高考数学向量运算与复数运算、算法、推理与证明

⾼考数学向量运算与复数运算、算法、推理与证明
向量运算与复数运算、算法、推理与证明
⾼考考点考点解读
平⾯向量的运算及运⽤1.以平⾯图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及⼏何意义
2．以平⾯向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、数量积交汇命题
3．直接利⽤数量积运算公式进⾏运算，求向量的夹⾓、模或判断向量的垂直关系
复数的概念及运算1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等
2．复数的⼏何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算
程序框图1.主要考查程序框图的应⽤及基本算法语句，尤其是含循环结构的程序框图
2．与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在⼀起综合考查
合情推理1.主要考查合情推理和演绎推理，重点考查归纳推理和类⽐推理
2．以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相结合考查归纳推理
本部分内容在备考时应注意以下⼏个⽅⾯：
(1)加强对向量加法、减法的平⾏四边形法则与三⾓形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平⾯向量的相关公式，掌握求模、夹⾓的⽅法．
(2)掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进⾏求解，同时注意“分母实数化”的运⽤．
(3)关注程序框图和基本算法语句的应⽤与判别，尤其是含循环结构的程序框图要⾼度重视．
(4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类⽐推理要找到事物的相同点，做到类⽐合，对演绎推理要做到过程严密．
预测2020年命题热点为：
(1)利⽤平⾯向理的基本运算解决数量积、夹⾓、模或垂直、共线等问题，与三⾓函数、解析⼏何交汇命题．
(2)单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的⼏何意义等相互交汇考查． (3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、⽅程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在⼀起命题．
(4)推理问题考查归纳推理和类⽐推理，主要与数列、⽴体⼏何、解析⼏何等结合在⼀起命题．
Z 知识整合hi shi zheng he
1．重要公式
(1)两个⾮零向量平⾏、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
①a ∥b ?a ＝λb (b ≠0，λ∈R )?x 1y 2－x 2y 1＝0. ②a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)复数的四则运算法则
(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．
2．重要性质及结论
(1)若a 与b 不共线，且λa ＋µb ＝0，则λ＝µ＝0.
(2)已知OA →＝λOB →＋µOC →
(λ，µ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋µ＝1.. (3)平⾯向量的三个性质
①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.
②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹⾓，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b
|a ||b |
＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 22
.
(4)复数运算中常⽤的结论：
①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋
2
＝－1，i 4n ＋
3＝－i ，其中n ∈N *
3．推理与证明 (1)归纳推理的思维过程
实验、观察→概括、推⼴→猜测⼀般性结论 (2)类⽐推理的思维过程
实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤
①(归纳奠基)证明当n 取第⼀个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成⽴；
②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成⽴，证明当n ＝k ＋1时，命题也成⽴．只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成⽴． Y 易错警⽰i cuo jing shi
1．忽略复数的定义：
在解决与复数概念有关的问题时，在运⽤复数的概念时忽略某⼀条件⽽致误． 2．不能准确把握循环次数
解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防⽌多⼀次或少⼀次的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹⾓为锐⾓与向量的数量积⼤于0不等价；两个向量夹⾓为钝⾓与向量的数量积⼩于0不等价．
1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z ＝1－i
1＋i
＋2i ，则|z |＝( C ) A ．0 B ．1
2
C ．1
D ． 2
[解析] ∵ z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i
2＋2i ＝i ，
∴ |z |＝1. 故选C ．
2．(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i
1－2i ＝( D )
A ．－45－35i
B ．－45＋35i
C ．－35－45
i
D ．－35＋45
i
[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋4
5i.
故选D ．
3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a ，b 满⾜|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3. 故选B ．4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →
B ．14AB →－34A
C →
C ．34AB →＋14
AC →
D ．14AB →＋34
AC →
[解析] 作出⽰意图如图所⽰． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →
＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →
) ＝34AB →－14AC →. 故选A ．
5．(2018·北京卷，2)在复平⾯内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )
A ．第⼀象限
B ．第⼆象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [解析]
11－i ＝12＋i 2
，其共轭复数为12－i
2，对应点位于第四象限．
故选D ．
6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1
100，设计了如图所⽰的程序
框图，则在空⽩框中应填⼊
( B )
A ．i ＝i ＋1
B ．i ＝i ＋2
C ．i ＝i ＋3
D ．i ＝i ＋4
[解析] 把各循环变量在各次循环中的值⽤表格表⽰如下. 循环次数
①
②
③ …
○
50 N
0＋1
1 0＋11＋13
0＋11＋ 13＋15 …
0＋11＋13＋ 15＋…＋199 T
0＋12 0＋12＋14
0＋12＋ 14＋16 …
0＋12＋14＋ 16＋…＋1100 S
1－12 1－12＋13－14
1－12＋13－ 14＋15－16
…
1－12＋13－14 ＋…＋199－1
100
因为N ＝N ＋1
i ，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2.
