北京市昌平区高三数学上学期期末质量抽测理试题(含解

昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷（理科）
（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1
考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分. 2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填
写.
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹
的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分.
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要
折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记.
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、
选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．)
（1）若集合{}2,1,0,1,2Α=--，{}
2|1Βx x =>，则=ΑΒI
A ．{|11}x x x <->或
B ．{}2,2-
C ．{}2
D ．{0}
【考点】集合的运算 【试题解析】
所以
【答案】B
(2) 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是
A ．y x =
B. 1y x =
C. 1()2x
y = D. 12
log y x = 【考点】函数的单调性与最值
【试题解析】结合函数的图像与单调性易知：只有在区间
上为增函数。

【答案】A
(3) 已知两点(0,0),(2,0)O A -，以线段OA 为直径的圆的方程是 A ．2
2
(1)4x y -+= B ．2
2
(1)4x y ++=
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图1
1
22
3
C ．22(1)1x y -+=
D ．22
(1)1x y ++= 【考点】圆的标准方程与一般方程 【试题解析】 以线段
为直径的圆的圆心为OA 的中点（-1，0），半径为
故所求圆的方程为：。

【答案】D
(4) 在ABC ∆中，3,2,3
a
c B π
===
，则b = A ．19 B ．7 C ． 19 D ．7
【考点】余弦定理 【试题解析】 由余弦定理得：
所以。

【答案】D
⑸ 某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥四个面的面积中最大的是 A. 5 B. 3 C.
35
2
D.35
【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】 该几何体的底面面积为
侧面面积分别为：
其中最大的为：。

【答案】C
（6）已知函数f (x ) 的部分对应值如表所示. 数列{}n a 满足11,a =且对任意*
n ∈N ，点
1(,)n n a a +都在函数()f x 的图象上，则2016a 的值为
x
1 2 3
4 ()f x
3
1
2
4
A . 1 B.2 C. 3 D. 4 【考点】函数综合 【试题解析】 由题知：
所以数列以3为周期循环，故
【答案】B
⑺ 若,x y 满足0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≥⎩
且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为
A ．32-
B ． 32
C ．23-
D ．23
【考点】线性规划
【试题解析】 作可行域：
逻辑思维成绩排名
200200
阅读表达成绩排名
O 丙
A(-3，0)，B()，C(0，3)，因为
显然目标函数在B 点取得最大值，
【答案】A
（8）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：
逻辑思维成绩排名总成绩排名
200200O 甲
乙
下列叙述一定正确的是
A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
【考点】函数图象
【试题解析】由图知：甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后，说明阅读表达成绩排名靠后，故A 错；
乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，故B 错；显然甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故C 正确。

【答案】C
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）在261(2)x x
的展开式中，常数项是 （用数字作答）. 【考点】二项式定理与性质 【试题解析】
的通项公式为：，令
【答案】60
（10）双曲线
22
:1
916
x y
C-=的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲
线C的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为____________.
【考点】抛物线双曲线
【试题解析】
因为双曲线的交点在x轴，且所以a=3，b=4，c=5．所以双曲线的渐近线为：
又双曲线的右焦点为（5，0），即抛物线的焦点为（5，0），所以
所以抛物线方程为：
答案
（11）执行如图所示的程序框图，输出的S值为_______.
【考点】算法和程序框图
【试题解析】
s=5，n=4，是;n=3，s=是;n=2，s=
是;n=1，s=否，故输出的S值为。

【答案】
（12）将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至
少一张. 要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数
为________________.（用数字作答）
【考点】排列组合综合应用
【试题解析】四张电影票连号的两张可能是12，23，34三种情况，所以把电影票按要求分给三个人的分法种数为：
【答案】18
P
D
C
B
A
（13）如图，在矩形ABCD 中，3DP PC =u u u r u u u r
，若,PB mAB nAD =+u u u r u u u r u u u r 则m =______;
n =_________.
【考点】平面向量的几何运算平面向量基本定理
【试题解析】 因为由题知，所以
所以
故
【答案】
（14）已知函数2
()|3|,.f x x x x =-∈R 若方程()|1|0f x a x -+=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是_____________________． 【考点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】 若方程
恰有4个互异的实数根，即
令
所以
作函数f(x)的图像，g(x)恒过定点（-1，0）。

当时，显然不符合题意； 当时，若
若二者相交，则有4个交点，
此时令有两个实根，
所以
或
结合图像知：0<a<1符合题意；
当a>1时， 若x<-1或x>3，则有两个交点，
则x<-1时，再有两个交点即满足题意，
所以有两个实根，
所以
或所以a>9．
1频数（天）
步数(千步)
2
3
19
18
17
16
综上可知：实数a 的取值范围是：。

