重庆市第一中学高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

重庆市第一中学高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合,，则（）
A. B. C. D.
2．已知等差数列中，，，则（）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
3．已知向量，，，且，则（）
A. -6
B. -1
C. 1
D. 6
4．已知等比数列满足，则（）
A. B. C. D.
5．中，分别为角的对边，，，，则角的大小为（）
A. B. C. 或 D. 或
6．的三个内角所对的边分别为，设向量，，若，则角的大小为（）
A. B. C. D.
7．若等差数列{}n a的公差为2，且5a是2a与6a的等比中项，则该数列的前n项和n S取最小值时，n的值等于（）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
8．设数列满足，，则（）
A. B. 2 C. D. -3
9．在中,分别为角的对边，，则为（）
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
10．在中，，,，为边上的高，为的中点，，则
（）
A. B. C. D.
11．已知是边长为2的正三角形，，分别是边和上两动点，且满足，设的最小值和最大值分别为和，则（）
A. B. C. D.
12．已知定义域为的函数满足，当时，，设在
上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则的最小值是（）
A. B. C. 3 D. 2
二、填空题
13．若函数为偶函数，则__________．
14．在等差数列中，，则__________．
15．已知向量夹角为，且，则__________．
16．已知数列的前项和为，且，，则若存在正整数使得成立，
则实数的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. （Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且的面积，求的周长.
18．己知向量是同一平面内的三个向量，其中
（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；
（Ⅱ）若是单位向量，且，求与的夹角.
19．已知数列的前项和为，且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，且是递减数列，求实数的取值范围.
20．在中，角的对边分别为，且的面积，向量.
（Ⅰ）求大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
21．21．21．已知数列满足，且.
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若记为满足不等式的正整数的个数，设，求数列的最大项与最小项的值.
22．已知向量，，若函数的最小正周期为，且在区间
上单调递减.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若关于的方程在有实数解，求的取值范围.
2017-2018学年重庆市第一中学高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合,，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，可得，又，只有正确，故选A.
2．已知等差数列中，，，则（）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
【答案】D
【解析】因为等差数列中，，，所以,,由等差数列的性质可得：
，故选D.
3．已知向量，，，且，则（）
A. -6
B. -1
C. 1
D. 6
【答案】C
【解析】，解得，故选C.
4．已知等比数列满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在等比数列中，由及等比数列的性质可得得，故选B.
5．中，分别为角的对边，，，，则角的大小为（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】由正弦定理可得：，
或
，
或
，故选C.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 6．的三个内角
所对的边分别为
，设向量
，
，若
，则角的大小为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以可得，得，即，由余弦定理，
，故选B.
7．若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，
n 的值等于（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4 【答案】B
【解析】以5a 为变量， ()()2
55526a a a =+-得， 53a =-，则6711a a =-=，，所以6S 最小，故6n =,
故选B.
8．设数列满足，，则（ ）
A. B. 2 C. D. -3
【答案】A
【解析】数列中，，…，所以可得数列是周期为
的周期数列，所以，故选A.
9．在中,分别为角的对边，，则为（）
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【解析】，，根据三角形的余弦定理，
，化简得，而，为直角三角形，故选B.
【方法点睛】本题主要考查利用二倍角的余弦公式、余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
10．在中，，,，为边上的高，为的中点，，则
（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在中，，,，为边上的高，所以在中，，又
，，为的中点，，
，，故选D.
11．已知是边长为2的正三角形，，分别是边和上两动点，且满足，设的最小值和最大值分别为和，则（）
A. B. C. D.
【解析】设时，，同理
，
，当时，或时，，，故选B.
12．已知定义域为的函数满足，当时，，设在
上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则的最小值是（）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】,,时，；时，，
时，最大值为；，时，最大值为；时最大值为，
时，最大值为，，对任意均成立，
最小值为，故选A.
【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的值域以及等比数列的通项公式与求和公式，属于中难题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要
求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰，本题先求出上的最值，从而根据，
求得，利用等比数列的求和公式结合不等式恒成立思想求解即可.
