【数学】河南省开封市2015届高三冲刺模拟考试(5月)(理)

2015届开封市高三（理）冲刺模拟考试
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式
s =
1
3
V S h =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2
4S R π= 343
V R π=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. 1.若集合{}2lg
,1x M x y N x x x -⎧⎫
===<⎨⎬⎩⎭
,则 R M N ⋂=ð( ) A.()0,2 B.()0,2 C.[)1,2 D.()0,+∞
2．已知复数z 满足()3
11z i i +=-, 则复数z 对应的点在（ ）上 A.直线12y x =-
B.直线12y x =
C.直线12x =-
D.直线 12
y =- 3．下列命题中为真命题的是（ ） A ． 若x≠0，则x+≥2
B ． 命题：若x 2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x 2≠1
C ． “a=1”是“直线x ﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
D ． 若命题p ：∃x ∈R ，x 2﹣x+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0
4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm 的概率是( )
A.
B.
25 C. 38 D. 3
5
5．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.12
B.24
C.30
D.48
6．已知{}n a 为正项等比数列，S n 是它的前n 项和.若116a = ，且a 4与a 7的等差中项为98
，则5S 的值 ( ) A ．29
B ．31
C ．33
D ．35
7．已知某程序框图如图所示，则输出的i 的值为 （ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 8．函数sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像与函数cos 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像（ ） A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴9. 从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有( )
A.180
B.220
C.240
D.260
10．已知函数f （x ）=e x ﹣mx+1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）． A.
1,e
⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. （，+∞） C. 1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
D. (),e +∞ 11.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点．将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为( )
A ．
B
C
D 12.已知双曲线
()22
*214x y b N b
-=∈的两个焦点12,F F ，点P 是双曲线上一点，11225,,,OP PF F F PF <成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）
A 2
B 3
C 53 D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 设不等式组 110
330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩
表示的平面区域为D ，若指数函数y=x
a 的图像上存在
区域D 上的点，则a 的取值范围是 14. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足
86π
2
1
31+=，则=⋅ .
15．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x
时，1)2
1
()(-=x
x f ，若在区间]62(，- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有
3个不同的实数根，则a 的取值范围是 .
16．设数列{a n }满足：a 1=1，a 2=4，a 3=9，a n =a n-1+a n-2-a n-3 （n=4,5, ……）,则a 2015 = 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知
23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.
(I)求角A 的大小；
(II)若b ＝5，sin B sin C=5
7,求△ABC 的面积S
18． (本小题满分12分)
某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
(I)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率；
(II)若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X 1，生产一件乙品牌家电的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；
(III)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由． 19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，
90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC ABC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角B AP C --的的余弦值 . 20．（本小题满分12分）
已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+- (I)求函数分f(x)在[],2t t + （t>0）上的最小值；
(II)对一切()0,x ∈+∞，2(()f x g x ≥）
恒成立，求实数a 的取值范围； (III)证明：对一切()0,x ∈+∞都有12
ln x x e ex
>-成立 21.（本小题满分12分）
已知点P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点(1F 是圆心)，点2F 与点1F 关于原点对称.线段2PF 的中垂线m 分别与12PF PF 、交于M N 、两点． （I ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）直线l 经过F 2，与抛物线y 2=4x 交于A 1，A 2两点，与C 交于B 1，B 2两点.当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F. 求证： （I ）DFA DEA ∠=∠；
（II ）AB 2=BE•BD -AE•AC.
23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,
3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）。

（I ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （II ）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线()3:cos 2sin 7C ρθθ-= 距离的最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数21)(-+-=x x x f 。

（I ）画出函数y=f(x)的图像；
（II ）若不等式)(x f a b a b a ≥-++，（
、
）恒成立，求实数x 的范围.
参考答案
一、 选择题：1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 填空题：13. (1,3] 14. 8
9
- 15. (34,2) 16. 8057 二、 解答题：
17.解：(I)由2
3cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+，得 2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.----2分 解得cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍去)．----4分
因为0<A <π，所以A ＝π
3
.-----6分
(II)由又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝＝5
7.—8分
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,又b ＝5，所以c ＝4或25
.4
c =
----10分
S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝3
4bc ＝53或S = ----12分 18.解：(I)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝454519
15050100
-
⋅=.----4分 (II)依题意得，X 1的分布列为
X 2的分布列为
--------------8分 (III)由(II)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝143
50＝2.86(百元)，
E (X 2)＝1.8×110＋2.9×9
10＝2.79(百元)．-----------12分
因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌家电． 19. 证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．
AP BP =，PD AB ∴⊥．
AC BC =，CD AB ∴⊥．
PD CD D =，
AB ∴⊥平面PCD ．----3分
PC ⊂平面PCD ，
PC AB ∴⊥，又∵PC AC ⊥，∴PC ABC ⊥平面-----6分
解：（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．
则(000)(020)(200)C A B ，
，，，，，，，．设(00)P t ，，．---8分
PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，
，．----9分 取AP 中点E ，连结BE CE ，．
AC PC =，AB BP =，
CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，---10分
cos 26
EC EB BEC EC EB
∴∠=
=
=
．∴二面角B AP C ----12分
20. 解：(I)f (x)=lnx+1’，'
'
110,,0,.(,),0,x y y x y y e e
⎛⎫
∈<↓∈+∞>↑ ⎪⎝⎭
---2分
当1
02t t e
<<+<
时不可能； 当min 11102,0,()();t t t f x f e e e e
<<
<+<<==-即 当
[]min 11
2,(),2,()()ln t t t f x t t f x f t t t e e
≤<+≥+↑==即
1
1,0()1ln ,t e e
f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩
；----5分
(II)可化为33
2ln ,()2ln (0)a x x h x x x x x x
≤++
=++>设 '2
(3)(1)()x x h x x
+-=
，当0<x<1时，''()0,(),1()0,()h x h x x h x h x <>>递减当，递增， 所以h(x)最小=h(1)=4，对一切x>0， 4a ≤------9分 (III)问题等价于证明()2
ln 0x x x x x e e
>
-> ，由（1）知()l n ,(0)f x x x x =>的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到等号，设m(x)='21(0),()x x x x
x m x e e e
-->=，易知m(x)最小等于m(1)1
e =-，当且仅当x=1时取到，从而对一切()0,x ∈+∞都有12
ln x x e ex
>-成立----12分
21. 解：（I ）由题意得，12(1,0),(1,0),F F -圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = 从而121112||||||||||4||MF MF MF MP PF F F +=+==> ………… 2分 ∴ 点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆, ………… 4分 其中长轴24a =,得到2a =,焦距22c =，
则短半轴b =椭圆方程为:22
143
x y += ………… 5分 （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，B 1(1，
32),B 2(1，-3
2
),又F 1(-1,0), 此时11210B F B F ⋅≠，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1.不满足条件.……………（6分） 当直线l 不与x 轴垂直时，设L ：y=k(x-1)
由()222222(1)
348412014
3y k x k x k x k x y =-⎧⎪
+-+-=⎨+=⎪⎩即。