故选B ．
7．(2018·天津卷，3)阅读如图所⽰的程序框图，运⾏相应的程序，若输⼊N 的值为20，则输出T 的值为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 输⼊N 的值为20，
第⼀次执⾏条件语句，N ＝20，i ＝2，N
i ＝10是整数，
∴ T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；
第⼆次执⾏条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝20
3不是整数，
∴ i ＝4<5；
第三次执⾏条件语句，N ＝20，i ＝4，N
i ＝5是整数，
∴ T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成⽴，∴输出T ＝2. 故选B ．
8．(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i
1＋2i ＝4－i.
[解析]
6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )
＝20－5i
5＝4－i.
9．(2018·北京卷，9)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝－1. [解析] a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )．由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m ＋1＝0，得m ＝－1.
10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝1
2
.
[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝1
2
.
命题⽅向1 平⾯向量的运算
例1 (1)如图，正⽅形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋µBD →
，则λ
＋µ＝( B )
A ．4
3
B ．5
3
C ．15
8
D ．2
[解析] ⽅法⼀：建⽴平⾯直⾓坐标系如图所⽰，设正⽅形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋µBD →
，得
(2,2)＝λ(2,1)＋µ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2µ，λ＋2µ)，所以?
2λ－2µ＝2，
λ＋2µ＝2，解得
λ＝4
3，
µ＝1
3，
所以λ＋µ＝5
3
.故选B ．
⽅法⼆：因为AC →＝λAM →＋µBD →＝λ(AB →＋BM →)＋µ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋µ(－AB →＋AD →
)
＝(λ－µ)AB →＋(12
λ＋µ)AD →
，所以
λ－µ＝1，1
2λ＋µ＝1，
得
λ＝43
，µ＝1
3，
所以λ＋µ＝5
3
.
故选B ．
(2)在平⾏四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋µDB →
，则λµ＝29.
[解析] 由图形可得：AM →＝AB →＋12AD →
①，
DB →＝AB →－AD →
②，
①×2＋②得：2AM →＋DB →＝3AB →，即AB →＝23AM →＋13DB →
，所以λ＝23，µ＝13，所以λµ＝29.
『规律总结』
1．平⾯向量的线性运算要抓住两条主线：⼀是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；⼆是基于“数”，借助坐标运算来实现．
2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、⽅程思想与转化思想的应⽤．
提醒：运算两平⾯向量的数量积时，务必要注意两向量的⽅向． G 跟踪训练
en zong xun lian
1．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A ―→·PB ―→＝3
2.
[解析] 圆⼼为O (0,0)，则3，∠OP A ＝∠OPB ＝π
6
，则∠APB
＝π
3
，所以cos ∠APB ＝3·3·cos π3＝3
2
.
2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( A ) A ．4
3
B ．3
4
C ．－3
4
D ．－43
[解析] 因为b －c ＝(x ，－4)，⼜a ⊥(b －c )，所以a ·(b －c )＝3x －4＝0，所以x ＝4
3
.
命题⽅向2 复数的概念与运算
例2 (1)已知复数z 1＝3＋i
1－i
的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b
＋a i 的共轭复数在复平⾯内的对应点在( D )
A ．第⼀象限
D ．第四象限
[分析] 先计算z 1、z 2求出a 、b ，再由共轭复数的定义求得z －
，最后写出对应点的坐标． [解析] z 1＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝1＋2i ，
z 2＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴a ＝1，b ＝2，∴z ＝2＋i ，∴z －
＝2－i 在复平⾯内的对应点(2，－1)在第四象限． (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3
D ．2
[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B ．
(3)(2018·郑州质检⼆)设i 是虚数单位，复数z ＝2i
1＋i ，则|z |＝( B )
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．2
[解析] |z |＝2i 1＋i ＝22＝ 2. 『规律总结』
1．解决复数的概念与运算问题，⼀般都是直接⽤运算法则求或⽤复数相等的条件求解．⼀般是先变形分离出实部和虚部，把复数的⾮代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列⽅程或⽅程组．
2．熟记复数表⽰实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的⼏何意义是解决复数问题的关键．
G 跟踪训练
en zong xun lian
1．设复数z 满⾜1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( A )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
[解析] 因为1＋z 1－z ＝i ，所以z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )
(1＋i )(1－i )＝i ，故|z |＝1.
