第2章 极限与连续

lim f (x ) 不存在．
x0
图2-5
由极限定义可以推算出下述两个结论:
x x0
lim x x0
， （C 为常数）
lim C C ,
2.1.3
1．无穷小量的定义
无穷小量
定义 2.5 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小，记 为 .
1 1 例如 lim =0，所以函数 当 x 时是无穷小． x x x
x
π lim ( arctan x )＝- ． x 2
(2) x x0 时, 函数的极限
邻域的概念: 设实数 x0 ,
且 ＞0，数集{x x0 x x0 }. 叫点
x0 的 邻域，记作U ( x0 , ) ．即U ( x0 , ) {x x0 x x0 }.
左，右极限统称单侧极限.
x, x 0; 例５ 求函数 f ( x) 当x 0 时的左极限 f ( x0 ) 和右 1, x 0.
极限 f ( x0 ) .
y
y x
1
解 这是一个分段函数，如 图 2-4 所示，由图可直观看到， f ( x0 ) ＝ lim f (x) ＝ lim ( x) ＝0
Ｏ
x
1 解 由图 2-1 可知 lim ＝0， x x 1 1 lim ＝0 . 所以lim ＝0. x x x x
图2-1
例３ 讨论当 x 时候，函数 y arctan x 的极限.
π 解 由于 lim (arctan x) ， x 2 所以 lim arctan x 不存在．
是无穷小．
即 lim f ( x) A lim 0 ， f ( x) A ．
3. 无穷小的运算性质 性质１ 性质２ 性质３ 性质４ 有限个无穷小的代数和是无穷小． 有限个无穷小的积是无穷小. 有界函数与无穷小的积是无穷小． 常数与无穷小的积是无穷小．
例８
1 求 lim x sin x 0 x
如果对于自变量 x 所对应的变量 y 值是正的（或负的） ，则 记作 lim y ， lim y .） （
2. 无穷大的性质
定理2.5 在自变量的同一变化过程中 (1) 有限个无穷大的乘积仍是无穷大； (2) 无穷大与有界量的和仍是无穷大．
注意： (1) 有限个无穷大的代数和不一定是无穷大； (2) 无穷大与有界量的乘积也不一定是无穷大. 3. 无穷小与无穷大的关系
函数 f (x ) 在点x0 的右半邻域内有定义， 当自变量在此半邻 域内无限接近于 x0 时，函数 f (x ) 无限接近于常数 A，则称 A 为函数 f (x ) 在 x0 点的右极限，记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A
x x0
x x0 ）或 f ( x0 ) A （
x 0 x 0 f ( x0 ) ＝ lim f (x) ＝ lim 1＝1 x 0 x 0
y 1
x
Ｏ
图2-4
x 1, x 0; 例６讨论函数 f ( x) 0, x 0; 当 x 0 时的极限 lim f (x ) . x0 x 1, x 0. y
lim f (x) ＝A，或 f ( x ) A( x ) .
x
f (x) 无
定理 2.2
lim f (x) ＝ Ａ的充要条件是
x x
lim f (x) ＝ lim f ( x) A
x
y
1 y x
1 例 2 设函数 y ，考察当 x x 趋于无穷时的极限．
点 x0 叫邻域的中心， 叫邻域的半径．
因 为 x x0 相 当 于
x x0 ， 即 x0 x x0 ， 所以在几何上， 邻域 U ( x0 , ) 表示以点x0 为
中心，长为 2 的开区间( x0 , x0 ) ．如图 2-2
n 这种数列通常也形式地记作 lim yn ＝lim 2 ＝ + n n
2. 函数的极限
(1) x 时, 函数的极限 定义 2.2 设函数 f (x) ，如果当 x 的绝对值无限增大时，函数
f (x) 无限趋于一个确定的常数 A，则称当 x 趋于无穷时，函数
f (x) 以 A 为极限，记作 lim f (x) ＝A，或 f (x) A ( x ).
1 解ห้องสมุดไป่ตู้因 lim x 0, sin 1， 故由无穷小性质 3 有 x 0 x 1 lim x sin 0 x 0 x
2.1.4
极限的性质
性质1（唯一性）函数若有极限，则其极限必唯一． 性质2（有界性）有极限的变量是有界变量．
性质 3 （保号性） 若在 U ( x0 , ) 内， 恒有 f (x) ≥0 （或 ≤0）且 lim f ( x) A ，则 A≥0（或 A≤0）.
