高中数学第四章对数函数的性质与图象第2课时对数函数的图象和性质课件新人教B版必修第二册

(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
(3)求函数y＝ log 2 x的定义域．
【解析】
x > 0，
由已知可得ቊ
log 2 x ≥ 0，
解得x≥1，
故函数的定义域为x∈[1，＋∞).
方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；
当t＝2时，y取得最小值－1，当t＝0时，y取得最大值3，
所以值域为[－1，3].
状元随笔 求出函数的定义域⇒求出真数的范围⇒根据对数函数的
单调性求出函数的值域．
方法归纳
复合函数值域的求法
(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是
根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．
2 > −1，
即x的取值范围是(1，＋∞).
(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围；
【解析】
loga(x－1)≥loga(3－x)，
− 1 > 0，
当a＞1时，有ቐ 3 − > 0， 解得2≤x＜3.
− 1 ≥ 3 − ，
− 1 > 0，
2
2
整理可得0<5x－2≤1，
2
3
解得： <x≤
5
5
所以函数y＝ log 1 5 − 2
2
2 3
的定义域为( ， ].
5 5
2
题型3 有关对数复合函数的值域与最值问题[逻辑推理、数学运算]
例3 求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
【解析】 y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，
解析：①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．
2 > − 1，
因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以ቊ
解得a＞1，
− 1 > 0，
即实数a的取值范围是a＞1.
②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，
+ 1 > 0，
A．b>c>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．c>b>a
【答案】
)
A
【解析】
∵a ＝ log20.2<log21 ＝ 0 ， b ＝ 20.2>20 ＝ 1 ， 0 ＝ log0.21<c ＝
log0.20.3<log0.20.2＝1，∴b>c>a.
状元随笔
构造对数函数，利用函数单调性比较大小.
方法归纳
所以ቐ 3 − > 0， 解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.
+ 1 < 3 − ，
(3)函数y＝ log 1 (5－2)的定义域为(
2
3
A．(－∞， ]
5
2 3
C．( ， ]
5 5
)
2 3
B．( ， )
5 5
3
D．[ ，＋∞)
5
答案：C
解析：由题意可得log 1 (5x－2)≥0且5x－2>0，即log 1 (5x－2)≥log 1 1且5x－2>0，
(2)对于形如y＝logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤
如下：
①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
②求f(x)的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y＝logau的单调性求解．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)y＝log 1 (4x－x2)；
2
【解析】 由4x－x2>0，得0<x<4，
3
A．a＜b＜c
C．b＜c＜a
B．b＜a＜c
D．c＜a＜b
【答案】 B
【解析】 因为0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，
1
b＝log2 ＜log21＝0，c＝2log32＝log34＞1，
3
所以a，b，c的大小关系为b＜a＜c.
)
(3)若a＝log20.2，b＝20.2，c＝log0.20.3，则下列结论正确的是(
＜
，即log0.67＜log0.57.
log7 0.6
log7 0.5
(4)因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.
3
2．若log3a＜0，
1
＞1，则(
3
)
A．a＞1，b＞0 B．0＜a＜1，b＞0
C．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：因为log3x＜1＝log33，
> 0，
所以x满足的条件为ቊ
3 ≥ 3 3，
即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
(1)log33＝1.
(2)由对数函数的单调性求解．
(2)根据下列各式，确定实数
a的取值范围：
①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；
②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a).
2
所以f(0)＝0.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝log 1 [－(－1)＋1]＝log 1 2＝－1，即f(1)＝－1.
2
2
(2)求函数f(x)的解析式．
【解析】 令x>0，则－x<0，
所以f(－x)＝log 1 (x＋1)＝f(x)，
2
所以x>0时，f(x)＝log 1 (x＋1).
当0＜a＜1时，有ቐ 3 − > 0， 解得1＜x≤2.
− 1 ≤ 3 − ，
综上可得，
当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；
当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].
状元随笔 (1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．
0.67；
(4)log3π________log
＞
20.8.
解析：(1)因为函数y＝log 2 x是减函数，且0.5＜0.6，所以log 2 0.5＞log 2 0.6.
3
3
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.
1
1
(3)因为0＞log70.6＞log70.5，所以
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x).
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.
