八年级初二数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析

八年级初二数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题
1．下列计算正确的为（ ）．
A 5=-
B =
C ．
2
+=+
D 2
=
2．下列计算正确的是（ ）
A
=B
C
D =
3．已知x 1x 2，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 4．下列等式正确的是（ ）
A 7=-
B 3=
C ．5
D ．=5．下列运算中，正确的是( )
A =
B 1=
C =
D 2
=
6．下列各式中正确的是（ ）
A 6
B 2=-
C 4
D ．2(＝7
7．下列各式中,正确的是（ ）
A B ．C
2= D =
- 4
8．设a b 21
b a
-的值为（ ）
A 1+
B 1+
C 1
D 1
9．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2；（3
2；（4；（5
） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．下列计算正确的是（ ）
A =
B =
C 6=-
D 1=
11．已知：a=123-，b=1
23
+，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等
B ．互为相反数
C ．互为倒数
D ．平方相等 12．下列计算正确的是（ ） A ．234265+= B ．842=
C ．2733
÷=
D ．2(3)3-=-
二、填空题
13．化简并计算：
(
)(
)(
)(
)(
)
(
)(
)
1
1
1
1
...1
1
2
2
3
19
20
x
x x x x x x x +
+
++
=+++++++_____
___．（结果中分母不含根式）
14．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简
()
2
22144a a ab b +--+=_____________；
（2）已知正整数p ，q 满足32016p q +=，则整数对()p q ，
的个数是_______________；
（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72
[72]=8
[8]=2
2]=1，类似地，只需进行3次操作
后变为1的所有正整数中，最大的是________． 16．化简二次根式2a 1
a
+-
_____. 17．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝1332＝_____. 18．11122323
-=11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭11114-345415⎛⎫=
⎪⎝⎭据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 19．3x
-x 的取值范围是______． 20．2m 1-1343m --mn ＝________．
三、解答题
21．计算及解方程组： （11
324-2
-1-26
（）
（2
)
2
+
（3）解方程组：25103
2x y x y x y -=⎧⎪
+-⎨=⎪⎩
【答案】（1
）2
）7；（3）102
x y =⎧⎨=⎩． 【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】
（1
1-
1+（
1
1
=1
（2
2
+）
=34-
=7-
=7-
（3）2510
32x y x y x y
-=⎧⎪
⎨+-=⎪⎩
①②
由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：10
2x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
22．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤18
8x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12
，
∴原式532-==1222
. 【点睛】
本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．
23．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：
当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有
22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有m
n 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；
（2）填空：13-( - 2；
（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.
【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】 试题分析：
（1）把等式)
2
a n +=
+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）由（1）中结论可得：22313
24
a m n
b mn ⎧=+=⎨==⎩ ，结合a b m n 、、、都为正整数可
得：m=2，n=1，这样就可得到：21343(123)-=-；
（3）将()
2
655a m n +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合
a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.
试题解析：
（1）∵233a b m n +=+()， ∴223323a b m n mn +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；
（2）由（1）中结论可得：22313
24a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩
，
∵a b m n 、、、都为正整数，
∴12m n =⎧⎨=⎩
或2
1m n =⎧⎨=⎩ ，
∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1， ∴()2
1343=123
--；
（3）∵22265(5)525a m n m n mn +=+=++， ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数， ∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，
∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.
24．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】
试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的；
（2的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮
（2（a ＜0）
（3）原式＝a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
25．-
10 【分析】
先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】
=(2
2
⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
=()212--
10+．
10． 【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．
26．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．
【答案】(2x - 【分析】
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】
解：4y x ⎛- ⎝ ((
=-
(
2x =-
∵ 30x - ∴ 3,4x y ==
当3,4x y ==时
原式(23=-==【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．
27．计算
②
)
2
1-
【答案】① 【分析】
①根据二次根式的加减法则计算； ②利用平方差、完全平方公式进行计算． 【详解】
解：①原式＝
②原式＝(5-2-＝ 【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．
28．计算：
（1；
（2+2）2+2）．
【答案】（1-2）【分析】
（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接利用乘法公式计算得出答案． 【详解】
解：（1）原式＝-
（2）原式＝3434++-＝6+． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．
29．计算：
（1 （2）（
)()
2
2
21-
【答案】2）1443 【分析】
(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】
解：(1)原式＝23223323，
(2)原式(34)(12
431)1124311443，
故答案为：1443． 【点睛】
本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．
30．已知长方形的长a =
b =. (1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】
试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：
(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝
∴长方形的周长为 .