观察如上 4 个数列在n 无限增大时的变化趋势， 可以看到数 n 1 n 1 1 列 和 (1) 无限接近于常数 无限接近于 0，数列 n n n 1 1，而数列2n 随着 n 的增大,数列中的项也越来越大，不会靠 近一个确定的常数，我们给出数列极限的定义.
又如 lim( x 1) =0，所以函数x 1 当 x 1时是无穷小．
x 1
注意： （１）无穷小是一个变量，是在变化过程中绝对值越来越小， 并且无限地趋于零的变量. （２）绝不能将其与很小的常量相混淆，数零是唯一可作为 无穷小的常数， （３）由于无穷小表达的是量的变化状态,因此说一个函数
x2 1 例４讨论函数 y f ( x) 当 x 无限趋近于 1 时的变化趋势. x 1 解 当 x 从 1 的左侧无限接近 1 时，对应函数值变化如下:
该函数的图像是直线 y x 1上除去点（1，2）以外的部分， 如图 2-3，从图 2-3 可以看到，此函数在 x ＝1 处虽然没有定义， 但是当 x 从 x ＝1 处的左右两边分别越来越接近 1 时，函数 x2 1 y f ( x) 的值越来越趋 x 1 x2 1 y 2 近于 2，于是，按定义 2.3， x 1 2 x 1 函数 f ( x) 当 x 1时 x 1 1 x2 1 以 2 为极限 即 lim ＝２． x1 x 1 x 1 Ｏ
定义 2.1
n 设数列 yn ，若当 无限增大时， 趋于一 yn
n
个确定的常数 A，则称 A 为数列 yn 的极限，记作 limyn ＝
n A，或 yn A（ ）亦称数列 yn 收敛于 A．
有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列．
按上述定义，表示例 1 中数列（1）（2）（4）的极限分别为: ， ， n 1 1 lim ＝0； lim lim （-1） n1 ＝0． ＝1； n n n n 1 n n 数列（3）的极限不存在，当 n 时， yn 越来越大趋于 ，
定理 2.6 在同一变化过程中 1 (1) 若 y 是无穷大，则 是无穷小； y 1 (2) 若 y 是无穷小，且 y ≠0，则 是无穷大. y
2.1.6
1
2 3 4 5
小结
函数的极限
左极限与右极限 无穷小量 极限的性质 无穷大量
例 1 看下面的例子 1 1 1 1 (1) ：１， ， ，„， ，„； 2 3 n n n n 1 2 3 (2) ，„； ： ， ， ，„， n 1 n 1 2 3 4 n 21 ，22 ，23 ，„， n ，„； 2 (3) 2 ：
1 1 1 n 1 1 n 1 1 (4) (1) ，„． ：１，- ， ，- ，„， (1) n n 2 3 4 等等都是数列.
x
如果 x >0 且 x 无限增大（记作 x ）时, 函数 f (x) 无限趋 近于一个确定的常数 A，可得 lim f ( x) A ，或 f ( x) A
x
( x ) .
如果 x<0 且 x 无限增大 （记作 x ） 函数 时， 限趋近于一个确定的常数 A，可得
解 如图 2-5 所示 lim f (x ) ＝ lim ( x 1) 1；
x 0 x 0
y x 1
1
x 0
lim f (x ) ＝ lim ( x 1) 1；
x 0
x 0
Ｏ
x
因 故
lim f (x ) ≠ lim f (x )
x 0
y x 1
2
(3) 因 lim 2 x ＝0，故当 x 时， 2 x 为无穷小；
x
1 x 1 x (4) 因 lim ( ) ＝0，故当 x 时， ( ) 为无穷小. x 4 4
2. 极限与无穷小的关系
定理 2.4 lim f ( x) A 的充要条件是 f ( x) A ，其中
x x0
0
f (x)
若 lim f ( x) A ，且 A＞0（或 A＜0 ） ，则当 充分小时，
x x0
在U ( x0 , ) 内，恒有 f ( x) 0 （或 f ( x ) 0 ）.
0
性质 4（夹逼准则） x∈U ( x0 , ) 时， h(x) ≤ f (x) ≤g (x) 若 有 且 则
第2章
2.1 2.2 2.3 2.4
极限与连续
极 限 极限的运算 函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
第2章
2.1
2.1.1
极限与连续
极 限
函数的极限
2.1.2 左极限与右极限 2.1.3 无穷小量 2.1.4 极限的性质
2.1.5
2.1.6
无穷大量
小结
2
2.1.1
1. 数列的极限