2．若复数z 满⾜z
1－i
＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( A )
A ．1－i
B ．1＋i
[解析] 由z
1－i
＝i ，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i.
3．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平⾯内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( A )
A ．(－3,1)
B ．(－1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3)
[解析] 由已知可得复数z 在复平⾯内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以?
m ＋3>0m －1<0，
解得－3
命题⽅向3 程序框图
例3 (1)执⾏下⾯的程序框图，若输⼊的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出的x ，y 的
值满⾜( C )
A ．y ＝2x
B ．y ＝3x
C ．y ＝4x
D ．y ＝5x
[解析] 运⾏程序，第1次循环得x ＝0，y ＝1，n ＝2.第2次循环得x ＝1
2，y ＝2，n ＝3，
第3次循环得x ＝3
2
，y ＝6，此时x 2＋y 2≥36，输出x ，y ，满⾜C 选项．
(2)执⾏如图所⽰的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填⼊的条件是( C )
A ．s ≤3
4
B ．s ≤5
6
C ．s ≤11
12
D ．s ≤25
24
[解析] 第⼀次：k ＝2，s ＝12；第⼆次：k ＝4，s ＝34；第三次：k ＝6，s ＝11
12；第四次：
k ＝8，s ＝2524；输出k ＝8，s ≤11
12
.
『规律总结』
解答程序框图问题的关注点
(1)⾸先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，如累加求和、累乘求积、多次输⼊等有规律的科学计算中，都有循环结构．
(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪⼀步结束循环；弄清循环体和输⼊条件、输出结果．
(3)对于循环次数⽐较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前⼏次循环
结果，找出规律．
易错提醒：解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况，防⽌多⼀次或少⼀次的错误．
G 跟踪训练en zong xun lian
1．根据如图所⽰的框图，对⼤于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )
A ．a n ＝2n
B ．a n ＝2(n －1)
C ．a n ＝2n
D ．a n ＝2n －
1
[解析] 当S ＝1，i ＝1时，执⾏循环体，a 1＝2，S ＝2，i ＝2，若不满⾜条件i >N ，执⾏循环体，a 2＝4，S ＝4，i ＝3，若不满⾜条件i >N ，执⾏循环体，a 3＝8，S ＝8，i ＝4，若不满⾜条件i >N ，执⾏循环体，a 4＝16，S ＝16，i ＝5. …… 所以a n ＝2n .
2．执⾏如图所⽰的程序框图．如果输⼊n ＝3，则输出的S ＝( B )
A ．67
B ．37
C ．89
D ．49
[解析] 由题意得，输出的S 为数列{1(2n －1)(2n ＋1)}的前三项和，⽽1(2n －1)(2n ＋1)＝
1
2(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1
，所以S 3＝3
7.
命题⽅向4 合情推理
例4 观察下列等式：
sin π3－2＋sin 2π3－2＝43
×1×2；
sin π5－2＋sin 2π5－2＋sin 3π5－2＋sin 4π5－2＝43×2×3； sin π7－2＋sin 2π7－2＋
sin 3π7－2＋…＋sin 6π7－2＝43×3×4； sin π9－2＋sin 2π9－2＋sin 3π9－2＋…＋sin 8π9－2＝43
×4×5； …… 照此规律，
sin π2n ＋1－2＋sin 2π2n ＋1－2＋sin 3π2n ＋1－2＋…＋
sin 2n π2n ＋1－2＝43n (n ＋1).
