高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线夯基提能作业本 理(2021年整理)

2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第七节抛物线夯基提能作业本理
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2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第七节抛物线夯基提能作业本理
第七节抛物线
A组基础题组
1.抛物线y=4ax2（a≠0)的焦点坐标是( )
A.（0，a）B。

（a，0)
C. D.
2.(2016课标全国Ⅱ,5，5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴,则k=( ）
A.B。

1 C。

D。

2
3。

（2016山西高三考前质检）已知抛物线C1：x2=2py(p>0）的准线与抛物线C2:x2=—2py(p〉0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若△FAB的面积等于1,则C1的方程是（)
A。

x2=2y B。

x2=y
C.x2=y
D.x2=y
4。

已知抛物线y2=2px（p〉0)，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( ）
A.x=1
B.x=2
C。

x=-1 D.x=-2
5.已知P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M,点A的坐标为，则|PM|+|PA|的最小值是( ）
A。

8 B。

C。

10 D。

6.（2015陕西，14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点，则
p= 。

7。

已知点P在抛物线y2=4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为,则点P到x
轴的距离为.
8。

如图是抛物线形拱桥,当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米。

9.如图所示,已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
（2）若线段|AB｜=20,求直线l的方程。

10。

（2016陕西商洛月考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,点A(4,m）在抛物线上，且｜AF｜=5。

（1）求抛物线的标准方程；
（2)是否存在直线l，使l过点(0，1)，并与抛物线交于B，C两点,且满足·=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在,说明理由.
B组提升题组
11。

已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点。

若=4,则|QF｜=（）
A。

B。

3 C.D。

2
12。

过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A,B,C,D四点，且AB⊥CD,则·+·的最大值等于（)
A。

—4 B。

—16 C.4 D.-8
13。

设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A,B两点.若｜AF|=3｜BF|，则l的方程为（）
A.y=x—1或y=—x+1
B.y=(x-1)或y=-(x-1）
C。

y=（x—1)或y=-(x-1）
D.y=(x-1）或y=-（x-1）
14。

（2016天津,14,5分）设抛物线(t为参数，p〉0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2｜AF｜，且△ACE的面积为3，则p的值为.
15.(2016广东深圳一模）过抛物线y2=2px(p>0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于.
16.已知过抛物线y2=2px（p〉0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1)，B（x2，y2）(x1<x2)两点，且|AB|=9。

（1）求该抛物线的方程；
(2）O为坐标原点,C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值。

答案全解全析
A组基础题组
1。

C 将y=4ax2(a≠0)化为标准方程是x2=y(a≠0)，所以焦点坐标为,所以选C.
2。

D 由题意得点P的坐标为（1，2).把点P的坐标代入y=（k>0)得k=1×2=2，故选D。

3.A 由题意得F,不妨设A,B，∴S△FAB=·2p·p=1，则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y，故选A.
4。

C 由题可知焦点为，∴直线AB的方程为y=-，与抛物线方程联立得
消去y,得4x2—12px+p2=0,设A(x1，y1）,B（x2,y2),则x1+x2=3p。

∵线段AB的中点的横坐标为3，∴=3，∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1。

5。

B 依题意可知焦点为F,准线方程为y=—,延长PM交准线于点H(图略)。

则|PF｜=｜PH｜,｜PM|=｜PF|-，|PM|+|PA｜=｜PF｜+｜PA|-.
因为|PF｜+|PA|≥｜FA｜，
又｜FA|==10。

所以｜PM｜+|PA｜≥10—=，故选B。

6.答案2
解析抛物线y2=2px(p〉0)的准线方程为x=—(p>0)，故直线x=-过双曲线x2—y2=1的左焦点(-，0），从而—=—,解得p=2.
7.答案2
解析设点P的坐标为（x P,y P).
抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，根据已知条件及抛物线的定义,可知=⇒x P=1，
∴=4,∴｜y P|=2.
则点P到x轴的距离为2.
8。

答案2
解析建立坐标系如图所示。

则可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
∵点（2，-2)在抛物线上，∴p=1,即抛物线方程为x2=—2y。

