sinx ， ∴f （x ）=2sin
3π=2×3
2
3 ∵当x ∈[2，+∞）时f （x ）=log 2x ，
∴f （4）=log 24=2， ∴()43f f π⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
=3+2， 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查函数值的求解问题，解题的过程中需要注意函数的定义域，属于基础题 8．某几何体的三视图如图所示，当4a b +=时，这个几何体的体积为（）
A ．1
B ．
1
2
C ．
43
D ．
23
【答案】B 【解析】 【分析】
三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值． 【详解】
解：如图所示，可知6,1,,AC BD BC b AB a =
===．
设,CD x AD y ==，
则2
2
2
2
2
2
6,1,1x y x b y a +=+=+=，
消去2
2
,x y 得2
22
()82
a b a b ++=≥，
所以4a b +≤，
当且仅当2a b ==时等号成立，此时3,3x y ==，
所以111133322
V =
⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是中档题．
9．命题“任意[]
2
1,2,0x x a ∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤
C ．5a ≥
D ．3a ≥
【答案】C 【解析】
试题分析：对此任意性问题转化为恒成立，当
，即
，
，若是原命题为真
命题的一个充分不必要条件，那应是的真子集，故选C.
考点：1.集合；2.充分必要条件. 10．设a ，b ，c ∈R，且a ＞b ，则 A ．ac bc > B ．a c b c -<-
C ．22a b >
D ．33a b >
【答案】D 【解析】
分析：带特殊值验证即可
详解：2b 1c 0a ===，，排除A,B ． 1b 2a ，=-=-排除C ．故选D 点睛：带特殊值是比较大小的常见方法之一．
11．已知随机变量8ξη+=，若()10,0.4B ξ:，则()(),E D ηη分别是（ ） A ．6和5.6 B ．4和2.4
C ．6和2.4
D ．4和5.6
【答案】B 【解析】
分析：根据变量ξ～B （10，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量η=8﹣ξ，知道变量η也符合二项分布，故可得结论． 详解：∵ξ～B （10，0.4），
∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4， ∵η=8﹣ξ，
∴Eη=E （8﹣ξ）=4，Dη=D （8﹣ξ）=2.4 故选：B ．
点睛：本题考查变量的均值与方差，均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，属于基础题．方差能够说明数据的离散程度，期望说明数据的平均值，从选手发挥稳定的角度来说，应该选择方差小的.
12．设函数()2
e +x
f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点12x x ，(12x x <)，则实数a 的取值范围是( )
A ．e e,2
⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．e ,2⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
C ．
()e,-+∞
D ．e e,2
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
函数()2
e +x
f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点，即为()0f x '=在R 上有两个不同的解，进而转化为
两个图像的交点问题进行求解． 【详解】
解：因为函数()2
e +x
f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点，
所以()0f x '=在R 上有两个不同的解， 即2ax ＋e x ＝0在R 上有两解，
即直线y ＝－2ax 与函数y ＝e x 的图象有两个交点，
设函数()g x kx =与函数()x
h x e =的图象相切，切点为(x 0，y 0)， 作函数y ＝e x 的图象，
因为()x h x e '= 则0x e k =，
所以
0000
x x y e k e x x ===， 解得x 0＝1，即切点为(1，e)，此时k ＝e ，
由图象知直线()y g x kx ==与函数y ＝e x 的图象有两个交点时， 有k e >即－2a ＞e ， 解得a ＜e 2
-， 故选B. 【点睛】
本题考查了函数极值点的问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程根的问题，再通过数形结合的思想方法解决问题．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．曲线3y x =在P （1，1）处的切线方程为_____． 【答案】
【解析】
因为曲线y=x 3，
则2
'3y x =，故在点（1，1）切线方程的斜率为3
，利用点斜式方程可知切线方程为
14．已知函数2
()f x x ax =-，若对任意[]
1,2x ∈，2
()22≤+f x x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____
【答案】22,5⎡⎤-⎣⎦
【解析】 【分析】
先将对任意[]
1,2x ∈，2
()22≤+f x x 恒成立，转化为2222222x x ax x ---+剟，利用基本不等式和函
数单调性，分别研究2a x x --…对任意[],2x l ∈恒成立，和2
3a x x
+…对任意[],2x l ∈恒成立，即可求出结果. 【详解】
()222f x x +…等价于2222x ax x -+…，即2222222x x ax x ---+剟，
①先研究2222x ax x -+…对任意[]
1,2x ∈恒成立，即2
a x x
--…对任意[]1,2x ∈恒成立， ∵2222x x x x ⎛
⎫--
=-+- ⎪⎝
⎭…，当且仅当“2x =时取等号， ∴22a -…；
②再研究2222x x ax ---…对任意[]
1,2x ∈恒成立，即2
3a x x
+…对任意[]1,2x ∈恒成立， ∵函数2
3y x x
=+在[]1,2上单调递增， ∴min
23325x x ⎛⎫
+
=+= ⎪⎝⎭， ∴5a ≤；
综上，实数a 的取值范围是22,5⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：22,5⎡⎤-⎣⎦.