(2)11
4.23
=⨯⨯=
正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.⨯=
8.>
∴长方形的周长大于正方形的周长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可． 【详解】
A 5=，故A 选项错误；
B B 选项错误；
C ．
++=
2
2
2
，故C 选项错误；
D =
，正确， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
2．D
解析：D 【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】
解：A
B 2=，故此选项不合题意；
C ，故此选项不合题意；
D =
故选：D ． 【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．C
解析：C 【详解】
12x x +==12321x x =
=-=，
所以()2
221
2
12122x x x x x x +=+-=(2
2112210-⨯=-=，
故选：C ． 【点睛】
对于形如22
12x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有
这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211
+x x ，1221
x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．
4．B
解析：B 【分析】
根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可． 【详解】
解：A
B
3=，故本选项符合题意； C
、5=-，故本选项不符合题意； D
、=-，故本选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果． 【详解】
不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
=
D
2
=，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键．
6．D
解析：D 【分析】
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】
解：A，故A错误；
B
1
2
=，故B错误；
C=C错误；
D、2
(=7，故D正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可．
【详解】
A4
=，此项错误
B、4
=±，此项错误
C==，此项正确
D==
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a ，
∴b ，
∴21
b a -， 故选：B ．
【点睛】
该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
9．B
解析：B
【解析】
根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1a =正确，故（2）正
=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知
8=，故（4
=，故（5）正确.
故选B.
10．B
解析：B
【分析】
根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可．
【详解】
与A 选项错误；
===B 选项正确；
321=-=，所以C 选项错误；
与D 选项错误;
故选答案为B ．
【点睛】
本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．
11．C
解析：C
【解析】 因为1
a b ⨯==,故选C. 12．C
解析：C
【分析】
根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定．
【详解】
A 、A 错误；
B =B 错误；
C 3=，故选项C 正确；
D 3=，故选项D 错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】
根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．
【详解】
解：原式=
=．
故答案为．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观
解析：220400x x x
- 【分析】
-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】
解：原式=
==
故答案为
220400x x x
-． 【点睛】 此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．
14．（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1<a<0,b>1,
∴
＝|a+1|-|a-2b|
=1+a-2b+a
=2a-2b+1.
(2)∵，
∴，p=20
解析：（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1<a<0,b>1,
＝|a+1|-|a-2b|
=1+a-2b+a
=2a-2b+1.
(2)=
=
∴p=14x 3(其中x 为正整数)，
同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,
则x+3y=12(x 、y 为正整数)
∴963,,123
x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。

∴满足条件的整数对有3对.
(3)①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形AFOE 中，∠AFC=∠AEB=90°，∠A=50°，
根据四边形内角和等于360°得，
∠EOF=180°-∠A=180°-50°=130°，
故∠BOC=130°；
②当交点在三角形外部时（如图2），
在△AFC 中，∠A=50°，∠AFC=90°，
故∠1=180°-90°-50°=40°，
∵∠1=∠2，
∴在△CEO 中，∠2=40°，∠CEO=90°，
∴∠EOF=180°-90°-40°=70°，
即∠BOC=50°，
综上所述：∠BOC 的度数是130°或50°．
故答案是：(1). 2a －2b ＋1 (2). 3 (3). 130°或50°．
15．255
【解析】
解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255
【解析】
解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．
16．【解析】
根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知a==.
故答案为.
解析：【解析】
根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知
=
故答案为
17．5
【解析】
◇==5.
故本题应填5.
点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则
解析：5
【解析】
32==5. 故本题应填5.
点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即
将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.
18．【解析】
上述各式反映的规律是
(n ⩾1的整数),
得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).
故答案是： (n ⩾1的整数).
点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;
=【解析】
上述各式反映的规律是
=n ⩾1的整数),
得到第5==n ⩾1的整数).
=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.
19．且
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】
由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分
解析：3x ≤且2x ≠-
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】
由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩
， 解得3x ≤且2x ≠-，
故答案为：3x ≤且2x ≠-．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键． 20．21
【分析】
根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案. 【详解】
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴ ，
解得，，
∴
故答案为21.
解析：21
【分析】
根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.
【详解】
∴
12
21343
n
m m
-=
⎧
⎨
-=-
⎩
，
解得，
7
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴7321. mn=⨯=
故答案为21.三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无30．无。