高一数学单调性与最大(小)值教法设计及习题

教材分析：
单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。

学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。

本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。

也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。

因此，本次课的教学尤为关键。

本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。

学情分析：
认知分析：在初中学习函数时，已经重点研究了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性。

只是当时的研究较为粗略，即未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出；在前面学习函数时，对函数的定义域、值域以及函数的表示法又有了新的认识。

这些形成了学生思维的"最近发展区"。

能力分析：学生已经具备了一定的观察、研究能力，但在数学逻辑推理与应用能力方面尚需进一步培养.
情感分析：本人所教学生乃职业中学的学生，基础与普通中学相比有一定的差距，但学生比较活泼，有积极向上的一面。

学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强教法与学法指导
新课标的教学理念认为学生是天生的学习者，学生已经具备了一定的生活经验，具备一定数学知识和数学经验。

在教学中力求通过教师的引导，学生根据已有的生活经验进行自主探究，发现数学规律，掌握数学知识，并且能进一步把知识运用到实践中；而教师是学生学习中的引导者、组织者和合作者，教师应该给予学生足够的空间感受数学本身的魅力，感受数学的使用功能。

高一学生具备了较强的求知欲，但抽象思维能力还不是很好，并且在对概念的理解上出现不到位等现象。

因此，在教法与学法上将注意一下两个方面：
1、教学中教师以探究式教学为主题，配合讲授法来规范学生的表达；
2、教学中以学生为主题，通过学生的探究学习、学生互评等，同时教师给予适当评价，从而完成本次课的教学。

目标分析
知识目标：使学生能用文字语言和符号语言正确表示增函数、减函数、单调性、单调区间的概念；能根据图象确定函数的单调区间；掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法和步骤；能证明某些简单函数的单调性。

能力目标：培养学生用符号思想、模型思想、数形结合思想去分析和处理问题的能力。

情感目标：使学生认识事物的变化形态，形成细心观察、认真分析的良好思维习惯，同时，培养学生合作交流意识、对数学美的艺术体验；渗透数学思想和文化，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验。

教学重点及难点
教学重点：函数单调性的概念以及判断简单函数单调性的方法；
教学难点：判断简单函数单调性的方法；
重难点突破：学生在学习函数单调性概念的过程中，教师通过引入具体事例加以分析，首先让学生直观感受函数的单调性，进而通过引导探究认识函数的单调性；在判断简单函数的单调性的过程中，教师引导学生通过直接看图像以及做差这两种方法来判断函数的单调性。

授课类型：新授课+ 课时安排：1课时.
教 具：多媒体、实物投影仪• 教学过程：
教学流程：
例题通过作差法来判断一个函数的单调性问题（8分钟） 课堂练习（10分钟）
课堂小结与作业布置（2分钟）
教学具体过程设计：
创设情境，引入新知
--创设情境，直观感知，揭示课题（5分钟）
教师引入：上节课我们学习了函数的概念及表示方法， 我们通过集合的语言来认识函数。

我们都知道函数是藐视事物变化规律的数学模型。

如果了解了函数的变化规律就能基本把握 了事物的变化规律。

那么函数有哪些变化规律呢，通过这一节的学习，我们就能找到答案。

情境创设：
提问1:请你举出现实生活中体现函数概念的例子。

设计意图：通过学生举例现实生活中函数的例子，加深学生对函数概念的理解。

同时让 学生直观感受函数的不同性质。

学生的不同回答能调动课堂气氛，开发学生的思维；
追问：请你说出你所举出的例子自变量与应变量存在这怎样的关系？
设计意图：让学生感受函数的对应关系，同时教师引导学生所举的例子中存在着某种 “上 升”或者“下降”的关系。

提问3:观察以下三幅图片，请你说出他们分别反映了函数怎样的变化规律? 设计意图：从现实例子中逐步给出具体的数学模型，从而揭示本节课的课题。

调性与最大 教师给予适
当评价并
小结：在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质。

通过刚刚我们所举的函数 的例子，大家发现了函数存在着某种“上升”或者“下降”的关系。

我们今天就来研究这种 性质。

（板书并揭示课
(131 单 创从实情境活中抽题（出分数单调性概念（8分钟
曾HtW 给出文字表的单符号表题 5分钟）
题）
函数单调性教学
--从实际生活中抽象出函数模型，给出函数单调性概念( 8分钟)
教师引入：函数中一次函数和二次函数是两个最简单的函数，那么我们就从这两个函数图像出发来研究函数的单调性。