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立求参数的范围，熟记基本不等式以及函数单调性即可，属于常考题型. 15．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n
x x
++展开式中常数项为_______． 【答案】61 【解析】
分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x
+
+展开式中常数项为61. 详解：(12)n
x +Q 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3
C n 最大，
3234
n n n
n C C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*
,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)n x x
+
+展开式中常数项为02
26
6261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.
16．已知双曲线1C ，2C 的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程为1
y x a
=±
，离心率分别为1e ，2e ．则12e e + 的最小值为___________．
【答案】【解析】 【分析】
根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得1e =
2e =. 【详解】
解：由渐近线方程为1
y x a
=±
可知， 2212:x C y a λ-=，22
22:x C y m a -=(),0m a λ>，,
∴1e a
=
，2e =
∴12
a e e =+≥==+
≥=
第一次取等号的条件为2
2
1
1
a
a
+
=+，即1
a=，
第二次取等号的条件为
1
a
a
=，即1
a=.
∴
12
e e
+的最小值为22.
故答案为：22.
【点睛】
本题考查双曲线的方程和基本性质，离心率的求法，基本不等式的应用，属于中档题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若0.75
r>，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：
周光照量X（单位：小时）3050
X
<<5070
X
≤≤70
X>
光照控制仪最多可运行台数 3 2 1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：相关系数1
22
11
()()
()()
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
==
--
--
∑
∑∑
，参考数据：
5
1
()()6
i i
i
x x y y
=
--=
∑52
1
()25
i
i
x x
=
-
∑，
5
2
1
()2,0.30.55
i
j
y y
=
-
∑0.90.95
≈
【答案】（1）0.95
r≈，可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）2台光照控制仪.
【解析】
【分析】
（1）由题中所给的数据计算,x y，进而结合参考数据计算相关系数，得出答案；
（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；②安装2台光照控制仪有2种情形：做出分布列即可求解．
【详解】
（1）由已知数据可得
24568
5
5
x
++++
==，
34445
4
5
y
++++
==
所以相关系数
()()
0.95
n
i i
x x y y
r
--
===≈
∑
因为0.75
r>，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；
②安装2台光照控制仪的情形：
当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝3000﹣1000＝2000元，
当30＜X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y＝2×3000＝6000元，
故Y的分布列为：
所以E（Y）＝1000×0.2+5000×0.7+9000×0.1＝4600元．
综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.
【点睛】
本题考查了线性回归方程的求法及应用，分布列的求法，利润的计算，属于中档题.
18．高二年级数学课外小组10人:
（1）从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?
（2）从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?
【答案】（1）90（2）45
【解析】
【分析】
（1）应用排列进行计算；（2）应该用组合来进行计算。

【详解】
（1）选一名正组长和一名副组长，因为正组长与副组长属于不同的职位，所以应该用排列，2
10
90
A=.
（2）选2名参加省数学竞赛，都是同样参加数学竞赛，所以应该用组合，21045C =.
【点睛】
本题考查了排列和组合的基本概念和应用，属于基础题。

19．如图（1）是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为r 分米的半圆和矩形ABCD 组成，其中AD 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元.
（1）写出y 关于r 的函数解析式；
（2）当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？
【答案】（1）2331222(1614)()84y r r r πππ=
++≤≤++；（2）当328r π=+分米时，该首饰盒制作费用最低.
【解析】
分析：该几何体下面是一个长方体，上面是半个圆柱，由体积求得a ，然后分别求出上半部分和下半部分的面积，从而可得y 关于r 的解析式，注意要由2r a r ≤≤可求得r 的取值范围．
（2）利用导数可求得()y f r =的最小值．
详解：（1）由题知232
1
442282r r ar r ar ππ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭， ∴33
2242284r r a r r
ππ--==. 又因2r a r ≤≤332284r ππ
≤++ ∴()()22
248844y ar ar r r r r ππ=+++⨯+ 22241620ar r r π=++
3
22222420164r r r r r
ππ-=⨯++
()2121614r r r π=++≤≤.
