北京专用2019版高考数学一轮复习第十章概率与统计第六节概率与统计的综合问题夯基提能作业本文

第六节概率与统计的综合问题
A组基础题组
1.小陈为了参加2016年全国竞走大奖赛暨奥运会选拔赛,每天坚持竞走,并用计步器对步数进行统计.小陈最近8天竞走步数的条形图及相应的消耗能量数据表如下.
(1)求小陈这8天竞走步数的平均数;
(2)从步数为16千步、17千步、18千步的几天中任选2天,求小陈这2天通过竞走消耗的能量和为840卡路里的概率.
2.从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组[40,50);第二组[50,60);……;第六组[90,100],并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数;
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率.
3.(2015北京东城期末)某园林基地培育了一种新观赏植物,经过一年的生长发育,技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;
(2)在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株,求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率.
4.(2015北京丰台二模)长时间用手机上网严重影响学生的身体健康,某校为了解A,B两班学生用手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查,将他们平均每周用手机上网的时长作为样本,绘制成如图所示的茎叶图.
(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计哪个班的学生用手机上网的平均时间较长;
(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a,从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b,求a>b的概率.
B组提升题组
5.(2013北京,16,13分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大.(结论不要求证明)
6.(2015北京通州一模)由于雾霾日趋严重,政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求.为此,某市公交公司在160名乘客中进行随机抽样,共抽取20人进行调查反馈,将他们的候车时间作为样本分成4组,如下表所示(单位:分钟):
(1)估计这160名乘客中候车时间不少于10分钟的人数;
(2)若从上表第1组、第2组的6人中选2人进行问卷调查,求抽到的2人恰好来自不同组的概率.
7.(2016北京东城二模)某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆.目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R(单位:千米)分为3类:A类:80≤R<150,B
类:150≤R<250,C类:R≥250.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计后,结果如下表:
(1)从这140辆汽车中任取一辆,求该车行驶总里程超过10万千米的概率;
(2)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取14辆车进行车况分析,按表中描述的六种情况进行分层抽样,设从C类车中抽取了n辆车.
①求n的值;
②如果从这n辆车中随机选取两辆车,求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率.
8.(2018北京海淀期末,17改编)据中国日报网报道,2017年11月13日,TOP500发布了最新一期全球超级计算机500强榜单,中国超算在前五名中占据两席.其中,超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产品牌处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下:(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
设a i、b i分别表示第i次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记X i=|a i-b i|(i=1,2,…,12).
(1)求数据X1,X2,X3,…,X12的众数;
(2)从满足X i=4的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果的概率.
答案精解精析
A组基础题组
1.解析(1)小陈这8天竞走步数的平均数为
=17.25(千步).
(2)将步数为16千步的3天分别记为A,B,C;步数为17千步的2天分别记为D,E;步数为18千步的1天记为F.则从A,B,C,D,E,F这6天中任选2天,所包含的基本事件有
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15个.
其中小陈这2天通过竞走消耗的能量和为840卡路里所包含的基本事件有
{A,D},{A,E},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},共6个,所以小陈这2天通过竞走消耗的能量和为840卡路里的概率P==.
2.解析(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间[80,90)内的频率为
1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1,
所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1=4.
(2)设A表示事件“从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”,由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人,记这4名学生分别为a,b,c,d,
成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40=2(人),记这2名学生分别为e, f,
选取2名学生的所有可能结果为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a, f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,
f),(c,d),(c,e),(c, f),(d,e),(d, f),(e, f),共15种,
事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a,e),(a, f),(b,e),(b, f),(c,e),(c, f),(d,e),(d, f),(e, f),共9种,
所以P(A)==.
3.解析(1)由题意可知,样本容量n=
=50,则y==0.004,则
.
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.
(2)由题意及(1)可知,高度在[80,90)内的株数为5,记这5株分别为a1,a2,a3,a4,a5,高度在[90,100]内的株数为2,记这2株分别为b1,b2.
抽取2株的所有情况有21种,分别为
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3, a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2),
其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种,分别为
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).
∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P=1-=.
4.解析(1)A班样本数据的平均值=×(9+11+14+20+31)=17,
B班样本数据的平均值=×(11+12+21+25+26)=19,
因为<,
所以估计B班学生用手机上网的平均时间较长.
(2)依题意,从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a,从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b的取法共有12种,分别为
(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),(11,21),(14,11),(14,12),(14,21),(20,11),(20,12),(20, 21),其中满足条件“a>b”的共有4种,分别为(14,11),(14,12),(20,11),(20,12).
记“a>b”为事件D,
则P(D)==.
B组提升题组
5.解析(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是.
(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
6.解析(1)160×=112(人).
∴估计这160名乘客中候车时间不少于10分钟的人数是112.
(2)第1组有2人,分别记为A1,A2,第2组有4人,分别记为B1,B2,B3,B4,
从6人中选2人共有
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2, B3),(B2,B4),(B3,B4),共15种情况,且每种情况出现的可能性相同,其中抽到的2人恰好来自不同组的有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),共8种情况.
∴抽到的2人恰好来自不同组的概率P=.
7.解析(1)从这140辆汽车中任取一辆,则该车行驶总里程超过10万千米的概率P==.
(2)①依题意得n=×14=5.
②易得5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆,记为a,b,c;5辆车中已行驶总里程超过10
万千米的车有2辆,记为m,n.
“从5辆车中随机选取两辆车”的选法共10种:ab,ac,am,an,bc,bm,bn,cm,cn,mn.
“从5辆车中随机选取两辆车,恰有一辆车行驶总里程超过10万千米”的选法共6
种:am,an,bm,bn,cm,cn.
则选取的两辆车中恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率P==.
8.解析(1)
所以X i=1有2次,X i=2有3次,X i=4有4次,X i=6有2次,X i=7有1次,
则数据X1,X2,X3…,X12的众数为4.
(2)设事件D为品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果.
满足X i=4的测试共有4次,其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有2次,即测试3和测试7,不妨用M,N表示.品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有2次,即测试6和测试11,不妨用P,Q表示.
从中随机抽取两次,共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况,其中事件D发生,指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况. 故P(D)==.。