提问1:观察以下一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图像，请说出他们有什么特点?
设计意图：从最简单的一次函数与二次函数的图像出发，通过直观感受发现函数的单调性。

教师根据学生回答给予适当评价并小结：
函数f(x)=x的图像从做到右是上升的，函数f(x)=x2的图像在y轴上是下降的。

我们把这种在图像上能反映函数“上升”、“下降”的关系就叫做函数的单调性
提问2:如何来描述函数图像这种“上升”、“下降”的关系呢？
设计意图：教师引导学生用上节学习内容函数表示法中的列表法首先列出函数中x与y
的对应值表。

引导学生以函数f(x)=x2为例，对比函数的图像和以下这组数据：
…—4
—2-I 0
1
2 3$ —
…16 9, 4i Q1 4 9IS
教师根据学生回答给予适当评价并小结:
函数在y轴左侧“下降”，即在区间(4，0］上，随着x的增大，相应的f(x)反而随着减小；图像在y轴右侧“上升”，即在区间(0，+7上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。

增函数与减函数
--增函数与减函数教学，给出文字表示、符号表示(7分钟)
提问1：如何利用函数解析式f(x)=x2来描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小。

” “随着x 的增大，相应的f(x)随着增大。

”？
追问：你能否用数学语言来描述这种特征吗？(师提醒学生从以下几个方面来描述：定义域、值域以及对应关系三个函数的要素。

)
设计意图：让学生感受到这种表述不够严谨，从而能提醒学生能用数学语言来描述它。

教师根据学生回答给予适当评价并小结，同时教师给予正确描述，为接下来得出增函数减函数的一般概念做铺垫。

在此教师只给出在区间( 0，+x),区间(-%，0］上让学生来描述，
加深学生的印象。

教师给出增函数的一般定义：(板书)
一般地：设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)< f(x2)，那么就说函数f(x)在D上是增函数。

(配合图形)
提问2:你能仿照这样的描述来说明函数f(x)=x2在区间(-& 0］上是减函数吗？
教师根据学生回答给予适当评价并小结，同时教师给予正确描述。

进一步给出减函数的般定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2)，那么就说函数f(x)在D上是减函数。

(配合图形)
提问3:你觉得这两个定义在描述上我们应该注意哪些问题呢？
设计意图：在教学上反映从一般到特殊的设计意图。

并且提醒学生在描述上注意“任意” 两个字，体现函数取值的任意性。

教师：如果函数y=f (x)在区间D上是增函数或者减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间内具有(严格的)单调性，区间D就叫做y=f(x)的单调区间。

例题选讲
--例题1:直观感知函数的单调性问题(5分钟)
例题2:通过“作差法”来判断一个函数的单调性问题(8分钟)
例1:如图是定义在区间［-5，5］上的函数y=f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
设计意图：学会判断函数的单调性。

提醒学生在表示区间上应注意的问题。

同时强调：函数的单调性离开了定义域就没有任何意义。

这也正是为什么函数的三要素一个也不能缺少的原因。

例2:用数学语言简要说明函数y=1/x在区间(0，+&)上是单调减函数
设计意图：首先通过学生的直观判断来确定函数y=1/x在区间（0, + %）上是单调递减的，再次，让学生通过概念来完成说明。

培养学生严谨的思维习惯。

同时在此引入“作差法”, 强调这种数学方法的实用性。

课堂练习（10分钟）
课堂练习选取书本38页2、3练习，由学生自行完成，并且请学生相互进行评价，请学生上台板演，教师规范做题步骤。

其中练习4根据课堂学生学习情况做适当调整，若学生已掌握所学知识，则进行演练。

课堂小结与作业布置（2分钟）
课堂小结加强学生对函数单调性概念的理解，给予适当评价。

同时掌握能用作差法来判断函数的单调性。

作业为作业本中的作业。

板书设计:
学生练习和附板书
例2:
教学设计说明:
在教材的处理上把例2和最大（小）值的教学放到下次课的教学中，本次课重点处理了单调性的概念和用作差法证明函数的单调性问题。