（2）令()()2121614f r r r π=
++， ∴()()2
12'3228f r r r π=-++，
令()'0f r =则r = ∵()()
328110878878πππππ--=<++++，
r ≤≤()'0f r >，函数()f r 为增函数.
∴r =时，()f r 最小.
答：当r =. 点睛：本题考查导数的实际应用．解题关键是求出费用y 关于r 的函数解析式，解题中要注意求出r 的取值范围．然后就可由导数的知识求得最小值．
20．已知2()(3)2ln f x a x x =-+，α∈R ，曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平分圆C ：
22(3)(2)2x y -+-=的周长.
（1）求a 的值；
（2）讨论函数()y f x =的图象与直线()y m m R =∈的交点个数.
【答案】（1）12a =
；（2）见解析. 【解析】
【分析】
（1）求得曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线，根据题意可知圆C 的圆心在此切线上，可得a 的值. （2）根据()0f x '=得出()f x 极值，结合单调区间和函数图像，分类讨论m 的值和交点个数。

【详解】
（1）2()(3)2ln f x a x x =-+，2()2(3)f x a x x
'=-+
∴(1)4f a =，(1)24f a '=-，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4(24)(1)y a a x -=--
由切线平分圆C ：22(3)(2)2x y -+-=的周长可知圆心(3,2)在切线上，
∴24(24)(31)a a -=--， ∴12a = （2）由（1）知，21()(3)2ln (0)2
f x x x x =-+> 2(1)(2)()3x x f x x x x
'--=-+=，令()0f x '=，解得1x=或2x = 当01x <<或2x >时，()0f x '>，故()f x 在(0,1)，(2)+∞，
上为增函数；当12<x <时，()0f x '<，故()f x 在(1,2)上为减函数.
由此可知，()f x 在1x=处取得极大值(1)2f =
在2x =处取得极小值1(2)2ln22
f =
+ 大致图像如图：
当2m >或12ln 22m <
+时，()y f x =的图象与直线y m =有一个交点 当2m =或12ln 22m =
+时，()y f x =的图象与直线y m =有两个交点 当12ln 222
m +<<时，()y f x =的图象与直线y m =有3个交点. 【点睛】
本题考查利用导数求切线，研究单调区间，考查数形结合思想求解交点个数问题，属于基础题. 21．某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有7名男同学,3名女同学,在这10名学生中,1班和2班各有两名同学,3班至8班各有一名同学,现从这10名同学中随机选取3名同学,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每位同学被选到的可能性相同)
(1)求选出的3名同学是来自不同班级的概率;
(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望
【答案】 (1) 1315
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件A ，由题目信息可知事件A 对应的基本事件有
11111232262266C C C C C C C ++个，总的基本事件有310C 个，利用概率公式即可求得结果；
（2）根据题意，可知随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3，结合337310
()k k C C P X k C -==，分别求得()(0,1,2,3)P X k k ==的值，进而列出分布列，利用公式求得其期望.
【详解】
（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件A ， 则1111123226226631013()15
C C C C C C C P A C ++== 答：选出的3名同学是来自不同班级的概率为
1315
. （2）随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.
03373107(0)24
C C P X C === 123731021(1)40
C C P X C '=== 21373107(2)40
C C P X C === 30373101(3)120C C P X C === ∴X 的分布列为
()012324404012010
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 答：选出的3名同学中女同学人数的数学期望为
910
. 【点睛】 该题考查的是有关离散型随机变量的问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量分布列及其期望，属于简单题目.
22．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和3，侧棱1AA 的长为
5.
（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.
【答案】（1）30；（2）arctan 2.
【解析】
【分析】
（1）根据体积公式直接计算；（2）说明1A MA ∠就是直线1A M 与平面ABC 所成角，再计算.
【详解】
（1）根据题意可知14362
ABC S ∆=⨯⨯=， 16530ABC V S AA ∆=⋅=⨯=;
（2）连接AM ，
1AA ⊥Q 平面ABC ，
1A MA ∴∠就是直线1A M 与平面ABC 所成角， ABC ∆Q 是直角三角形，5BC =，且M 是中点， 52
AM ∴=， 115tan 25
2
AA A MA AM ∴∠=== , ∴直线1A M 与平面ABC 所成角的大小arctan 2.
【点睛】
本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角，意在考查基本概念和计算求解能力，属于简单题型.。