三角函数y=sinx的图象与性质

sinx等于三角函数的图象与性质函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
2kπ－，2kπ＋为增；2kπ＋，2kπ＋为减
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增
kπ－，kπ＋为增
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
无
与三角函数有关的定义域和值域问题
【例1】?(1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1在x∈上的最大值为________，最小值为________．解析(1)sin x－cos x＝sin≥0，
所以定义域为.
(2)f(x)＝2cos xsin x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝sin，
∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈，
故f(x)max＝，f(x)min＝－1.
答案(1) (2) －1
【训练1】 (1)函数y＝的定义域为________；
(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值为________，最大值为________．解析(1)由题意知：tan x≠1，即，
又，
故函数的定义域为：.
(2)y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2x－sin x＋1＝22＋.
又x∈，∴sin x∈，
∴当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝－时，ymax＝2.
答案(1) (2) 2
三角函数的单调性
【例2】?(2012?北京)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．
解(1)由sin x≠0，得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，因为f(x)＝＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．
【训练2】求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝cos；(2)y＝3sin.
解(1)将2x＋看做一个整体，根据y＝cos x的单调递增区间列不等式求解．函数y＝cos x 的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x ≤kπ－，k∈Z.
故y＝cos的单调递增区间为kπ－，kπ－(k∈Z)．
(2)y＝3sin＝－3sin，∴由＋2kπ≤－≤2kπ＋，得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
故y＝3sin的单调递增区间为(k∈Z)．三角函数的奇偶性、周期性及对称性
【例3】?(1)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．
(2)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
解析(1)要使g(x)＝sin为偶函数，则需＋α＝kπ＋，α＝kπ＋，k∈Z，∵00)的最小正周期为π，则该函数的图象( )．
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称
解析由题意知T＝＝π，则ω＝2，所以f(x)＝
sin，又f＝sin＝sin π＝0.
答案 B
4．(2013?郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f(x)＝2sin ωx在上是增函数，那么( )．
A．00，得ωx∈.又y＝sin x是上的单调增函数，
则解得0f(π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，
∴－sin φ>sin φ.∴sin φ0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是 ( )．。