导数用于物理

导数用于物理
金彪
（浙江省上虞市春晖中学 312353）
新颁布的普通高中数学课程标准在选修2－2模块中指出：“微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

”显然，微积分的创立也是物理发展中的里程碑，为研究受力和运动提供了重要的方法和手段。

导数在物理学研究上“有极其丰富的实际背景和广泛的应用”。

但是，由于以前的中学数学教材中没有导数的内容，物理老师在解决一部分难度较高的物理问题时只能片面强调解题技巧性，而回避运用导数这个数学工具，忽视了这些题目的通用解法，使不少学生发出“我怎么想不到这样的方法”的感慨。

2002年第一轮课程改革以后，导数已经成为普通高中数学的必修内容。

但许多物理老师只关心物理课程改革而没有注意到数学课程的改革，这就不能很好地培养学生应用数学的能力，使学生的数学与物理严重脱节，甚至使有的学生产生了“学物理要靠小聪明”的想法。

所以，在数学上已经将导数列为必修课程时，利用导数解决以下一些物理对促进学生数学和物理解题能力的提高都有积极意义。

一、求解极值问题
例1：一条河宽L ，水速v 1，船在静水中的航行速度v 2。

小船渡河的最小位移是多少？ 解析：运动的合成与分解遵循平行四边形定则，当v 2> v 1时，小船能垂直到达对岸，最小位移为L ；当v 2< v 1时，小船不可能垂直到达对岸，此时要求最小位移一般运用几何方法，而用几何方法技巧性很强，且这种方法没有通用性。

要是用求导的方法就会好得多：
本题中水速v 1大小方向都一定，船在静水中的速度大小v 2也一定，唯一可变的就是船速与岸的夹角θ，所以可以以θ为自变量，来求小船经过的位移。

如图： 小船在垂直河岸方向上速度为 θsin 2v v =⊥
渡河时间为θ
sin 2v L
v L t =
=
⊥ 合速度大小为θcos 2212
221v v v v v -+=
则船渡河位移大小为θ
θsin cos 22212
221v L
v v v v vt s ⋅
-+=
=
欲求位移s 的最大值，先求位移s 在角度θ上的导数
L
v v v v v v v v v v v v L v v v v v v v v v v v v L
v v v v s 2
22122
2
1221222122212
2/
2212
2212/212221/
2212
221/)sin (cos 2cos )cos 2(sin )
sin ()sin (cos 2)sin ()cos 2()sin cos 2(θθθ
θθθθθθθθθ-+-+-=
-+--+=⋅
-+=
当s 取为极值时其导数为0，即：
0cos )cos 2(sin 22122212221=-+-θθθv v v v v v v
化简得：()()0cos cos 2121=--θθv v v v 即当21v v <时2
1
arccos
v v =θ，此时合速度垂直于河岸，最小位移为L 而当21v v >时1
2
arccos
v v =θ，此时合速度垂直于船相对于水的速度v 1，最小位移为2
1cos v Lv L
s ==
θ 二、判断物理量的大小变化
例2：如图是一对固定的电量为Q 的等量正点电荷对，
两点间距为2L ，直线MN 为其连线的垂直平分线，O 为连线中点。

关于直线MN 上从O 点到无穷远处电场强度的变化，下列说法正确的是：（ ） A ．不断变小
B ．不断变大
C ．先变小后变大
D ．先变大后变小
解析：本题简单的解法是：先判断出无穷远处与O 点的场强为0，而直线MN 上其它地方场强不为0，则可选
择出正确答案D ，但这样的解法不够严密。

严密的解法是：
设直线MN 上某点离O 点距离为x ，根据电场叠加原理得该点场强大小为：
()
3
2
2
2x L kQx
E +=
要判断当x 从0变化到无穷大时E 的变化，只要对E 在x 上求导即可，
(
)
(
)()
()
6
22
22
2
3
2
23
22322x L x L
x x L kQ x L kQx E /
/
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+-+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+=
欲判断E 的大小变化，只要求E /的正负即可 当L x 2
2
<
时，E />0，则场强E 随x 的增大而增大 当L x 2
2
=
时，E /=0，则场强E 达到最大值 当L x 2
2
>
时，E /<0，则场强E 随x 的增大而减小
三、求瞬时感应电动势
例3：如图是一个足够长的U 形金属框MNQP ，MP 与NQ 间距为l = 1m ，匀强磁场
的磁感强度为B = k t ( k=0.5T/s )，导体棒AC 以0.8 m/s 的速度水平向右移动，且零时刻AC 距MN 为1m ，电阻R 为5Ω，(其它电阻均不计)．计算第5秒末感应电动势的大小。

解析：本题中导体棒的运动与磁感强度的变化都会产生感应电动势，即我们通常所说的动生电动势与感生电动势，总的感应电动势只要两者相加即可。

但总是有很多同学会提出这样的疑问，那就是为什么只要两者简单相加就可以了。

我们可以用求导来说明。

由法拉第电磁感应定律得：
t
E ∆∆Φ
=
一般可以用上式求平均感应电动势，而当Δt 趋向于零时，E 为瞬时值，E 是Φ在时间上的导数，得到：
[]()V 45.0)58.01(15.08.0155.0)
()
()()(lim lim lim
000=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=++=∆+-∆++⋅∆+=∆∆=∆∆Φ=→∆→∆→∆vt d kl ktlv t vt d ktl t t v d l t t k t BS t E t t t
Q。