【2-平几】7.平面几何其他解题方法1 同一法【讲师版】

课程类型数学
“平面几何其他解题方法1 同一法”
讲义编号：
正如反证法一样，平面几何中除了著名定理的应用外，还有一些对解题很有帮助的方法。

同一法就是其中之一。

本节课结合例题来讲解同一法的应用。

1.有些问题直接给出证明很困难，而其逆否命题证明就容易得多，这在代数中我们称之为反证法。

平面几何中同
样有些问题难以从正面突破，而其逆命题则容易得多，我们可以转而证明逆命题。

虽然一般来说逆命题与原命题并不等价。

但在某种唯一性成立的前提下，逆命题成立可以推出原命题成立。

这就是反证法的实质。

例1 (第26届俄罗斯数学奥林匹克)在非等腰锐角△ABC中，高AD和CF夹成的锐角的平分线分别与边AB、BC相交于点P、Q，∠B的平分线同连结△ABC的垂心H和边AC之中点M的线段相交于点R。

证明：P、B、Q、R四点共圆。

【解答】
如图，延长HM 到K ，使得MK=HM ，连结AK 、CK ，则AHCK 是平行四边形。

故KC ⊥BC ，KA ⊥AB 。

过R 分别作AB 和BC 的垂线，垂足为P ’、Q ’，则RP ’=RQ ’，且B 、P ’、R 、Q ’四点共圆。

设FP HR DQ m PA RK Q C n
''==='，则 mKA nHF mCH nHF RP m n m n
++'=
=++， mKC nHD mAH nHD RQ m n m n ++'==++， 由RP ’=RQ ’及锐角△ABC 非等腰可得
m HF HD n AH CH
-=-。

另一方面，由A 、F 、D 、C 共圆知HF HD HF HD AH CH AH CH
-==-， 于是，HD m DQ CH n Q C
'=='。

从而点点Q ’与点Q 重合。

同理知P ’与P 重合。

于是结论成立。

例2 （莫莱(F 。

Morley ，1860~1937)定理）将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻的三等分线的交点构成正三角形。