圆弧轮廓误差的最小区域分析法

圆弧轮廓误差的最小区域分析法
强怀博
【摘要】若评定圆弧误差的方法不当,会使得轮廓误差较小的圆弧被误判为不合格.提出基于最小区域圆法的数学模型,研究被测特征点与最大区域圆、最小区域圆之间的关系,建立模型的目标函数并分析其误差控制方法,得到圆弧半径和圆心误差的不确定度表述方法.此圆弧误差的评定模型克服了以往单纯依靠半径值来衡量误差的不足,更符合圆弧误差分布情况.结果表明,此分析方法能较真实地反映被测圆弧轮廓误差的实际情况.%The improper use of arc contours error evaluation method leads to wrongly estimating arc contours with small er-ror as disqualified. In this paper, a mathematical model based on minimum zone circle method is established to study the rela-tion between the detected feature points and the maximum or minimum zone cirle. An objective function of the model is set up and its error control method is analyzed to obtain the uncertainty expression of the error of circular arc center and circular arc ra-dius. The model for arc error evaluation overcomes the shortcomings of error evluation method simply dependent on the value of radius, which is more in accordance with the distribution of arc error. The results show that the mathematical model can correct-ly simulate the actual arc error.
【期刊名称】《现代电子技术》
【年(卷),期】2013(036)001
【总页数】3页(P102-104)
【关键词】圆弧误差;最小区域圆法;误差控制;误差不确定度
【作者】强怀博
【作者单位】西安工业大学机电工程学院,陕西西安710032
【正文语种】中文
【中图分类】TN06-34
对圆弧工件进行评定时，通常先借助万工显或三坐标测量机测出工件的弓高弦长，再利用弓高弦长法、工字法或三点法等计算出圆弧的半径及误差，从而实现圆弧误差的评定[1]。

但是对于大半径的短圆弧，利用这些方法评定时误差较大，究其原
因是上述方法在分析计算圆弧样板的半径及误差时，都将圆弧轮廓上的误差全部核算到了半径上，因而造成即使圆弧的轮廓度误差较小时，亦会错误判定圆弧工件不合格[2]，反复对圆弧工件进行修形加工，最终造成工件被修坏而报废。

本文提出基于最小区域法的圆弧误差评定方法，首先将所研究圆弧视为整圆的任意一部分，由于圆弧轮廓上的特征点较为分散，以此满足圆度误差评定方法的要求，故可以通过研究圆度误差的方法来分析圆弧误差。

借此所建立的数学模型，克服了以往单纯依靠半径值来衡量圆弧误差的不足，更符合圆弧轮廓的误差分布情况。

目前常用于圆度误差的评定方法有最小区域法（MZC）、最小外接圆法（MCC）、最大内切圆法（MIC）、最小二乘法（LSC）。

在对圆弧误差的评价过程中，借助圆度的MZC中所建立的数学模型既没有要求轮廓封闭，又没有要求等角度采样。

故此模型对圆弧误差评定具有参考价值。

而且MZC在圆度评定中误差值最小，且具有惟一性[3]。

本文将利用MZC建立圆弧误差评定的数学模型。

依据最小包容区域法的要求，首先在圆弧工件上找出若干个特征点，再根据所选的特征点找出理想的评定中心，该中心既是最小包容圆的圆心也是最大包容圆的圆心。

由此可知，圆弧误差值为被测实际轮廓最小包容区域的半径差，如图1所示。

设通过采样得到圆弧曲线上有限个点，采样次数为n，第i个采样点的坐标为(xi,yi)，且记(xz,yz)为最小区域圆的理想圆心。

为了便于研究，首先分析包容圆中
的较大半径圆与被评定圆弧的关系。

以轮廓曲线内部任一点(x,y)为圆心，内包含圆弧轮廓曲线的圆集合中半径最小者为：
将作为一个目标函数，记为fc。

同理，研究包容圆中半径较小圆与被测圆弧轮廓的关系，外包含圆弧轮廓曲线的最大圆的半径为：
将作为另一个目标函数，记为fI。

故包容被测圆弧且环面积最小的两同心圆的目标函数为：
因此，以fz为目标的无约束优化问题min f(xz,yz)的最优解(xz,yz)就是最小区域圆法所确定的两同心包容圆的圆心，最优值f(xz,yz)就是最小区域圆半径的平方。

工件关于最小区域法的圆弧度误差为：
利用上述模型对于大跨距圆弧进行误差分析时，在中间若干点处势必产生较大误差，所以在此算法中必须对误差进行分析控制。

如图2所示。

图2中，从特征点P点开始逐点连接Pi到Pi+k线段，分别记其圆心为Oi，
k=1,2,…,n。

从上面的分析可以得出，这是一个非线性最小二乘问题，则有：
式中n为参与计算的特征点P的个数，若选取n个特征点服从均匀分布，设单次
测量误差为Δ，且在测量时几何误差已获补偿。

为不失一般性，以Oi(x,y)为原点
建立坐标系，使得n个特征点符合正态分布，计算得到被测圆弧半径和圆心的误
差不确定度分别为sr，so。

式中：θi为逐个特征点Pi与圆心连线Oi之间的夹角。

对式（8）,式（9）分析可得，圆弧圆心及半径的测量误差的传递因数srΔ，soΔ将随被测圆弧中心角的减小而急剧增大。

取被测圆弧如图2所示，先对圆弧上的8个点采样，各点的坐标见表1。

下面采用最小区域法进行误差评定分析。

利用表1中的各特征点值，求得包含该圆弧的最小区域圆的圆心坐标值为：
xz=8.372 6mm；yz=13.592 2mm，最小区域圆的半径值rz=25.107 8mm，被测圆弧关于MZC的圆弧度误差的不确定度为：srΔ=0.17；soΔ=0.25。

圆弧半径的误差：
对圆弧工件进行评定时，当评定圆弧误差的方法不合理，会使得轮廓误差较小的圆弧被误判为不合格。

基于最小区域圆法的数学模型，在研究特征点与最大区、最小区域圆间关系的基础上建立系统数学模型。

此评定模型克服了单纯依靠半径值来衡量圆弧误差的不足。

本文进一步对圆弧误差的测量控制方法进行了研究，得到圆弧半径和圆心误差的不确定度表述方法。

通过实例验证此分析方法能较真实地反映被测圆弧轮廓误差的实际情况，其对圆弧轮廓误差的精密加工和测量具有一定的参考价值。

【相关文献】
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