在下次课中可以对作差法进行进一步补充说明，同时给教给学生几种在作差法证明中的技巧；
在教学引入中通过让学生直观感受来大致确立函数单调性的概念，进而使本次课的教学相对较为轻松；
本次课的重点和难点突破上力求让学生通过直观经验感知，进而教师进行系统讲解；练习环节设置较长时间主要是让学生进一步巩固所学概念。

主学习
高三数学一轮复习强化训练精品一一函数的单调性与最大（小）值
匕基础自测
1. 已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则下列对 f(x)=O 的根说法不正确的是 (填序号). ①有且只有一个 ②有2个 ③至多有一个 ④没有根 答案①②
2. 已知f (x)是R 上的增函数，若令 F (x )=f ( 1-x )-f ( 1+x )，则F (x )是R 上的 函数(用“增”、“减”填空).
答案减
3. 若函数f (x)=x 2+(a 2-4 a+1)x+2在区间(-^, 1］上是减函数，贝U a 的取值范围是
答案 ［1, 3 ］
4. ( 2009 •徐州六县一区联考)若函数f (x)是定义在(0，心)上的增函数，且对一切 x >0，y > 0满足f (xy)=f (x)+f( y)，
则不等式f(x+6)+f(x) v 2f ⑷ 的解集为 . 答案 (0， 2)
5. 已知函数f(x)=x 2-2x+3在闭区间］0, m 上最大值为3，最小值为2,则m 的取值范围为
答案 ［1, 2 ］
---- — 典例剖析 一 -----------
例 1 已知函数 f(x)=a x +-^=2 ( a >1).
x +1
证明：函数f (x)在(-1,+ 3 )上为增函数. 证明 方法一 任取X 1,X 2 q -1,+ 3,
不妨设 X 1 v X 2，则 x 2-x 1 >0, a %2 * > 1 且 a x > 0, •'a x! -a x 1
=a x 1
(a x 2 -x ，
-1) 0,又：x1+1 >0,x 2+1 >0,
.x 2 一2 x 1 _2 _(x 2 _2)(x 1 '1) _(x 1 _2)(x 2 ' 1) x 2 1 x 1 1 (x 1 •
1)(X 2 1) 于是 f (x 2)-f (x 1)=a
-a
+ -
-
>0,
X 2 +1 X 1 +1
故函数f (X)在(-1,+ 3)上为增函数. 方法二
f(x)=a X +1-旦(a > 1),
x +1 x 3 x
3
求导数得 f'(x)=aX|na+ - , ^'a > 1, •当x >-1 时，a <lna >0,
- >0,
(x 卅)2 (x+1)2
f (x)>0在(-1，+3)上恒成立，则f(x)在(-1,+ 3)上为增函数. 方法三 -.a > 1, /y = a x 为增函数，
x —2 __3
又y= - ，在(-1，+3)上也是增函数.
x 北 x 比
X X 一2 •*y=a+ 在(-1，+ 3)上为增函数. x -+1 例2判断函数f (x)= x 2 -1在定义域上的单调性.
解 函数的定义域为{x|x 二1或x >1}, 则 f (x)= ■. X 2 -1 , 可分解成两个简单函数.
f(x)= J u 面,U(x) =X 2-1的形式.当X 绍时，u(x)为增函数，J 而 为增函数.
•f ( x ) =TJ‘X 2—在］1，+3上为增函数.当X 二1时，U ( X)为减函数，J u(x)为减函数，
J 2
-■f (x)= x -1 在(-3-1 ］上为减函数. 例3 (1)
y=4- -.3 2x -x 2 ;(2) y=2x-、1-2x;
(3)y=x+4 ;(4) y= .x 2 1 j.(2 —x)2
4 .
X
解(1 )由 3+2x-x 2初得函数定义域为］-1，3］，又 t =3+2x-x 2=4-(x-1)2.
f €［0，4］，讥 €［0，2］，从而，当 x=1 时，y min =2，当 x=-1 或 x=3 时，y max =4.故值域为］2，4］
3 x 2 _X 1
)
(X 1 1)(X
> 0,
1 t
2 1 5
(2) 方法一令.1_2x=t(t 丸),则x= 1 ./y=1-t2-t =- (t +2) 2+r .
2 2 4
■二次函数对称轴为t =-1 , •在[0, + a)上y=-(t +1) 2+ 5是减函数，
2 2 4
1 5
