2018届高考数学 滚动检测08 综合检测模拟一(B卷)理

滚动检测08 综合检测模拟一
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1. 【2018皖江名校联考】已知集合{}{}
220,2x M x x x N y y =--≤==，则M N ⋂=（ ） A. (]0,2 B. ()0,2 C. []0,2 D. [
)2,+∞ 【答案】A
【解析】依题意得[]1,2M =-， ()0,N =+∞ (]
0,2M N ∴⋂=． 故选A.
2．【2018河南省联考】已知i 是虚数单位，若复数1b i
z ai
-=+为纯虚数（a ， b R ∈），则z =（ ）
A. 1 C. 2 D. 3 【答案】A
3．【2018贵州黔东南州联考】近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在[)30,40岁的有2500人，年龄在[
)20,30岁的有1200人，则m 的值为（ ）
A. 0.013
B. 0.13
C. 0.012
D. 0.12 【答案】C
【解析】由题意，得年龄在范围[
)30,40岁的频率为0.025100.25⨯=，则赞成高校招生改革的市民有
2500
100000.25=，因为年龄在范围[)20,30岁的有1200人，则1200
10000m 0.01210
==. 故选C.
4．【2018河南联考】已知数列{}n a 满足1
22222n n n a a a ++=⋅， 261036a a a ++=， 581148a a a ++=，则
数列{}n a 前13项的和等于（ ） A. 162 B. 182 C. 234 D. 346 【答案】
B
点睛：
在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵活应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+与前n 项和公式()12
n n n a a S +=经常结合在一起运用，采用整体
代换的思想，以简化解题过程．
5．【2018河南漯河高级中格纸上小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 48
B. 36
C. 32
D. 24 【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而得到的。

3
该几何体的体积为： EFG ABC 186344323
V -=⨯-⨯⨯⨯= 故选：C
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
6．【2018辽宁凌源两校联考】已知实数x ， y 满足不等式组0,0,
{ 24,22,
x y x y x y >>+<+>则22z x y =+的取值范围是
（ ）
A. ()4,16
B. 4,45⎛⎫
⎪⎝⎭
C. ()2,16
D. 4,165⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】
2
z =，表示原点()0,0到阴影区域的距离的平方，
所以min z 是原点()0,0到220x y
+-=的距离的平方，则2
min
45z ==，
max z 是原点()0,0到点()4,0的距离的平方，则2max 416z ==，
所以z 的取值范围是4,165⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选D 。

7. 【2018河南联考】已知点()1,,Q m -， P 是圆C ： ()()2
2
244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2
211x y +-=，则m 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D
8．【2018皖江名校联考】“1k ≥”是方程1x e k -=有2个实数解得（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
作出函数x y e k =-的图象，可知方程1x e k -=有2个实数解时可得1k >.
所以方程1x e k -=有2个实数解，一定有1k ≥，反之不成立，如11x e -=只有一个实数解。

所以“1k ≥”是方程1x e k -=有2个实数解的必要不充分条件.
9．【2018辽宁庄河两校联考】已知直
线分别于半径为1的圆O相切于
点
若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，由切线长定理知，又
，因此，解得．
点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量
，再根据向量的平方运算，求出
，令其小于半径即可求出．
10．【2018四川德阳三校联考】已知函数(
)2
2cos1
f x x x
=+-，记函数()
f x在区间,
4
t t
π
⎡⎤
+
⎢⎥
⎣⎦
上
的最大值为
t
M，最小值为
t
m，设函数()t t
h t M m
=-，若
5
,
1212
t
ππ
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，则函数()
h t的值域为
A.
B. 2⎤⎦
C. []
1,2
D. ⎡⎣
【答案】
D
11．【2018四川成都七中一模】已知
12
F F
、是双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左右焦点，以
12
F F为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M N
、均在第一象限，当直线
1
//
MF ON时，双曲线的离心率为e，若函数()22
2,
f x x x
x
=+-，则()
f e=（）
5
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率、双曲线的渐近线，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求与离心率有关的问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式.
12．【2018四川成都七中一模】已知函数()()21
ln ,,22
x x f x g x e -=+=若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（）
A. 1ln2-
B. ln2
C. 3
D. 23e - 【答案】B
【解析】
不妨设()()()2
1
,l n ,022
m n g m f n t e
t t -==∴=+=>
， 12
2ln ,2ln ,2t m t m t n e
-
∴-==+=⋅，故
()12
2l n ,0t n m e
t t -
-=⋅->，令()()12
2l n ,0t h t e t t -=⋅->， ()1
2
1'2t h t e
t
-
=⋅-，易知()'h t 在()0,+∞
7
上是增函数，且
1'02h ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，当12t >时， ()'0h t >，当102t <<时， ()'0h t <，即当12t =时， ()h t 取得极小值同
时也是最小值，此时11
22
1122ln 22ln2ln222h e
-⎛⎫=⋅--=-+= ⎪⎝⎭
，即n m -的最小值为ln2，故选B. 第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道， 每名水暖工只去一个小区， 且每个小区都要有人去检查， 那么分配的方案共有 种. 【答案】150 【解析】
试题分析：分配的方案为“311”，“221”，对应种数为33
53C A 及
112
534
C A C ,共有
33112
53534150.
C A C A C +=及
考点：排列组合。