跟踪训练2 (1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为__________；
{x|0＜x＜3}
3
3
3
A．2a>2b>2c
C．2c>2b>2a
)
B．2b>2a>2c
D．2c>2a>2b
【答案】 B
【解析】
由于函数y＝log 2 x为减函数，因此由log 2 b<log 2 a<log 2 c，可得b>a>c，
3
又由于函数y＝2x为增函数，所以2b>2a>2c.
3
3
3
1
(2)设a＝log32，b＝log2 ，c＝2log32，则a，b，c的大小关系是(
2
log 1 + 1 ， > 0
2
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝൞
log 1 − + 1 ，x ≤ 0.
2
3
32
33
A．a<b<c
C．b<a<c
B．c<b<a
D．b<c<a
答案：B
1
32
解析：因为a＝log 1 ＝log32，
2
33
3
2
4
3
b＝log 1 ＝log3 ，c＝log3 ，
4
3
又y＝log3x是单调增函数，所以log3 <log3 <log32，
3
2
即c<b<a.
)
状元随笔 (1)选择中间量0和1，比较大小．
例4 设函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则f(x)是(
A．奇函数，且在(0，2)上是增函数
B．奇函数，且在(0，2)上是减函数
C．偶函数，且在(0，2)上是增函数
D．偶函数，且在(0，2)上是减函数
【答案】 A
【解析】 因为f(－x)＝ln (2－x)－ln (2＋x)＝－f(x)，
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1 (1)设a＝log2π，b＝log 1 π，c＝π－2，则(
2
A．a＞b＞c
C．a＞c＞b
)
B．b＞a＞c
D．c＞b＞a
答案：C
解析：a＝log2π＞1，b＝log 1 π＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.
2
1
2
4
(2)设a＝logห้องสมุดไป่ตู้1 ，b＝log 1 ，c＝log3 ，则a，b，c的大小关系是(
f(x)≥log28＝3.函数的值域为[3，＋∞).
(3)f(x)＝(log2x)2－log2x2－3.
【解析】 因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，
即x＝2时，f(x)取最小值－4；
f(x)没有最大值；
故函数的值域为[－4，＋∞).
题型4 对数函数性质的综合应用[经典例题]
2
所以log 1 u≥log 1 4＝－2，
2
2
所以y＝log 1 (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞).
2
(3)f(x)＝(lg x)2－2lg x2＋3(1≤x≤1 000).
【解析】 令lg x＝t，因为1≤x≤1 000，所以0≤t≤3.
所以y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1，0≤t≤3，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞).
(2)y＝log 1 (3＋2x－x2)；
2
【解析】 由3＋2x－x2>0得定义域为(－1，3).
设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0<u≤4.
又y＝log 1 u在(0，＋∞)上为减函数，
(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数
中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
跟踪训练4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝
log 1 (－x＋1).
2
(1)求f(0)，f(1)；
【解析】
因为当x≤0时，f(x)＝log 1 (－x＋1)，
答案：D
解析：由函数y＝log3x，y＝
1 x
的图象知，0＜a＜1，b＜0.
3
3．函数y＝log2x在区间(0，2]上的最大值是(
A．2
B．1
C．0
D．－1
)
答案：B
解析：函数y＝log2x在(0，2]上递增，故x＝2时，y的值最大，最大值是1.
课堂探究·素养提升
题型1 比较大小[经典例题]
例1 (1)已知log 2 b<log 2 a<log 2 c，则(
第2课时 对数函数的图象和性质
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
基 础 自 测
1．比较下列各组值的大小：
2 0.6；
(1)log 2 0.5________log
＞
3
3
(2)log1.51.6________log
＞
1.51.4；
(3)log0.57________log
＞
令t＝4x－x2，则y＝log 1 t，
2
因为t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，0<x<4，
所以0<t≤4，
因为函数y＝log 1 t在(0，4]上单调递减，
2
所以y＝log 1 t≥log 1 4＝－2，
2
2
所以函数的值域为[－2，＋∞).
(2)f(x)＝log2(x2＋8)；
【解析】 设t＝x2＋8，则t≥8，又函数y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，所以
所以f(x)为奇函数；
因为y＝ln (2＋x)与y＝－ln (2－x)在(0，2)内都是增函数，
所以f(x)在(0，2)上是增函数．
)
方法归纳
解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题
(1)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2 ＋x，则
f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.
(2)利用对数函数的单调性比较大小．
题型2 解对数不等式[经典例题]
例2 (1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；
(1，＋∞)
【解析】
∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
2 > 0，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得ቐ − 1 > 0，解得x＞1，