四川省成都市彭州实验中学高二数学文月考试题含解析

四川省成都市彭州实验中学高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，则a的取值范围是（）
A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．﹣1＜a＜1 D．0＜a＜
参考答案：
B
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】对f（x）进行求导，要求函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，说明f（x）的极小值在（0，1）内，从而讨的论a与0大小，从而进行求解；
【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，
∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），
若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，
f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，
若a＞0，f′（x）=0解得x=±，
当x＞，f（x）为增函数，0＜x＜为减函数，、
f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，
所以极小值点应该在（0，1）内，
∴0＜a＜1，
故选B；
【点评】此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，注意本题（0，1）是开区间，不是闭区间，此题是一道中档题；
2. 已知函数f（x）=ax3﹣6x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣4） D．（4，+∞）
参考答案：
C
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和
极值之间的关系转化为求极小值f（）＞0，解出即可．
【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣12x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣12x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：
（0，）（，+∞）
﹣0
f（x）=0，
不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣12x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：
（﹣∞，）（，0）
0f（x0）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）=a（）3﹣6（）2+1＞0，
化为a2＞32，
∵a＜0，∴a＜﹣4．
综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣4）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
3. 为得到函数的图象，只需将函数的图像
A.向左平移个长度单位
B. 向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位
D. 向右平移个长度单位
参考答案：
A
4. 下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数为（）
A. 0.27
B. 0.85
C. 0.96
D. 0.5
参考答案：
C
越大，拟合效果越好，故选C。

5. 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为
（）
A．B．C．D．2
参考答案：
D
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，
∴样本方差为S2= [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2，
故选：D．
【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．
6. 有下列四个命题：
①“若 , 则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 ,则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（）
A．①② B．②③ C．①③
D．③④
参考答案：
C
7. △ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则
y=的值为（）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
参考答案：
B
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由题意△ABC为锐角三角形，可知，sinA﹣cosB＞0，cosA﹣sinC＜0，推出θ的象限，确定三角函数的符号，然后求出表达式的值．
【解答】解：△ABC为锐角三角形，所以A+B＞，所以sinA＞cosB，cosA＜sinC；所以θ是第二象限角，
所以y==1﹣1﹣1=﹣1
故选B
8. 下列方程中表示圆的
是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
9. 某曲线在处的切线方程为，则（）
A、 B、 C、
D、
参考答案：
B
10. 设m∈N*，且m＜25，则(25－m)(26－m)…(30－m)等于（）
A． B．C． D．参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线：和：垂直，则实数a 的值为
．
参考答案：
当时，，两条直线不垂直；
当时，，两条直线垂直，则，.
综上：.
12.
将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来
的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为．
参考答案：
13. 下面给出的命题中：
①已知则与的关系是
②已知服从正态分布，且，则
③将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。

其中是真命题的有_____________。

（填序号）
参考答案：
①③
略
14. 已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是__.
参考答案：
15. 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为__________．
参考答案：
π cm3
略
16. 观察下列各式：，，，，……，则
．
参考答案：
123
17. 执行如图所示的流程图，则输出k的值为_______．
参考答案：
4
【分析】
根据程序框图运行程序，直到满足，输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序，输入，
则，，不满足，循环；
，，不满足，循环；
，，不满足，循环；
，，满足，输出结果：
本题正确结果：4
【点睛】本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果，属于常考题型.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。

（2）求数列的前n项和.
参考答案：19. （本小题满分14分）
设是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿轴方向伸长为原来5倍的伸压变换．（1）求直线在作用下的方程；
（2）求的特征值与特征向量．
参考答案：
（1）．设是所求曲线上的任一点，，
所以所以代入得，，
所以所求曲线的方程为．
（2）矩阵的特征多项式，
所以的特征值为．
当时，由，得特征向量；
当时，由，得特征向量．
略
20. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．
（1）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（2）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（3）若D′E与平面PQEF所成的角为45°，求D′E与平面PQGH所成角的正弦值．
参考答案：
（Ⅰ）证明：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD'=PF
∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD'，
∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四边形，∴PQ∥AB，
∵在正方体中，AD'⊥A'D，AD'⊥AB，
∴PH⊥PF，PH⊥PQ，
∴PH⊥平面PQEF，PH?平面PQGH．∴平面PQEF⊥平面PQGH．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，∴截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值．
（III）解：连接BC′交EQ于点M．
∵PH∥AD'，PQ∥AB；PH∩PQ=P，，AD'∩AB=A
∴平面ABC'D'∥平面PQGH，
∴D'E与平面PQGH所成角与D'E与平面ABC'D'所成角相等．
由（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC'D'，
∴EM与D'E的比值就是所求的正弦值．
设AD'交PF于点N，连接EN，由FD=1﹣b知
．
∵AD'⊥平面PQEF，又已知D'E与平面PQEF成45°角，
∴，即，
解得，可知E为BC中点．
∴EM=，又，∴D'E与平面PQCH所成角的正弦值为．
略
21. 已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】先解不等式分别求出?p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【解答】解：?p：|4﹣x|＞6，x＞10，或x＜﹣2，
A={x|x＞10，或x＜﹣2}
q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，
记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}
而?p?q，∴A?B，即，∴0＜a≤3．
【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断和应用，解题的关键是正确求解不等式．22. 如图，已知矩形ABCD，，，点P为矩形内一点，且，设.
（1）当时，求证：；
（2）求的最大值.
参考答案：
（1）见解析（2）2
【分析】
（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；
（2）由三角函数的定义可设，，再利用三角函数的图像和性质求解.
【详解】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，. 当时，，则，，
∴.
∴.
（2）由三角函数的定义可设，
则，，，
从而，
所以，
因为，故当时，取得最大值2.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。