弹塑性力学课件-塑性基本概念

ij yxx
xy y

xz yz


11 21
12 22
13

23

zx zy z 31 32 33
（4-1）
由于剪应力的互等性， yx xy zx xz zy yz
3.1应力—应变曲线的理想化模型
（1）理想弹性（perfectly elastic） （2）理想刚塑性（rigid-perfectly elastic） （3）刚—线性强化（rigid-linear strain-hardening） （4）理想弹塑性（elastic-perfectly plastic） （5）弹—线性强化（elastic-linear strain-hardening）
1.3静水压力实验
所谓静水压力就如同均匀流体从四面八方将压力作用于物体。 （1）体积变化 体积应变与压力的关系 (Bridgeman实验公式)
体积压缩模量 派生模量
铜：当p＝1000MPa时，ap＝ 7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。 说明第二项远小于第一项，可以 略去不计。
Bridgeman的实验结果表明， 静水压力与材料的体积改变之 间近似地服从线性弹性规律。 若卸除压力，体积的变化可以 恢复，因而可以认为各向均压 时体积变化是弹性的，或者说 塑性变形不引起体积变化。试 验还表明，这种弹性的体积变 化是很小的，因此，对于金属 材料，当发生较大塑性变形时， 可以忽略弹性的体积变化，即 认为在塑性变形阶段材料是不 可压缩的。
s
n1

一般加载规律
( ) E[1 ( )]
A
其中

( )
C

0,
( ) [E ( )]/(E ),
当 s 当 s
E 1
B
O


3.2强化模型
一个方向上后继屈服应力的强化会引起相反方向上后继屈服应力的变 化（强化或弱化）。常采用简化模型以方便数学处理。
其他因素对简单拉伸试验结果的影响 a) 温度的升高将使屈服应力σY降低，而塑性变形的能力提高。
b) 高温下材料会产生蠕变现象，即当应力不变时应变仍会随时间不断增加。通 常塑性力学不考虑这种与时间有关的塑性变形。
c) 试验中提高加载速度，则σY升高而韧性降低。对于加载速度不高的情形，不 考虑这一效应。
因此应力张量为“对称张量”。三个正应力的平均值
称为平均应力。
m

1 3
( x

y

z)
（4-2）
应力张量可以分成两个分张量：
m 0
ij


0
m
0 0



x yx
m
xy y m
xz yz

0 0 m zx
2.基本假设
对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设： 1. 材料的塑性行为与时间、温度无关。即只研究常温静载下的材料，认
为材料是非粘性的，在本构关系中没有时间效应。
2. 材料具有无限的韧性，即认为材料可以无限地变形而不出现断裂。
~~
3. 变形前材料是初始各向同性的，且拉伸和压缩的 （真应力—
五种简化模型的应力应变关系曲线及相应的机械形态 模型。
机械模型中，力和位移分别 对应于材料的应力和应变。力和 位移的线性关系用弹簧给出，而 干摩擦表示：当力小于某一定值 时，没有发生位移，当力达到该 定值时位移可以无限增大（对应 于屈服后的塑性流动）。
如果不考虑材料的强化性质，并且忽略屈服 极限上限的影响，则模型简化为理想弹塑性模型。
（2）随动强化模型
由于Bauschinger效应减小了反方向加载时的屈服应力，认为拉伸屈
服应力和压缩屈服应力（的代数值）之差，即弹性响应的范围始终是不变
的。其表达式可写为
| ˆ( p ) | s 其中，ˆ ( p ) 背应力（back stress）是塑性应变 p的单调递增函数。相
6. 塑性变形是在体积不变（不可压缩）的条件下发生的。静水压力只产 生体积的弹性变化，不产生塑性变形。
7. 关于材料稳定性的假设：当应力单调变化（例如单调拉伸）时，假设
曲线具有以下不等式：
其中Es

和 Et

E
d
Es
分别为
d

Et
0
曲线的割线模量和切线模量
3.简化模型
塑性基本概念
1.基本实验 2.基本假设 3.简化模型 4.应力分析
1.基本实验
1.1材料简单拉压实验
弹性与塑性的根本区别不在于应力-应 变关系是否线性，而在于卸载后变形 是否可恢复
没有明显屈服平台的应力应变曲线 有明显屈服阶段的拉伸曲线（低碳钢类） （铝合金类）
卸载后再加载
经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。 在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但 弹性极限及屈服极限有升高现象，后继屈服应力 升高程度与塑性变形的历史有关，决定于前面塑 性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化。
zx
zy
z m szx szy sz
（4-5）
应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影 响屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很 重要。
2.1.2 应力不变量
Oxyz坐标系中在具有单位法矢量n为
当 s 当 s
应变可由下列公式求出：
/ E


E
(


s
)(
1 E'

1 )sign E
当 s 当 s
线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小 得多且强化性质明显的材料
幂次强化模型
为简化计算中的解析式，可将应力 -应变关系解析式写为
Ramberg-Osgood模型