[解析] 每组⾓的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为4
3n (n ＋1)．
『规律总结』
1．在进⾏归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从⽽归纳出⼀般结论．
2．在进⾏类⽐推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类⽐，推导出类⽐对象的性质．
3．归纳推理关键是找规律，类⽐推理关键是看共性． G 跟踪训练en zong xun lian
(2018·湖北⼋校联考)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的⼉⼦．他提出了⼀条原理：“幂势既同，则积不容异．”这⾥的“幂”指⽔平截⾯的⾯积，“势”指⾼．这句话的意思是：两个等⾼的⼏何体若在所有等⾼处的⽔平截⾯的⾯积相等，则这两个⼏何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)所围成的平⾯图形绕y 轴旋转⼀周后，得⼀
橄榄状的⼏何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应⽤祖暅原理求球体体积公式的做法，请类⽐此法，求出椭球体体积，其体积等于4π
3
×b 2a .
[解析] 椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底⾯半径为b ，⾼为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去⼀个以圆柱下底⾯圆⼼为顶点，圆柱上底⾯为底⾯的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －π3×b 2a )＝4π
3
×b 2a .
A 组
1．(2017·全国卷Ⅱ，1)3＋i
1＋i ＝( D )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i
[解析]
3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝3－3i ＋i ＋1
2＝2－i.
故选D ．
2．(⽂)已知i 为虚数单位，则复数1－3i
1＋i ＝( C )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－1－2i
D ．－1＋2i
[解析]
1－3i 1＋i
＝(1－3i )(1－i )
2＝－1－2i ，故选C ．
(理)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，则|a ＋b i|＝( C ) A ．1
2＋i
B ． 5
C ．
52
D ． 54
[解析] ∵(1＋2a i)i ＝－2a ＋i ＝1－b i ，∴a ＝－1
2，b ＝－1，
∴|a ＋b i|＝|－1
2
－i |＝
(－12)2＋(－1)2＝52
. 3．(2018·济南⼆模)已知数列{a n }，观察如图所⽰的程序框图，若输⼊a 1＝1，d ＝2，k ＝7，则输出的结果为( C )
A ．49
B ．511
C ．613
D ．715
[解析] 由题中程序框图知，输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋111×13＝12×(1－13＋1
3－
15＋…＋111－113)＝6
13
. 4．设向量a ，b 满⾜|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( C ) A ． 2 B ．2 3 C ．2
D ． 6
[解析] 向量的数量积．∵|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝16，∴|a －b |＝2，故选C ．
5．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( B ) A ． 5 B ．10 C ．2 5
D ．10
[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴x －2＝0，∴x ＝2，∴a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.
6．(2018·⼤连⼀模)某种树的分枝⽣长规律如图所⽰，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( D )
A ．21
B ．34
C ．52
D ．55
[解析] 由题意可得，这种树从第⼀年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋
2,5＝2＋3，即从第三项起，每⼀项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D ．
7．下⾯框图所给的程序运⾏结果为S ＝28，那么判断框中应填⼊的关于k 的条件是( D )
A ．k ＝8?
B ．k ≤7?
C ．k <7?
D ．k >7?
[解析] 开始→k ＝10，S ＝1，满⾜条件→S ＝1＋10＝11，k ＝10－1＝9，满⾜条件→S ＝11＋9＝20，k ＝9－1＝8，满⾜条件→S ＝20＋8＝28，k ＝8－1＝7.由于输出S 的值为28，故k ＝7不再满⾜条件，故选D ．
8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( A ) A ．AD → B ．12AD → C ．BC →
D ．12
BC →
[解析] 如图，
EB →＋FC →
＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)
＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.
选A ．
9．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成⽴的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 [解析] 由|a ·b |＝||a |·|b |·cos θ|，
因为－1≤cos θ≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成⽴；
由向量减法的⼏何意义结合三⾓形的三边关系可得|a －b |≥||a |－|b ||，故B 选项不成⽴；
根据向量数量积的运算律C ，D 选项恒成⽴．
10．36的所有正约数之和可按如下⽅法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述⽅法，可求得200的所有正约数之和为( C )
A ．201
B ．411
C ．465
D ．565
[解析] 200的所有正约数之和可按如下⽅法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.
11．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平⾯内对应的点位于实轴上，则a ＝－1. [解析] (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，所以a ＋1＝0，a ＝－1. 12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |等于4 5.
[解析] 由a ∥b ?m ＋4＝0，解得m ＝－4，故2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝4 5.
13．已知△ABC 的⾯积为23，且B ＝2π3，则AB →·BC →
＝4.