【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 14. 若直线y x b =+是曲线 ln y x x =的一条切线，则实数b =__________． 【答案】1- 【解析】
考点：导数的几何意义及运用．
【易错点晴】本题以直线y x b =+是曲线 ln y x x =的一条切线为背景,考查的是导函数几何意义及导数语切线方程之间的关系的应用问题.解答本题的关键是搞清导函数值是函数在切点处的导函数的值就是切线的斜率,求解时先将切点的坐标设出来)ln ,(t t t P ,然后再借助这些条件建立方程求出切点坐标为
)0,1(P .再将其代入求出1-=b ,从而使得问题最终获解.
15. 在直三棱柱111ABC A B C -中，BC=3，120BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积
为 ． 【答案】16π 【解析】
考点：多面体与其外接球的关系．
16. 已知椭圆22
221x y a b
+= ()0a b >>的右焦点为1(1,0)F ，离心率为e ．设A ，B 为椭圆上关于原点对称的
两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k
，若
0k <≤e 的取值范围为 ．
11e ≤< 【解析】
试题分析：设()11y x A ，()22y x B ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=1
22
22b y a
x kx
y ，代入得：()2
22222b a x k a b =+，021=+x x ，2
222221k a b b a x x +-=，那么⎪⎭⎫
⎝⎛+2,2
111y x M ，⎪
⎭⎫
⎝
⎛+2,2122y x N ()()
()()()
()04
1
1441144
1121212212212121=++++=+++=+++=
⋅→
→
x x x x k x x k x x y y x x ON OM ，代入
根与系数的关系，得：(
)
012
22
2
2
2
=+-+b a k k a b ，12
222-=-=a c a b ，代入整理得：
()()
01121224
2
=++-+a k a
k ，解得4
22211a a k -=
+，(]4,112
∈+k ，解得2
3
21+≤<a ，所以，
133
22-=+≥a
c
11e ≤<.
9
考点：1.椭圆的性质；2.直线与椭圆相交的综合问题.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【2018广西贵港联考】在ABC ∆中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且3
cos 5
B =
， ()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=.
（1）求边b 的值；
（2）求ABC ∆的周长的最大值. 【答案】（1）1；（2
1. 【解析】试题分析：
(1)由题意结合两角和差正余弦公式和余弦定理可得1b =. (2)
由题意结合余弦定理有a c +≤
ABC ∆
的周长的最大值为
1.
试题解析：
（2）由余弦定理得， 2226
2cos 15
a c
b a
c B ac +=+=+. ∴()
2
2
161611552a c a c ac +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭
，∴a c +≤所以当a c =时， ABC ∆
1.
18．【2018浙江部分学校联考】如图，在三棱锥P ABC -中， ABC ∆是正三角形，面PAB ⊥面ABC ，
30PAB ∠=︒， 2AB PB ==， ABC ∆和PBC ∆的重心分别为D ， E .
（1）证明： //DE 面PAB ； （2）求AB 与面PDE 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
7
.
试题解析：（1）证明：取BC 中点F ，连结AF ，由重心性质可知D ， E 分别在AF ， PF 上且
2AD DF =， 2PE EF =，所以在AFP ∆中有
FD FE
DA EP
=
， 所以//DE AP ，又DE ⊄平面PAB ， AP ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB .
（2）解：以AB 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵2AB PB ==， 30PAB ∠=︒ ∴120PBA ∠=︒
∴(P ，
又由条件()0,1,0A -， ()0,1,0B ， 1,,022F ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
11
∴3,022FA ⎛⎫=-
- ⎪ ⎪⎝⎭，
3
,22FP ⎛=- ⎝， ()0,2,0AB =. 设面PDE 的法向量为(),,n x y z
=
，则3
0,2{ 30,22
x y x y -=-+
= 取
x =
{1, x y z ==-=
∴(
3,n =
-，
∴7sin cos n AB θ=⋅
=
.
19．【2018河南名校联考】某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的经济收入情况，对该场所最近6年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表：
（1）请根据以上数据，用最小二乘法求水上摩托使用率y 关于年份代码x 的线性回归方程，并预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率；
（2）随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进
一批水上摩托，其型号主要是目前使用的Ⅰ型、Ⅱ型两种，每辆价格分别为1万元、1.2万元.根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年.娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了50辆进行统计，使用年限如条形图所示：
已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是0.8万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润=收益-购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购Ⅰ型水上摩托还是Ⅱ型水上摩托？
附：回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+,其中()()()112
2211ˆn n
i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy
b x x x nx ====---==--∑∑∑∑， ˆˆa y bx =-. 【答案】(1)回归方程为ˆ29y
x =+.预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为25%. (2)答案见解析. 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）由表格数据可得 3.5x =， 16y =，
6
1
371i i
i x y
==∑， 6
21
91i i x ==∑
∴6
162
2
1
ˆ66i i i i i x y xy b
x x ==-=-∑
∑
2
3716 3.516
2916 3.5
-⨯⨯=
=-⨯，
13
∴162 3.9ˆ5a
=-⨯=， ∴水上摩托使用率y 关于年份代码x 的线性回归方程为ˆ29y x =+. 当8x =时， 28925ˆy
=⨯+=， 故预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为25%.
（2）由频率估计概率，结合条形图知Ⅰ型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2，
∴每辆Ⅰ型水上摩托可产生的纯利润期望值
()()()()10.810.220.810.330.810.340.810.21E ξ=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=（万元）.
由频率估计概率，结合条形图知Ⅱ型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.2,0.4和0.3，
∴每辆Ⅱ型水上摩托可产生的纯利润期望值
()()()()20.8 1.20.120.8 1.20.230.8 1.20.440.8 1.20.3 1.12E ξ=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=（万元）.
∵12E E ξξ<.
∴应该选购Ⅱ型水上摩托。