【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）
已知函数2()3π)cos cos f x x x x --=
．
（I ） 求函数()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 的单调递减区间． 【考点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】 （I ）2()3cos cos f x x x x
-=
311
2cos 222
x x --=
π1sin(2)62
x --=
所以 最小正周期2π2ππ.2
T ω=== (II) 由
ππ3π
2π22π,,262
k x k k ≤≤∈Z +-+ 得
π5πππ,.36k x k k ≤≤∈Z ++
所以函数()f x 的单调递减区间是π
5π
[π,π],.3
6k k k ∈Z ++
【答案】见解析
(16)（本小题满分13分）
小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.
P M
D C
B
A
图1 表1
（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；
（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ，求X 的分布列. 【考点】随机变量的分布列样本的数据特征 【试题解析】
(I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为
163172181192
17.258
⨯+⨯+⨯+⨯=（千步）.
（II ）X 的各种取值可能为800，840，880，920.
23261(800)5C P X C ===,11
32262
(840),5
C C P X C ===
1123122
64(880),15
C C C P X C +=== 1121262
(920),15C C P X C === X 的分布列为：
（17）（本小题满分14分）
在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形,
1
2
AB AD CD ==,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．
（I ）求证://MB 平面PAD ；
（II ）求二面角P BC D --的余弦值； （III ）在线段PB 上是否存在点N ，使得
DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出
PN
PB
的值；若不存在,请说明理由.
【考点】平面法向量的求法空间的角垂直平行 【试题解析】
（Ⅰ）证明:取PD 中点H ,连结
,MH AH .
因为 M 为PC 中点 , 所以 1
//,2
HM CD HM CD =
. 因为1
//,2
AB CD AB CD =
. 所以//AB HM 且AB HM =. 所以四边形ABMH 为平行四边形,
所以 //BM AH .
因为 BM PAD ⊄平面,
AH ⊂平面PAD ,
所以//BM 平面PAD . （Ⅱ） 取AD 中点O ,连结.PO
因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥.
因为 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD I 平面ABCD AD =,
PO ⊂平面PAD ,
所以PO ABCD ⊥平面.
取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =
则
(1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P --
(2,2,0),(1,2,BC PB =-=uu u r uu r
. 平面BCD
的法向量OP =uu u r
,
设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =u r
,
由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u r uu r u r
得220,20.x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩
令1x =
，则n =u r
.
cos ,||||
OP n OP n OP n ⋅<>==uu u r r
uu u r u r uu u r u r .
由图可知，二面角P BC D --是锐二面角，
所以二面角P BC D --
（Ⅲ） 不存在. 设点(,,)N x y z ,且
,[0,1]PN
PB
λλ=∈ , 则,PN PB λ=u u u r u u u r
所以(,,(1,2,x y z λ=.
则,2,.
x y z λλ⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩
所以(,2)N λλ
, (1,2)DN λλ=+uuu r
.
若 DN PBC ⊥平面,则//DN n uuu r u r
,
即12λλ+==
，此方程无解, 所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. 【答案】见解析 （18）（本小题满分13分）
已知函数()()2ln 1f x x =+.
（Ⅰ）若函数()f x 在点()()00P x f x ，处的切线方程为2y x =，求切点P 的坐标；
（Ⅱ）求证：当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-；（其中e 2.71828=⋅⋅⋅） （Ⅲ）确定非负实数．．．．a 的取值范围，使得()(
)2
20,x f x x a x ∀≥≥-成立.
【考点】导数的综合运用 【试题解析】
（Ⅰ）解：定义域为(1,)-+∞，()2
'1
f x x =
+. 由题意，()0'2f x =，所以()00,00x f ==，即切点P 的坐标为(0,0) （Ⅱ）证明：当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-，可转化为 当[0,e 1]x ∈-时，()220f x x x -+≥恒成立.
设()2()2g x f x x x =-+，
所以原问题转化为当[0,e 1]x ∈-时，()min 0g x ≥恒成立. 所以2
242'()2211
x g x x x x -=-+=
++.
令'()0g x =，则1x =（舍），2x = 所以()g x ，'()g x 变化如下：
因为()(0)000g f =-=，2(e 1)2(e 1)2(e 1)2(e 1)(3e)0g -=--+-=+-->， 所以min ()0g x =.
当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-成立. （Ⅲ）解：()(
)2
0,2x f x a x x ∀≥≥-，可转化为
当0x ≥时，()(
)2
20f x a x x
--≥恒成立.
设()()2()2h x f x a x x =--， 所以222(1)
'()2211
ax a h x a ax x x +-=-+=
++. ⑴当0a =时，对于任意的0x ≥，2
'()01
h x x =
>+， 所以()h x 在[0,)+∞上为增函数，所以()min ()00h x h ==， 所以命题成立.
当0a >时，令'()0h x =，则210ax a +-=，
⑵当10a -≥，即01a <≤时，对于任意的0x ≥，'()0h x >， 所以()h x 在[0,)+∞上为增函数，所以()min ()00h x h ==， 所以命题成立.
⑶当10a -<，即1a >时，
则1x =（舍），20x =
=.
所以()h x ，'()h x 变化如下：
因为()min 2()()00h x h x h =<=， 所以，当0x ≥时，命题不成立.