故y max=-(0+ ) 2+ =1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为(-a，1 ].
方法二■•y=2x与y=- J二2x均为定义域上的增函数，y=2x- . 1二2x是定义域为｛x|x<1｝上的增函数,
11 1
故y max=2 X- 1_2：. -=1,无最小值.故函数的值域为(-a ] •
4
⑶方法一函数y=x+4是定义域为｛x|x#0｝上的奇函数，故其图象关于原点对称，故只讨论x >0时,即可知x v 0时的最值.
x
•••当x> 0时,y=x+ -玲x 4 =4，等号当且仅当x=2时取得.
x x
当x v 0时，y W4,等号当且仅当x=-2时取得. 综上
函数的值域为( 方法二,-4 ] U[4，+a),无最值.
任取X1,X2,且X1 v X2,
因为f(X1)-f (X2)=X1+±-(X2+^)= (x1—x2)(x1x2一4)
x1x2
x1x2
所以当x<2或x 52时，f (x)递增，当-2 v x v 0或0v x v2时，f (x)递减.
故x=-2 时，f (x)最大值=f (-2)=-4, x=2 时，f (x)最小值=f (2)=4,
所以所求函数的值域为(-a, -4 ]U[4，+ a),无最大(小)值.
(4 )将函数式变形为
y= -..(X -0)2 (0-1)2 ...(x—2)2 (0 2)2,
可视为动点M( x,0)与定点A (0，1 )、B (2，-2 )距离之和，连结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点
y min=|AB= .(0-2)2 (1 2)2 =._13，可求得X=2时，y min=、13.
3
显然无最大值.故值域为]..13，+ a).
例 4 (14 分)函数 f (x)对任意的a、b€ R,都有 f ( a+b)=f ( a)+f (b)-1,并且当x>0 时，f (x) > 1.
(1)求证：f(x)是R.-
2 )若f(4)=5,解不等式f (3m-n2) v 3.
解(1)设X1, X2 €R,且X1V X2,
则X2-X1>0, •(X2-xJ> 1. 2 分
f(X2) -f(X1)=f ((X2-X1) +X1)- f (X1)
=f (X2-X1) +f (X1)-1-f(X1)=f (X2-X1)-1 > 0.
• f ( X2)> f (X1).
即f(x)是R上的增函数.
(2) •/f (4) =f ( 2+2) =f (2) +f ( 2) -1=5，
•- f ( 2) =3，
2
•原不等式可化为f(3nrm2) v f(2),
•/f (x)是R上的增函数，• 3n i-m-2 v2,
解得-1 v m< -,故解集为(-1,-).
3 3
5分
7分
10分
12分
14分知能迁移
1. 讨论函数f (x) =x+ a(a > 0)的单调性.
x
解方法一显然f ( X )为奇函数，所以先讨论函数 f ( X )在(0 , + 上的单调性，设X!> X2> 0,则
a a a
f(X l)-f(X2)= ( X l+ ) - ( X2+ ) =(X1-X2)•( 1- ).
X i X2 X1X2
— a
•••当0 v X2 < X I w. a 时，> 1,
X1X2
则f (x i) -f (X2) < 0，即 f (x i)< f(X2),故 f (X)在(0，: a ［上是减函数.
” a
当X i >X2》..a 时，0< < 1，贝U f (x i) -f (X2)> 0,即f(x i) >f (X2),
X1X2
故f (X)在［a，+ g)上是增函数.'-f ( X )是奇函数，
• (X)分别在(-g,- J a ］、［庙，+ 上为增函数；
f (X)分别在］-昶，0)、(o，】上为减函数.
方法二由 f ' (X) =1- =0 可得X=土.. a
X2
当x> j a时或X<-Ja时，f '(x)>0，行(X)分别在(4a，+g) (-g，-J a ［上是增函数.
同理0< X < , a 或-•、a < X< 0 时，f ' ()< 0
即f (X)分别在(0，J a ］、［-庙，0)上是减函数.
2. 求函数y= log 1 ( 4X-X )的单调区间.
2
解由4X-X2> 0，得函数的定义域是(0，4).令t=4x-x2，贝U y= log 1 t.
2
••t =4X-X2=- (X-2) 2+4，「.t=4x-x2的单调减区间是］2，4)，增区间是(0，2］.
