2020学年中考数学《三角形》专题练习(有答案)

三角形
1.三角形内角和定理的应用
例 1.如图1，已知ABC 中，BAC 90 ，AD BC 于D，E是AD上一点。

求证：BED C
A
E
B D C
图1
2.三角形三边关系的应用
例 2.已知：如图2，在ABC 中，AB AC ，AM是BC边的中线。

1
求证： AM AB AC
A
B M C
D
图2
3.角均分线定理的应用
例 3. 如图 3，∠ B＝∠ C＝ 90°， M是 BC的中点， DM均分∠ ADC。

求证： AM均分 DAB。

D C
G
M
A B
图3
4.全等三角形的应用
（ 1）结构全等三角形解决问题
例4.已知如图4，△ ABC是边长
为1 的等边三角形，△BDC是顶角
（∠
BDC）为
120°的等腰三角形，以 D 为极点作一个60°的角，它的两边分别交AB 于 M，交AC
于
N，连结MN。

求证：AMN的周长等于2。

A
M
N
B
C
D
M'
图4
（2）“全等三角形”在综合题中的应用
例 5. 如图 5，已知：点 C 是∠ FAE的均分线 AC上一点， CE⊥ AE， CF⊥ AF，E、 F 为垂足。

点 B 在 AE的延伸线上，点 D 在 AF上。

若 AB＝ 21， AD＝ 9， BC＝DC＝ 10。

求 AC的长。

F
D
C
A E B
图5
5、中考点拨
例 6.如图，在ABC 中，已知∠B和∠C的均分线订交于点F，过点 F 作 DE∥ BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BD＋ CE＝9，则线段 DE的长为（）
A.9
B.8
C.7
D.6
A
D F
E
B C
6、题型展现
例 7.已知：如图6，ABC中，AB＝AC，∠ ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延伸线于E，AE
1 BD 。

2求证： BD均分∠ ABC
A
E
D
F C B
图6
例8. 某小区联合实质状况建了一个平面图形为正三角形的花坛。

如图7，在正三角形ABC花坛外有知足条件PB＝AB 的一棵树 P，现要在花坛内装一喷水管 D，点 D 的地点一定知足条件 AD＝ BD，∠ DBP＝DBC，才能使花坛内所有地点及树 P 均能获得水管 D的喷水，问∠ BPD为多少度时，才能达到上述要求？
A
P
D
B C
图7
【实战模拟】
1.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分红12cm 和 21cm，则这个等腰三角形底边的长为
____________。

2.在锐角 ABC 中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。

3.如下图， D 是ABC的∠ ACB的外角均分线与 BA 的延伸线的交点。

试比较∠ BAC与∠ B 的大小关系。

D
A
1
2
D C E
4.如下图， AB＝ AC，∠ BAC＝ 90°， M是 AC中点， AE⊥ BM。

求证：∠ AMB＝∠ CMD
A
M
E
B D C
5. 设三个正数 a、b、c 知足a2b2c22
4
b4c4，求证：a、b、c必定是某个三角形三边
2 a
的长。

【试题答案】
1.证明：由 AD⊥ BC于 D，可得∠ CAD＝∠ ABC
又ABD ABE EBD
则∠ABD∠EBD
可证∠ CAD∠EBD
即∠BED∠C
说明：在角度不定的状况下比较两角大小，假如能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2.证明：延伸 AM到 D，使 MD＝AM，连结 BD
在CMA 和BMD 中， AM DM ，∠ AMC∠ DMB，CM BM
CMA BMD
BD AC
在ABD 中，AB BD AD ，而AD2AM AB AC 2 AM
AM 1
AB AC 2
说明：在剖析此问题时，第一将求证式变形，得2AM AB AC ，而后经过倍长中线的方法，相当
于将AMC 绕点旋转180°组成旋转型的全等三角形，把AC、 AB、 2AM转变到同一三角形中，利用三角形
三边不等关系，达到解决问题的目的。

很自然有1
AB AC AM
1
AB AC 。

请同学们自己试着22
证明。

3.证明：过 M作 MG⊥AD于 G，∵ DM均分∠ ADC， MC⊥ DC， MG⊥ AD
∴MC＝MG（在角的均分线上的点到角的两边距离相等）
∵MC＝MB，∴ MG＝ MB
而 MG⊥ AD， MB⊥ AB
∴M在∠ ADC的均分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的均分线上）
∴DM均分∠ ADC
说明：本题的证明过程中先使用角均分线的定理是为判断定理的运用创建了条件
不用证明三角形全等，不然就是重复判断定理的证明过程。

MG＝ MB。

同时要注意4.剖析：欲证AMN的周长等于2，需证明它等于等边ABC的两边的长，只要证MN BM CN 。

采纳旋转结构全等的方法来解决。

证明：以点 D 为旋转中心，将DBM顺时针旋转120°，点 B 落在点C的地点，点 M落
在
M'点的地点。

得：∠ MBD＝∠ NCD＝ 90°
Rt MBD Rt M 'CD
∠DCM ' ∠DBM 90
∴∠ NCD与∠ DCM'组成平角，且BM＝ CM'，DM＝ DM'，∠ NDM'＝∠ NDC＋∠ CDM'＝∠ NDC＋∠ BDM＝ 120°－60°＝ 60°
在 MDN 和 M'DN 中，
DM DM ' ，∠ MDN∠M'DN60 ，DN DN
MDN MN
M ' N MN
M ' DN (SAS)
M ' N
M'C CN BM
BM CN
CN
AMN的周长AM AN MN AM AN BM CN AB AC2说明：经过旋转，使已知图形中的角、线段充足获得利用，促使了问题的解决。