[解析] 设△ABC 的三⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则S ＝12ac sin B ＝3
4ac ＝23，即ac ＝8，
AB →·BC →＝|AB →||BC →|·cos(π－B )＝ca cos π3＝8×12
＝4.
14．执⾏下边的程序框图，若输⼊的x 的值为1，则输出的y 的值为13.
[解析] 第⼀次执⾏程序，满⾜条件x ＜2，x ＝1＋1＝2；第⼆次执⾏程序，不满⾜条件x ＜2，y ＝3×22＋1＝13，输出y ＝13，结束．答案为13.
15．(2018·聊城⼀模)观察等式：f (13)＋f (23)＝1；f (14)＋f (24)＋f (34)＝32；f (15)＋f (25)＋f (35)＋f (4
5)
＝2；f (16)＋f (26)＋f (36)＋f (46)＋f (56)＝5
2
；
…
由以上⼏个等式的规律可猜想f (12 019)＋f (22 019)＋f (32 019)＋…＋f (2 0182 019
)＝1_009.
[解析] 从所给四个等式看：等式右边依次为1，32，2，52，将其变为22，32，42，5
2，可以
得到右边是⼀个分数，分母为2，分⼦与左边最后⼀项中⾃变量的分⼦相同，所以f (1
2 019)
＋f (22 019)＋f (32 019)＋…＋f (2 0182 019)＝2 0182
＝1 009.
B 组
1．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝2＋b i ，若z 2
z 1为实数，则实数b 等于( D )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
[解析] z 2z 1＝2＋b i 1＋i ＝(1－i )(2＋b i )2
＝
(2＋b )＋(b －2)i
2
，
若其为实数，则有b －2
2
＝0，解得b ＝2.
2．(⽂)(2018·⽯景⼭检测)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i ，若z 是纯虚数，则实数a 等于( B )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
[解析] ∵z 为纯虚数，∴?
a 2－1＝0，a ＋1≠0，∴a ＝1.
(理)已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝a ＋i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为( B ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
[解析] ∵z 1·z 2＝(a －1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，
∴?
a －1＝0
a ＋1≠0，∴a ＝1. 3．(2017·全国卷Ⅱ，4)设⾮零向量a ，
b 满⾜|a ＋b |＝|a －b |，则( A ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b
D ．|a |>|b |
[解析] ⽅法⼀：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.
∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b . ∴a ·b ＝0. ∴a ⊥b . 故选A ．
⽅法⼆：利⽤向量加法的平⾏四边形法则．在?ABCD 中，设AB →＝a ，AD →
＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →
|，∴|AC |＝|DB | 从⽽四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A ．
4．执⾏如图所⽰的程序框图，若输⼊的a 值为1，则输出的k 值为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 输⼊a ＝1，则b ＝1，第⼀次循环，a ＝－11＋1
＝－1
2，k ＝1；第⼆次循环，a ＝
－11－12＝－2，k ＝2；第三次循环，a ＝－1
1－2
＝1，此时a ＝b ，结束循环，输出k ＝2.故选B ．
5．(2018·潍坊⼀模)若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)(m －2)i 是纯虚数，其中m 是实数，i 2
＝－1，则1
z
等于( D )
A ．12
B ．－12
C ．i 2
D ．－i 2
[解析] 因为复数z ＝m (m －1)＋(m －1)·(m －2)i 是纯虚数，所以m (m －1)＝0且(m －1)(m －2)≠0，所以m ＝0，则1z ＝12i ＝－i 2
.
6．设向量a ，b 满⾜|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a －t b |(t ∈R )的最⼩值为( A )
A ．
32 B ．12
C ．1
D ．2
[解析] 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，于是|a ＋b |2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，即a ·b ＝－12
.
|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2t a ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －t b |的最⼩值为3
2.
7．如图所⽰将若⼲个点摆成三⾓形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9
a 2 018a 2 019
＝( C )
A ．2 015
2 016
B ．2 0162 017
C ．2 0172 018
D ．2 0182 019
[解析] 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三⾓形的3个顶点都被重复计算了⼀次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝9(3n －3)×3n ＝1(n －1)n ＝1n －1－1
n
，
则
9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 018a 2 019＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…(12 017－12 018
)＝1－12 018＝2 0172 018
.故选C ． 8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执⾏该程序框图，若输⼊的x ＝2，n ＝2，依次输⼊的a 为2,2,5，则输出的s ＝( C )
A ．7
B ．12。