又y= log 1 t在(0，+ g)上是减函数，
2
•函数y= log 1( 4X-X2)的单调减区间是(0，2］，单调增区间是］2，4).
2
3. 在经济学中，函数f (X)的边际函数Mf(x)定义为Mf (X) =f (X+1) -f ( X).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产X (X >0)台的收入函数
为R (X) =3 000X-20 X2 (单位：元)，其成本函数为C (X)=500X+4 000 (单位：元)，利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P (X)及边际利润函数MP(x；；
(2)利润函数P (X)与边际利润函数MP(X -
解 (1) P ( X) =R (X) -C (X) = ( 3 000 x-20 X2) - (500 X+4 000 )
=-20 X2+2 500 X-4 000 (x€［1，100 ］且X 讯).
MP( X) =P (X+1 ) -P (X) =-20 (X+1 ) 2+2 500 (X+1 ) -4 000- (-20X2+2 500 X-4 000 )
=2 480-40 X (X € 3，100 ］且X 讯).
125
(2) P (X) =-20( X- ) 2+74 125，当X=62或63 时，P(x)max=74 120 (元).
2
因为MP(X) =2 480-40 X 是减函数，所以当X=1时，MPx)max=2 440(元).
因此，利润函数P (X)与边际利润函数MP(X)不具有相同的最大值.
4. 已知定义在区间(0，+g)上的函数f (X)满足f ( -Xi) =f( X i)- f (X2)，且当X> 1时，f(x) < 0.
X2
(1)求f(1)
(2)判断f (x】
(3)若f(3)=-1,解不等式f(| X|) < -2.
解(1 )令X i = X2 >0,
代入得 f (1)=f(x i)-f(x i)=0,故f(1)=0.
(2)任取X1,X2 €(0,+ g，且X1 > X2,则旦> 1, X2
由于当X> 1时，f (X)< 0,
所以 f (X1) < 0,即f(x l)-f(X2)v 0, X2
因此f(X l)< f(X2),
所以函数f(x)在区间(0,+旳上是单调递减函数
(3) 由f( Xl)=f (x i)-f (X2)得x2
f( 9)=f (9)-f (3),而f(3)=-1,所以f (9)=-2. 3
由于函数f(x)在区间(0,+ g)上是单调递减函数,
由f (|x|) <f (9),得凶>9, /x>9或x< -9.因此不等式的解集为{x|x> 9或x< -9}.
---- 活页作业---------------
一、填空题
1. 函数f(x)=ln(4+3 x-x )的单调递减区间是
答案［3, 4)
2
2. ________________ 已知函数f (x)在区间］a, b］上单调，且f (a) • f ( b)< 0，则下列对方程f (x) =0在区间［a, b］上根的分布情况的判
断有误的是_______ (填序号).
①至少有②至多有一实根
③没有实根④必有惟一的实根
答案①③
3. 函数y=lg( x2+2x+m)的值域是R,则m的取值范围是
答案m < 1
4. 函数f (x)( x € R)的图象如下图所示，则函数g( x)=f (log a X) (0 < a< 1)的单调减区间是
答案［-.a ,1 ］
5. 已知f(x)= d3a—1)x44a(XC1)是(-，+ a)上的减函数，那么a的取值范围是
log a X ( X H1)
答案［1，1)
7 3
6. _______________________________________________________________ 若函数f (x)=(md)x2+m>+3 (x € R)是偶函数，则f (x)的单调减区间是__________________________________________________________________ .
答案［0，+ ^)
7. 已知y=f(x)是定义在(-2，2) 上的增函数，若f(n1) < f(1-2 n) ,_则m的取值范围是 _________________ .