/0

/0

3 7
(
/0)n
/0
1
n0
n 1
n2
n5 n
1 10/7
E /0
改进的Ramborg-Osgood模型（之一）
E
当 s




E

s
n1
当 s
s
E
s



E

（1）等向（各向同性）强化模型
认为拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力（绝对值）相等，也
就是 ' ''
Bauschinger效应。
，即在拉伸和压缩两个方向对称强化。不考虑
( )
是反映塑性变形历史的参数。例如可取为累积塑性应变： d p
或取为塑性功 W P d p
（2）静水压力对塑性变形的影响 材料的塑性变形与静水压力无关。对钢试件做了有静水压力的拉伸试验
，并同无静水压力的拉伸试验对比发现，静水压力对初始屈服应力影响很小 ，可以忽略不计。
因而，对钢等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力的影响。但对 于铸铁、岩石、土壤等内部较疏松的材料，静水压力对屈服应力和塑性变形 的大小都有显著的影响，不能忽略。
zx zy z
31 32 33
定义了一个量 ，表征该点的应力状态，在坐标系Oxyz中。如果变
换到另一个坐标Ox系yz
x xy xz
yx y yz 仍然表征同一应力状态
zx zy z
在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的9个数所定义的量叫 做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
b) 由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功具有不可逆性，或称为耗散 性（dissipation）。在一个加载-卸载的循环中外力作功恒大于零，这一部 分能量被材料的塑性变形损耗掉了。
c) 当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生 塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化 。
sy y m sz z m
szx zx
sxy xy ……
（4-3） （4-4）
则应力偏张量：

x yx
m
xy y m
xz yz


ssyxx
sxy sy
sxz s yz


Sij

ij
mij
的两个函数值
是与塑性应变历史有关
4.应力分析
4.1一点处的应力状态
4.1.1应力张量及其分解
物体内一点处沿坐标轴x、y、z方向取一个微小的平行六面体，六面体
上的应力即代表该点的应力。共有9个应力分量，按一定规则排列，即
x xy xz
11 12 13
yx y yz 或 21 22 23
当于 2 s
在线性强化时 |
式中， c dˆ d p
c p |
是一个常数。
s
（3）组合强化模型
为了更合理地反映材料的真实特性，客服随动强化模型Bauschinger
效应绝对化的缺点，将上述两种强化模型组合起来。 *
其中 H( p) * 和( d p )


A
n
，
0 n1
其中,材料常数A和 n 满足 A>0 , 0<n<1 ，n 叫强化系数。 当n=0时， 代表理想塑性体模型，当n=1时，则为理想弹性体模型。（如图12所示） 模型 在ε=0处的斜率为无穷大，近似性较差，同时由于公式只有两个参数A及n，因 而也不能准确地表示材料的性质，然而由于它的解析式很简单，所以也经常被 使用。
zy
z m
球张量
偏张量
引入Kronecker符号：
ij

1, 0,
当i j 当i j
又称单位球张量，二阶单位张量，则应力球张量
各应力偏量为：
sx x m
syz yz
m 0

0
m
0
0Hale Waihona Puke mij 0 0 m
的塑性阶段 卸载 d 0 d Ed
1.2塑性变形的特点
a) 应力—应变关系非线性，应力与应变间不存在单值对应关系。应力（内 力）和应变（变形）之间的关系依赖于加载路径（加载历史）。由于加 载路径不同，同一个应力可对应于不同应变，或同一个应变可对应于不 同的应力。这种非单值性具体来说是一种路径相关性（path-dependency ）。
在加载和卸载的过程中应力和应变服从不同的规律。因此，如不指明变 形路径（或变形历史），是不能由应力确定应变或由应变确定应力的。也就 是说，应力与应变不再存在一一对应的关系。
加、卸载准则
d 0 加载 d 0 卸载
简单拉伸试件在塑性阶段的应力应变关系
简单拉伸试验 加载 d 0 d Etd
后继屈服应力 H( p)
卸载后反向加载
应力降到零点后继续卸载（压缩），称为反 向加载。反向（压缩）屈服、屈服点降低， 称为包辛格效应（Bauschinger's effect）， 塑性变形使材料出现各向异性。这表明 材 料的后继屈服性质不仅与它所经历的塑性变 形的大小密切相关，还受到它所经历过的塑 性变形的方向影响
当 s 当 s且d 0 当 s且d 0
理想刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得 多且强化性质不明显的材料，实质是忽略弹性应变。
线性强化弹塑性体模型，用于有显著强化性质的材料。
应力可由下列公式求出：
E S E' ( S )
理想弹塑性模型，用于低碳钢或强化性质不 明显的材料。
应力可由下式求出：
E S sign
当 S 当 S且d 0
当 S且d 0
应变可由下列公式求出（其中λ是一个非负的参数）
/ E / E sgn d d / E
对数应变）曲线一致。
4. 关于卸载和后继屈服的假设：在产生塑性变形后卸除载荷，材料服从 弹性规律；重新加载后屈服应力（即后继屈服应力）等于卸载前的应
力，这就是说重新家在达到屈服后的 曲线是卸载前 曲线
的延伸线。
5. 关于弹性和塑性的假设：任何状态下的应变总可以分解为弹性和塑性
两 即部e分，即/E，其e中弹性p 模；量材E料是的与弹塑性性性变质形不无因关塑的性常变数形。而改变，