5. 剖析：要求AC的长，需在直角三角
形ACE中
知
AE、CE的长，
而
AE、 CE均不是已知长度的线段，这时需
要经过证全等三角形，利用其性质，创建条件证出线段相等，从而求出
解：∵ AC均分∠ FAE， CF⊥AF， CE⊥AE
∴ CF＝CE
AE、CE的长，使问题得以解决。

CF CE
∠F AC ACF
∠CEA90 AC
ACE (HL)
AF AE
CF CE
CD BC
∠F∠CEB90
CDF CBE(HL)
∴BE＝DF
设 BE DF x ，则 AE AB BE21x，AF AD DF9 x
AE AF，21 x x9，x6
在 Rt BCE 中，CE BC 2BE 210 2628
在 Rt ACE 中， AC AE 2CE 221 6 28217
答： AC的长为 17。

6. 剖析：初看本题，看到 DE＝ DF＋FE 后，就想把 DF和 FE 的长逐一求出后再相加得DE，但因为 DF 与 FE 的长都没法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD＋ CE＝9”，就应想想， DF＋FE 能否与 BD＋ CE有关？能否能够整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF＋ FE 也就是 DE的长了。

解：∵ BF 是∠ B 的均分线
∴∠ DBF＝∠ CBF
又 DE∥ BC
∴∠ DFB＝∠ CBF
∴∠ BDF＝∠ DFB
∴DF＝BD
同理， FE＝ CE
∴DF＋FE＝ BD＋CE＝ 9
即 DE＝9
应选 A
7.剖析：要证∠ ABD＝∠ CBD，可经过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需想法进行
结构。

注意到已知条件的特色，采纳补形结构全等的方法来解决。

简证：延伸 AE交 BC的延伸线于 F
易证ACF BCD （ASA或AAS）
AF BD AE
1 BD
2
AE 1 AF
EF 2
于是又不难证得BAE BFE ( SAS)
∠ABD ∠CBD
∴BD均分∠ BAC
说明：经过补形结构全等，交流了已知和未知，翻开认识决问题的通道。

8.剖析：本题是一个实质问题，应先将实质问题转变成数学识题，转变后的数学识题是：如图 7，D 为正ABC 内一点， P 为正ABC 外一点，PB＝AB，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，求∠BPD＝？在解此数学识题时，要用到
全等三角形的知识。

解：连 CD
BP AB BC
∠DBP ∠ DBC
BD BD
PBD CBD ( SAS)
∠BPD ∠ BCD
AC BC
又ADBD CD
CD
ACD BCD (SSS)
∠ACD ∠ BCD 30
∠BPD 30 ，即∠BPD 30 时，才能达到要求。

实战模拟答案
1.5cm
2.45 °
3. 剖析：如下图，∠BAC是ACD 的外角，因此BAC1
因为∠ 1＝∠ 2，因此∠ BAC＞∠ 2
又因为∠ 2 是BCD 的外角，因此∠2＞∠ B，问题得证。

答：∠ BAC＞∠ B
∵∠ CD均分∠ ACE，∴∠ 1＝∠ 2
∵∠ BAC＞∠ 1，∴∠ BAC＞∠ 2
∵∠ 2＞∠ B，∴∠ BAC＞∠ B
4. 证明一：过点 C作 CF⊥ AC交 AD的延伸线于F
A
1
E M
2
B
3C
D4
F
∠1 ∠BAE ∠2 ∠BAE 90
∠1 ∠2
又∠ BAC＝∠ ACF＝ 90°
AC ＝AB
ABM CAF
AM CF，∠ F∠AMB
又 AM＝ MC，∴ MC＝ CF
又∠ 3＝∠ 4＝ 45°， CD＝ CD
CDM CDF
∠F ∠CMD
∠AMB ∠CMD
证明二：过点 A 作 AN均分∠ BAC交 BM于 N
A
1 2
M
3
N E
B
C
D
∠ 2 ∠BAE ∠3 ∠BAE 90 ∠ 2 ∠ 3
又 AN 均分∠ BAC
∠ 1∠C45
又 AB ＝ AC
ABN CAD
AN
CD
A
1 2
M
3
N E
B
C
D
2020学年中考数学《三角形》专题练习(有答案)
又 ∠NAM
∠C 45
AM
＝CM
NAM
DCM
∠ AMB ∠ CMD
说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，能够把求证的角或线段用和它相等的量
代换。

若没有相等的量代换，可想法作协助线结构全等三角形。

5.
证明： 由已知得：
a 4
b 4
c 4
a 2
b 2 b 2
c 2 c 2 a 2 2a 4 b 4
c 4
2 2 2 2
2
即 a 4
b 4
c 4
a 2
b 2 b 2
c 2 c 2 a 2
2
2
2
a 4
b 4
2a 2b 2 2c 2 a 2 2b 2c 2
c 4 4a 2b 2
a 2
b 22
2c 2 a 2 b 2
c 4
4a 2b 2 0
a
2
b
2
c
2
2
2ab
2
a 2
b 2
c 2 2ab a 2
b 2
c 2 2ab
a b 2
c 2 a b 2 c 2 0
a b c a b c a b c a b c
a b c 0
a b c a b c a b c 0
a
b c b c a c a b
a 、
b 、
c 是某一三角形三边的长。