答案(-1,-)
2 3
1
8. 已知下列四个命题：①若f (x)为减函数，则-f(x)为增函数；②若f (x)为增函数，则函数g( x)= 在其定义域内为减函数；
f(x)
③若f(x)与g(x)均为(a, b)上的增函数，贝U f (X) • g(x)也是区间(a, b)上的增函数；④若f(x)与g(x)在(a, b)上分别是递增与递
减函数，且g(x)工0,则在(a,b)上是递增函数.其中命题正确的是(填序号)
g(x)
答案
二、解答题
9. 已知f (x)在定义域(0, +^)上为增函数，且满足f (xy)=f (x)+f (y), f (3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8) <2.
解根据题意，由f(3)=1,得f(9)=f (3)+f(3)=2.
又f (x)+f (x-8)= f : x(x-8) ］，故 f : x(x-8) ］<f(9).
x 0,
■•f (x)在定义域(0,+a)上为增函数，./ X —8 0, 解得8< x詡.
［x(x-8)«9,
10. 函数f (X)对任意的实数m n有f(n+n)=f (m)+f(n),且当x >0时有f(x) > 0.
(1) 求证：f(X )在(-3，+ 3 )上为增函数；
(2) 若 f(1)=1,解不等式 f : log 2( X 2- x-2) 2.
(1)证明 设 X 2> X !，则 X 2-X 1 >0.
■•f (X 2)-f (X i )=f (X 2-X l +X l )-f (x 1)=f (X 2-X l )+f (X l )-f (X l )=f (X 2-X 1) > 0,
•'f (X 2)>f (X 1),f (X)在(-3+ 3上为增函数.
(2)解 f (1)=1, .2=1+1= f(1)+f(1)=f (2).
又 f : log 2(X 2-X-2)]< 2,/f : log 2(X 2-X-2) ]< f (2).
x 2 —x -2 ;>0, x 或x >2,
x 2 —x -6 £0. 厂2 <x c 3,
即-2< x <-1或2 < x < 3. f •原不等式的解集为{x|-2 < x < -1或2< x < 3}.
11. 已知 f (x)= (x 工a).
x — a
(1) 若a=-2，试证f (x)在(-3 ,-2 )内单调递增；
(2) 若a > 0且f (x)在(1,+ 3)内单调递减，求 a 的取值范围
•.(X 1+2 ) (X 2+2) >0,X 1-X 2< 0,f (X 1)< f(X 2),f (x)在(-3,-2 )内单调递增.
f(X 1)-f(X 2)=」 X 2 a(X 2 -为)
x 1 —a x 2 -a 佃 一a)(x 2 -a)
'•a > 0,x 2-x 1>0, •要使f (x 1)-f(x 2)> 0,只需(x 1-a)(x 2-a)>0 恒成立，
•'a ^1.综上所述知0 < a w j.
12.
已知函数 y=f(x)对任意 x, y € R 均有 f(x)+f (y)=f(x+y),且当 x > 0 时，f(x) < 0, f(1)=-
. 3
(1) 判断并证明f(x)在R 上的单调性；
(2) 求f(x)在］-3 , 3 ］上的最值.
解(1) f (x)在R 上是单调递减函数
证明如下：
令 x=y=0,f (0)=0,令 x=-y 可得：f (-x)=-f (x)，在 R 上任取 x 1 <x 2,则 x 2-x 1 >0, -■f (X 2)-f (x 1)=f (X 2)+f (-X 1)=f (X 2-X 1).又 f > 0 时，f (x)< 0,
••f(X 2-X 1)< 0,即f(X 2)< f(X 1).由定义可知f(x)在R 上为单调递减函数.
(2)v f(x)在R 上是减函数，
• (x )在[-3，3 ]上也是减函数.
2
• (-3)最大,f(3)最小.f (3)= f (2)+f (1)=f(1)+f(1)+f (1)=3 X(--)=-2. 3
••f (-3)=-f (3)=2.即f(x)在］-3，3］上最大值为 2，最小值为-2. (1)证明 任设 X1< X2< -2,则 f(X1)-f(X2)=严一亍 2(X 1 -X 2)
(X 1 2)(X 2 2)
•'log 2(X 2-X -2) < 2,于是 (2)解任设1 < X 1 < X 2,则。