点睛：
（1）线性回归方程体现了两个变量之间的相关关系，求得两个变量间的回归关系之后可根据回归方程进行估计，以便为下一步的决策提供参考依据。

（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，均值的大小也可为下一步的决策提供参考依据。

20．【2018浙江部分学校联考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点()00,M x y 是椭圆C ： 2
212
x y +=上一点，从原点O 向圆M ： ()()2
2
002
3
x x y y -+-=
作两条切线分别与椭圆C 交于点P ， Q ，直线OP ， OQ 的斜率分别记为1k ， 2k .
（1）求证： 12k k 为定值；
（2）求四边形OPMQ 面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)1.
【解析】试题分析：（1）因为直线OP ： 1y k x =， OQ ： 2y k x =，与圆M 相切，推出1k ， 2k 是方程()
2220000326320x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，利用韦达定理得12k k ，结合点点()00,M x y 在椭圆C 上，
得出12k k ；（2）当直线OP ， OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ， ()22,Q x y ，通过12210k k +=，推出2222
121214
y y x x =
，结合()11,P x y ， ()22,Q x y 在椭圆C 上，可得223OP OQ +=，再讨论直线落在坐标轴上时，显然有223OP OQ +=，然后表示出(
))1236
OPMQ S OP OQ OP OQ =
⋅+⋅=+，结合基本不等式即可求出四边形OPMQ 面积的最大值. 试题解析：（1）因为直线OP ： 1y k x =， OQ ： 2y k x =，与圆M 相切，
=
1k ， 2k 是方程()2220000326320x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根 ∴20122
03232
y k k x -=-，因为点()00,M x y 在椭圆C 上，所以22
0012x y =-， ∴20122
0321
322
y k k x -==--. （2）（i ）当直线OP ， OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ， ()22,Q x y ， 因为12210k k +=，所以
1212210y y x x +=，即222212121
4
y y x x =，
15
因为()11,P x y ， ()22,Q x y 在椭圆C 上，
所以2222
22
1212
12111224x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
整理得22122x x +=，所以22
121y y +=，
所以22
3OP OQ +=.
（ii ）当直线落在坐标轴上时，显然有2
2
3OP OQ +=， 综上： 2
2
3OP OQ +=.
因为(
))1236
OPMQ S OP OQ OP OQ =
⋅+⋅=+， 因为
OP OQ +≤
=
所以OPMQ S 的最大值为1.
点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
21．【2018皖江名校联考】已知函数()b
f x ax x
=+（其中,a b R ∈）在点()()1,1f 处的切线斜率为1. （1）用a 表示b ；
（2）设()()ln g x f x x =-，若()1g x ≥对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的前提下，如果()()12g x g x =，证明： 122x x +≥. 【答案】（1）1b a =-；（2）[
)1,+∞；（III ）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意()11f a b '=-=即得； （2）()()1
ln ln 1a g x f x x ax x x
-=-=+
-≥在定义域()0,+∞上恒成立，即()min 1g x ≥，由()1g x ≥恒成立，得1a ≥，再证当1a ≥时， ()()min 1g x g =即可；
（3）由（2）知1a ≥，且()g x 在()0,1单调递减；在()1,+∞单调递增，当()()12g x g x =时，不妨设
1201x x <≤≤，要证明122x x +≥，等价于2121x x ≥-≥，需要证明()()()1212g x g x g x -≤=，令
()()()(]2,0,1G x g x g x x =--∈，可证得()G x 在(]0,1上单调递增， ()()10G x G ≤=即可证得.
试题解析：
（1）()2
b
f x a x -
'=，由题意()111f a b b a =-=⇒=-' （2）()()1
ln ln 1a g x f x x ax x x
-=-=+-≥在定义域()0,+∞上恒成立，即()min 1g x ≥。

