高中数学选修2-1课时作业9：2.1.1 曲线与方程

2．1.1 曲线与方程
一、基础过关
1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为()
A．一条直线B．一条射线
C．一条线段D．不能确定
[答案] B
[解析]方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()
A．一个点B．一条直线
C．两条直线D．一个点和一条直线
[答案] C
[解析]由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．故选C.
3．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析]∵y＝－2x≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2x上．反之点M在y＝－2x上时，一定在y2＝4x上．
4．方程x2＋y2＝1 (xy<0)表示的曲线形状是()
[答案] C
[解析]由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．
又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．
5．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是()
A ．y ＝x 与y ＝x 2
B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0
C ．y ＝1x
与xy ＝1 D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x
[答案] C
[解析] y ＝1x
与xy ＝1表示双曲线． 6．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.
[答案] 5
[解析] 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.
7．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0表示什么曲线？
解 由(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0可得
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x 2＋y 2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，或x 2＋y 2＝4，由圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22<2得直线与圆相交，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，
表示直线x ＋y －1＝0在圆x 2＋y 2＝4上和外面的部分，x 2＋y 2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆．
所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x 2＋y 2＝4的外面的部分，如图所示．
二、能力提升
8．下列命题正确的是( )
A ．方程x y －2
＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线
B ．△AB
C 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0
C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5
D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0
[答案] D
[解析] 对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有D 是正确的．
9．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示一条( )
A ．过点P 且垂直于l 的直线
B ．过点P 且平行于l 的直线
C ．不过点P 但垂直于l 的直线
D ．不过点P 但平行于l 的直线
[答案] B
[解析] ∵点P 的坐标(x 0，y 0)满足方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0，∴方程表示的直线过点P .又∵f (x 0，y 0)为常数，
∴方程可化为f (x, y )＝f (x 0，y 0)，方程表示的直线与直线l 平行．
10．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y
＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．
[答案] ①
[解析] ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如
点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y
＝1. 11．(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？
(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？
解 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得
⎩
⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0. 即x ＋y －1＝0 (x ≥1)或x ＝1，
∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0 (x ≥1)．
(2)方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，
∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝－1， ∴方程表示的图形是点，点的坐标为(1，－1)．
12．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－25，2)是否在这个圆上．
证明①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x20＋y20＝5，也就是x20＋y20＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x20＋y20＝25，两边开方取算术平方根，得x20＋y20＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．
由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．
把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－25，2)代入方程x2＋y2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．
三、探究与拓展
13．已知曲线C的方程为x＝4－y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解由x＝4－y2，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝4－y2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝1
π·4＝2π.
2
所以所求图形的面积为2π.。