2022学年上海华二附中高二下学期月考数学试卷

华二附中高二月考数学试卷
2022.03
一.填空题
1.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若936S =，则348a a a ++=________
2.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为________
3.“1423a a a a +=+”是“数列1a 、2a 、3a 、4a 依次成等差数列”的________条件
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S S =，则30S =________
5.若数列{}n a 的通项公式为276n a n n =-+，则当n =______时，{}n a 的前n 项和n S 最小
6.若数列x 、1a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b 、y 成等比数列，则2
1212
()a a b b +的取值范围
是________
7.在共有2009项的等比数列{}n a 中，有等式
1352009
10052462008
a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成立，类比上述性
质，在共有2019项的等差数列{}n b 中，相应的有等式________成立
8.设1a 、2a 、…、n a 是各项不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去 某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对1
(,)a n d
所组成的集合为________
9. 若数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N ，只有有限个正整数k 使得k a n <成立，记这样的k 的个数为*()n a ，则得到一个新数列*{()}n a ，例如，若数列n a n =，则数列*{()}n a 是0、1、 2、…、1n -、…，若2n a n =，则**(())n a =________
10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，1
(1)32n n n n
S a n =-+
+-且 1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是________
二.选择题
11.若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A. n S 严格减
B. n S 严格增
C. n S 有最大值
D. n S 有最小值
12.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：
“当2()f k k ≥成立时，总可推出2(1)(1)f k k +≥+成立”，那么，下列命题总成立的是（
）
A.若(1)1f <成立，则(10)100f <成立
B.若(2)4f <成立，则(1)1f ≥成立
C.若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立
D.若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立
13.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个
单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）
A.
B.
C.
D.
14.以下有四个命题：① 一个等差数列{}n a 中，若存在10k k a a +>>（k ∈N ），则对于任意自然数n k >，都有0n a >；
② 一个等比数列{}n a 中，若存在0k a <，10k a +<（k ∈N ），则对于任意n ∈N ，都有0n a <；③ 一个等差数列{}n a 中，若存在0k a <，10k a +<（k ∈N ），
则对于任意n ∈N ，都有0n a <；④ 一个等比数列{}n a 中，若存在自然数k ，使10k k a a +⋅<，则对于任意n ∈N ，都有10n n a a +⋅<. 其中正确命题的个数是（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
三.解答题
15.已知数列{}n a 通项公式65,212,2n n
n n k a n k
-=-⎧⎪=⎨
=⎪⎩（*
k ∈N ），求数列{}n a 的前n 项和n S . 16.数列{}n a 满足112a =
，11
3(1)2(1)11n n n n a a a a ++-+=-+，数列2
1n n b a =-， 数列2
21n n n c a a +=-（*n ∈N ）.
（1）求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n c 的通项公式.
17.数列{}n a 满足11a =，22a =，222(1cos )sin 2
2n n n n a a π
π+=++（*n ∈N ）. （1）分别求数列21{}n a -和2{}n a 的通项公式； （2）设21
2n n n
a b a -=
，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，若对任意正整数n ，不等式26log (39)n S m >+恒成立，求满足条件的整数m 的集合D ； （3）若1c D ∈，1(46)41021n n n c n c n ++++=
+（*n ∈N ），判断2
{}21
n c n ++是否为等比数列？
若不是，请说明理由；若是，试求出通项n c .
18.已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S . 规定：若数列{}n a 满足前r 项依次 成公差为1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{}n a 为 “r 关联数列”.
（1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意*n ∈N ，66n n a S a S ≥；
（3）已知数列{}n a 为“r 关联数列”，且110a =-，是否存在正整数k 、m （m k >）， 使得121121k k m m a a a a a a a a --++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++若存在，求出所有的k 、m 值； 若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题 1.12
2. 3,1
2,2
n n a n n =⎧=⎨
≥⎩ 3.必要非充分4.0 5. 5或6
6.(,0][4,)
-∞+∞ 7.135201924620181010()()b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=8.{(4,4),(4,1)}
-9.2
n 10.311
(,
)44
-二.选择题11.C 12.D
13.D
14.D
三.解答题
15. 221
23524,212233
31219(1)(1),22
233n n n n n n k S n n n k ++⎧-+-=-⎪⎪=⎨⎪-+-+-=⎪⎩（*k ∈N ） 16.（1）13
4b =
，公比23q =；（2）112(43
n n c -=⋅17.（1）21n a n -=，22n n a =；（2）{2,1,0}D =--；
（3）当12c =-时，不为等比数列；当11c =-时，为等比数列，12(21)2n n c n -=-+-； 当10c =时，为等比数列，2(21)2
n n c n =+-18.（1）54,42,5n n n n a n --≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩；（2）2417,4
22
27,5
n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩
，略；（3）存在，155m k =⎧⎨
=⎩或138m k =⎧⎨=⎩或129m k =⎧⎨=⎩或11
10
m k =⎧⎨=⎩。