13．若函数为偶函数，则__________．
【答案】1
【解析】为偶函数，，为奇函数，，即，当时，
，，符合题意，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一
是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
14．在等差数列中，，则__________．
【答案】10
【解析】由，，解得，
，故答案为.
15．已知向量夹角为，且，则__________．
【答案】
【解析】，
，解得，故答案为.
16．已知数列的前项和为，且，，则若存在正整数使得成立，
则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，相减可得，当是偶数时，化
为可得，即
，当是奇数时，可得，即
，，若存在正整数使得成立，则实数的取值范围是，故答案为.
三、解答题
17．已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且的面积，求的周长.
【答案】(1);(2)14.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由利用正弦定理可得，结合是锐角三角形，可求角的大小；（Ⅱ）根据的面积可得，利用余弦定理可求解的值，进而可得三角形的周长.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得
∵，∴；
（Ⅱ）∵，∴，
由余弦.
故的周长.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，
一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
18．己知向量是同一平面内的三个向量，其中
（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；
（Ⅱ）若是单位向量，且，求与的夹角.
【答案】(1)，或;(2).
【解析】试题分析：（Ⅰ）设向量的坐标为,运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得
到向量的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为，可求得，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.
试题解析：（Ⅰ）设，由，且可得所以或
故，或.
（Ⅱ）因为，且，所以，即，所以，
故，.
19．已知数列的前项和为，且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，且是递减数列，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：（Ⅰ）时，
适合，故；（Ⅱ）先求出，单调递减可得
恒成立，即对一切恒成立，故.
试题解析：（Ⅰ），时，
适合，故
（2）因为单调，故，，
则
单减恒成立
即对一切恒成立，故.
20．在中，角的对边分别为，且的面积，向量.
（Ⅰ）求大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的面积公式化简已知等式的左边，利用余弦定理表示出,变形后代入等式的右边,利用同角三角函数间的基本关系弦化切整理后求出的值,由为三角形的内角，利用特
殊角的三角函数值即可求出的度数；（Ⅱ）由的度数，利用三角形的内角和定理表示出的度数,用表示出,代入所求的式子中,利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后再利用两角
和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,根据的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域,即可得到所求式子的范围.
试题解析：（Ⅰ）由余弦定理，则，
另一方面，于是有，即
解得，又，故；
（Ⅱ），
∵，，，
，，∴
【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
21．21．21．已知数列满足，且.
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若记为满足不等式的正整数的个数，设，求数列的最大项与最小项的值.
【答案】(1)见解析;(2)最大项为，最小项为.
【解析】试题分析：（Ⅰ）对两边取倒数，移项即可得出，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出，从而可得出；（Ⅱ）根据不等式，，得，又，从而，当为奇数时，单调递减，；当为偶数时单调
递增，综上的最大项为，最小项为.
试题解析：（Ⅰ）由于，，则
∴，则，即为常数
又，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列
从而，即.
（Ⅱ）由即，得，
又，从而
故
当为奇数时，，单调递减，；
当为偶数时，，单调递增，
综上的最大项为，最小项为.
22．已知向量，，若函数的最小正周期为，且在区间
上单调递减.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若关于的方程在有实数解，求的取值范围. 【答案】(1);(2)或.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面向量数量积公式可得，利用二倍角的正弦公
式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可
得，利用区间上单调递减，可得，从而可得函数解析式；（Ⅱ）原方程可化为
令，可得
，整理，等价于在有解，利用一元二次方程根的分布求解即可.
试题解析：（Ⅰ）
，∴
当时，此时单增，不合题意，∴；
∴，∴，在单减，符合题意，故
（Ⅱ），，
方程方程即为：
令，由
，得，于是
原方程化为，整理，等价于在有解
解法一：
（1）当时，方程为得，故；
（2）当时，在上有解在上有解，问题转化为求函数
上的值域；设，则，，，
设，在时，单调递减，时，单调递增，∴的取值范围是，
在上有实数解或
解法二：记
（1）当时，，若解得不符合题意，所以；
（2）当，方程在上有解；
①方程在上恰有一解；
②方程在上恰有两解或；
综上所述，的范围是或.。