解法一： ()1g x ≥恒成立，则()1111g a a a =+-≥⇒≥。

当1a ≥时， ()()()222211111x ax a a ax x a g x a x x x x
-+----+=-='-=， 令()0g x '=得1211,0a
x x a
-==
≤（注意1a ≥） 所以()0,1x ∈时， ()0,g x '< ()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时， ()0,g x '> ()g x 单调递增。

所以()()min 1211g x g a ==-≥，符合题意。

综上所述， ()1g x ≥对定义域内的x 恒成立时，实数a 的取值范围是[
)1,+∞。

（3）由（2）知1a ≥，且()g x 在()0,1单调递减；在()1,+∞单调递增，
17
当()()12g x g x =时，不妨设1201x x <≤≤，要证明122x x +≥，等价于2121x x ≥-≥， 只需要证明()()()1212g x g x g x -≤=，这里101x <≤， 令()()()(]
2,0,1G x g x g x x =--∈
()()()11
2ln 2ln 2a a G x a x x ax x x x
--=-+
----+-，求导得 ()()()()()()22
221111112
21212222G x a a a a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+++=-+-++ ⎪ ⎪-⎭
'---⎝⎭⎝. 注意当(]
0,1x ∈时，
()222x x ≥-， ()2
211
22x x +≥-，
（可由基本不等式推出）又10a -≥ 因此可得()()22120G x a a '≥-+-+=，当且仅当1,1x a ==时等号成立。

所以()G x 在(]0,1上单调递增， ()()10G x G ≤=，也即()()2g x g x -≤， (]
0,1x ∈ 因此()()()1122g x g x g x -≤=，此时122,x x -都在单调递增区间[
)1,+∞上， 所以122x x -≤，得122x x +≥
四、请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅
笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑。

22．【2018四川泸州中学一模】在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为cos 33πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
，曲线C 的极坐标方程为4cos a ρθ=（0a >）.
（Ⅰ）设t
为参数，若1
2
y t =，求直线l 的参数方程； （Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于P ， Q
，设(0M -，
，且3
||PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值. 【答案】(Ⅰ
) 2
{
1
2
x t y t
=
=-（t 为参数）；(Ⅱ
) 1a =.
【解析】试题分析：（Ⅰ）把直线l
的极坐标方程化为普通方程，把1
2
y t =-，代入上式即可求解直线的参数方程；
（Ⅱ）由曲线的极坐标方程，得出曲线的直角坐标方程，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，
求得12t t +， 12t t ，再由题设得2
1212||t t t t -=，即可求解实数a 的值.
试题解析：
（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为cos 33πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
所以
1cos sin 32ρθρθ-=
，即132x y =， 因为t
为参数，若1
2
y t =-
，代入上式得2x =， 所以直线l
的参数方程为{
1
2
x y t
=
=-（t 为参数）；
1
9
23．【2018广东化州二模】选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+， ()2g x x a =+. （1）当0a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若存在实数x ，使得()()g x f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1| 1 3x x ⎧
⎫
-
≤≤⎨⎬⎩⎭
；(2) (],1-∞. 【解析】试题分析：（1）当0a =时，由题意得12x x +≥，两边平方，即可求解不等式的解集； （2）由()()g x f x ≤得12a x x ≤+-，令()12h x x x =+-，分类讨论取绝对值，得出分段函数，作出图象，即可求解函数的最大值，进而得到实数a 的取值范围.
试题解析：
（1）当0a =时，由()()f x g x ≥得12x x +≥，两边平方整理得
23210x x --≤，解得1
13
x -≤≤
所以原不等式的解集为1| 1 3x x ⎧⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭
（2）由()()g x f x
≤得12a x x ≤+-，令()12h x x x =+-，则()()
()
11{31(10) 10x x h x x x x x -≤-=+-<<-+≥，作出
函数的图像，得()()max 01h x h == 从而实数a 的取值范围为(],1
-∞。