当y=-3时,x=±.
∴水位下降1米后，水面宽2米。

9.解析（1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)。

因为线段AB的中点在直线y=2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1,y1)，B（x2,y2），AB的中点为M(x0,y0),则
由得(y1+y2)(y1-y2）=4(x1—x2）,
所以2y0k=4。

又y0=2,所以k=1，
故直线l的方程是y=x-1。

(2)设直线l的方程为x=my+1，与抛物线方程联立得消去x,整理得y2—4my—4=0，所以y1+y2=4m,y1y2=—4，Δ=16（m2+1)〉0。

|AB｜=｜y1—y2｜
=·
=·
=4（m2+1).
所以4(m2+1）=20，解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.
10。

解析（1)∵点A（4，m)在抛物线上,
且｜AF｜=5，
∴4+=5,∴p=2,
∴抛物线的标准方程为y2=4x。

(2）存在。

理由:由题意可设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0)，
代入抛物线方程，整理得y2—4ky+4k=0,
则Δ=16k2—16k>0⇒k〈0或k〉1,
设B（x1,y1)，C（x2，y2），
则y1+y2=4k,y1y2=4k，
由·=0,即x1x2+y1y2=0,得（k2+1)y1y2-k2（y1+y2）+k2=0，
则有(k2+1）·4k—k2·4k+k2=0，
解得k=-4或k=0（舍去),
∴直线l存在，其方程为x+4y—4=0。

B组提升题组
11。

B ∵=4，∴点Q在线段PF上,且在两端点之间，过Q作QM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知｜QF｜=｜QM｜，设抛物线的准线l与x轴的交点为N，则｜FN|=4，又易知△PQM∽△PFN,
则=,即=.∴|QM|=3，即｜QF|=3。

故选B.
12.B 依题意可得,·=-（||·｜｜).
因为|｜=y A+1,｜|=y B+1,
所以·=—（y A y B+y A+y B+1)。

设直线AB的方程为y=kx+1（k≠0)，
联立x2=4y,可得x2—4kx—4=0，
所以x A+x B=4k，x A x B=—4.
所以y A y B=1,y A+y B=4k2+2.
所以·=—（4k2+4）。

同理,·=-.
所以·+·=—≤—16.
当且仅当k=±1时等号成立。

13.C 由题意知直线l不垂直于x轴。

当直线l的倾斜角α〈时，如图，
过A作AA1垂直准线于A1,过B作BB1垂直准线于B1。

设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.由抛物线的定义可设|BF｜=｜BB1|=t,则｜AF｜=｜AA1|=3t.作BB2垂直AA1于B2，易知
△AB2B∽△BB1C,∴=,则有=,∴|BC|=2t，∴∠B1CB=,∴直线l的倾斜角α=。

当倾斜角α〉时,由对称性可知α=π。

∴直线l的倾斜角α=或π.
又F(1,0)，∴直线l的方程为y=(x-1)或y=—(x-1）.故选C.
14.答案
解析由已知得抛物线的方程为y2=2px（p〉0),则｜FC|=3p，∴|AF|=|AB|=p,A(p,p）（不妨设A在第一象限)。

易证△EFC∽△EAB，所以===2,所以=，所以
S△ACE=S△AFC=×p×p=p2=3，所以p=。

15。

答案
解析设A（x 1，y1),B（x2，y2)，AB的中点M(x0,y0），则=2px1，=2px2，
两式相减,整理得（y1+y2)·=2p，即2y0×1=2p，所以y0=p，
又AB的方程为y=x—,
所以x0=p,即M,
代入AB的中垂线y=—x+2,可得p=.
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16.解析(1）直线AB的方程是y=2，
与y2=2px联立,整理得4x2—5px+p2=0,
所以x1+x2=。

由抛物线定义得|AB｜=x1+x2+p=9，
所以p=4，从而抛物线的方程是y2=8x.
(2）将p=4代入4x2—5px+p2=0得x2-5x+4=0,
从而x1=1，x2=4，y1=—2,y2=4,
从而A(1，—2)，B（4,4）.
设=(x3,y3）,则(x3，y3)=(1，—2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ—2）,又=8x3,所以［2(2λ—1)]2=8(4λ+1)，即（2λ-1)2=4λ+1，解得λ=0或λ=2。

11。