综上，非负实数a 的取值范围为
[0,1]. 【答案】见解析 （19）（本小题满分13分）
已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>,点1)2
在椭圆C 上．直线l 过
点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由．
（I ）由题意得22222311,4.c e a a
b a b
c ⎧==⎪
⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩
解得22
4,1a b ==.
所以椭圆C 的方程为2
2 1.4
x y +=
（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 【考点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】 法一：
（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；
（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠.
11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
将y kx m =+代入2
2 1.4
x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，
222122
8(8)4(41)(44)0,.41
km
km k m x x k -=-+->+=
+V 故122
4241
M x x km
x k +=
=-+， 2
41M M m y kx m k =+=
+．于是直线OM 的斜率1
4M OM M
y k x k ==-，即14OM k k ⋅=-． 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-，因此2
4(1)
41
M k k x k -=
+． OM 的方程为1
4y x k
=-
．设点P 的横坐标为P x ． 由221,41,
4
y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22
21641P k x k =+
，即P x =． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =
．于是
24(1)
241
k k k -=⨯
+．由0
k ≠，得35,.88k m ==满足0.>V 所以直线l 的方程为35
88
y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为35
88
y x =+或1x = .
法二：
（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；
（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠，11(,)A x y ，
22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
将y kx m =+代入2
2 1.4
x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，
2221228(8)4(41)(44)0,.41
km
km k m x x k -=-+->+=
+V
故1224241
M x x km
x k +=
=-+，
241
M M m
y kx m k =+=
+.
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2,
2.
P M P M x x y y =⎧⎨
=⎩．
则
2
2
22()()8211
4441km m k k -
++=+. 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-.
则22
22
(164)(1))
1(41k k k +-+=， 则2
(41)(83)0k k +-= .
则35
,.88
k m =
= 满足0.>V 所以直线l 的方程为35
88
y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形．
综上所述：直线l 的方程为35
88
y x =+或1x = .
【答案】见解析
（20）（本小题满分14分）
对于任意的*n ∈N ，记集合{1,2,3,,}n E n =⋅⋅⋅
，,n n n P x x a E b E ⎧⎫==
∈∈⎨⎬⎩⎭
.若集合A 满足下列条件：
①n A P ⊆；②12,x x A ∀∈，且12x x ≠，不存在*k ∈N ，使2
12x x k +=，则称A 具有
性质Ω.
如当2n =时，2{1,2}E =
，2{1,P =.122,x x P ∀∈，且12x x ≠，不存在*k ∈N ，使212x x k +=，所以2P 具有性质Ω.
(Ⅰ) 写出集合35,P P 中的元素个数，并判断3P 是否具有性质Ω. （Ⅱ）证明：不存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅I ，使15E A B =U ． （Ⅲ）若存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅I ，使n P A B =U ，求n 的最大值. 【考点】数列综合应用
【试题解析】
(Ⅰ) 解：集合35,P P 中的元素个数分别为9，23，3P 不具有性质Ω.
（Ⅱ）证明：假设存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅I ，使15E A B =U ．其中
15{1,2,3,,15}E =⋅⋅⋅.
因为151E ∈，所以1A B ∈U ，不妨设1A ∈．因为2
132+=，所以3A ∉，3B ∈．同理6A ∈，10B ∈，15A ∈．因为2
1154+=，这与A 具有性质Ω矛盾．
所以假设不成立，即不存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅I ，使15E A B =U .…..10分
（Ⅲ）因为当15n ≥时，15n E P ⊆，由（Ⅱ）知，不存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅I ，使n P A B =U ．
若14,n =当1b =时，
1414x x a E E ⎧⎫=
∈=⎨⎬⎩⎭
，取{}11,2,4,6,9,11,13A =，{}13,5,7,8,10,12,14B =，则11,A B 具有性质Ω，且11A B =∅I ，使1411E A B =U ．
当4b =时，集合
14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭
中除整数外，其余的数组成集合为13513{,,,,}2222⋅⋅⋅，令21
5911{,,,}2
222A =，23713{,,}222B =，则22,A B 具有性质Ω，且22A B =∅I ，使2213
513{,,
,,}22
22
A B ⋅⋅⋅=U ． 当9b =时，集
14x x a E ⎧⎫=
∈⎨⎬⎩⎭
中除整数外，其余的数组成集合12457810111314{,,,,,,,,,}3333333333，令31451013
{,,,,}33333
A =，32781114{,,,,}33333
B =．则33,A B 具有性质Ω，且33A B =∅I ，使
3312457810111314{,,,,,,,,,}3333333333
A B =U ．
集合
1414,,1,4,9C x x a E b E b ⎧⎫==
∈∈≠⎨⎬⎩⎭
中的数均为无理数，它与14P 中的任何其他数之和都不是整数，因此，令123A A A A C =U U U ，123B B B B =U U ，则
A B =∅I ，且14P A B =U ．
综上，所求n 的最大值为14. 【答案】见解析。