人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 等式性质与不等式性质-第2课时等式与不等式的性质

9.证明下列不等式：
（1）已知 > , > , > 0,求证: − < − .
证明 ∵ > , > 0,∴ > ,∴ − < −.又 > ,即 < ,∴ − < − .
（2）已知 > > 0, < < 0,求证：
是点(, )的“下位点”又是点(, )的“上位点”.如果是,请证明;如果不是,请说明理由；
证明 ∵点(, )是点(, )的“上位点”,∴
∵
+
+

−

=
(+)−(+)
(+)
=
−
(+)


>
< 0,
∴点( + , + )是点(, )的“下位点”.
8.给出下列三个论断：① > > ；② > ；③ > 0且 < 0.以其中的两个论断
若
> > , > 0且 < 0,则 >
作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：_______________________
___________.
[解析]若选择①③作为条件,②作为结论：若 > > , > 且 < ,则 > ，故
该命题正确；若选择①②作为条件,③作为结论：若 > > , > ,则
( − ) > ,故 > ,但也可能为0,故该命题不正确；若选择②③作为条件,①作为
结论：若 > , > 且 < ,则( − ) > ,故 > ,但与的大小关系不确定,
故该命题不正确.
第二章
2.1 等式性质与不等式性质
第2课时 等式与不等式的性质
A级 必备知识基础练
1.如果 < < 0,那么下列式子中，一定成立的是() A
2
2
A. > B. <
2
Байду номын сангаас

C.

<
1
1D.

<
1

2.下列结论正确的个数为() B
①两个实数,之间,有且只有 > , = , < 三种关系中的一种；
B.若 2 > 2 ,则 >
C.若 < < 0, <

0,则

>


D.若 > , > ,则 >
7.（多选题）已知实数,满足−3 < + 2 < 2,−1 < 2 − < 4,则() ABD
A.−1 < < 2B.−2 < < 1C.−3 < + < 3D.−1 < − < 3
正整数的最小值.
证明
2 019
若正整数满足条件

<


<
2 020
在
+1
∈ {|0 < < 2 019, ∈ }时恒成立，
则由（2）中的结论可知, = 2 + 1, = 2 019 + 2 020 = 4 039时满足条件.

2 +1
若 ≤ 4 038,由于
2 019
令
− ≤ − ≤ ,
− = ( − ) + ( − ),整理可得 − = ( + ) − ( + ),所以

=− ,
+ = ,



ቊ
解得൞
所以 − = − ( − ) + ( − ).将

则
<

2 +1
<
−
2 019

=
−4 038 −2 019
(2 +1)
≤−
2 020
不成立.因此,的最小值为4039.
+1
2 019
(2 +1)
< 0,
A.若 > , > ,则 > B.若 > −,则 − < +
C.若 > , <

,则

>

D.若2

> 2 ,则− < −
4.若,, ∈ , > ,则下列不等式成立的是() C
1
A.

<
1
B.2

>

2
C. 2
+1
>

D.||



− − = −,
= ,





− ≤ − ≤ −两边同时乘以− ,可得 ≤ − ( − ) ≤ ,①将








− ≤ − ≤ 两边同时乘以 ,可得− ≤ ( − ) ≤ ②,两式相加可得










2 +1
> ||

5.已知−1 ≤ + ≤ 1,1 ≤ − ≤ 3,则8 ⋅
1
2
1
2
A.[2, 28 ]B.[ , 28 ]C.[2, 27 ]D.[ , 27 ]
1
( ) 的取值范围是()
2
C
6.（多选题）下列命题为真命题的是( ABC
)
A.若−2 < < 3,1 < < 2,则−4 < − < 2
证明 ∵ < < 0,∴
∴
3


<
3

.

1

1

1

3


1

<
3

.





< < 0,∴ − > − > 0.又 > > 0,∴ − > − ,∴




< ，
B级 关键能力提升练
10.（多选题）关于的方程
() ABD
A.0B.−1C.1D.3

−1
=
−2
的解集中只含有一个元素,则的值可能是
∵
+
+

−

=
(+)−(+)
(+)
=
−
(+)
> 0,
∴点( + , + )是点(, )的“上位点”.

,∴

> .
（3）设正整数满足以下条件：对任意实数 ∈ {|0 < < 2 019, ∈ },总存在
∈ ∗ ,使得点(, )既是点(2 019, )的“下位点”,又是点(2 020, + 1)的“上位点”.求


②若 > 1,则 > ；
③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变；
④一个非零实数越大,则其倒数就越小；
⑤ > > 0, > > 0 ⇒
⑥若 > 0,则 > ⇔
A.2
1

B.3


>
<
1
.


；

C.4
D.5
3.已知,,, ∈ ,则下列命题中，必成立的是() B

(, )是点(, )的“上位点”,同时点(, )是点(, )的“下位点”.
（1）试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标.
解 由题意知点(3,5)的一个“上位点”的坐标为(3,4),一个“下位点”的坐标为(3,7).
（2）设,,,均为正数,且点(, )是点(, )的上位点,请判断点( + , + )是否既
2 −
9−
−1 ≤
≤ 20 9 −
11.已知 > 0,且−4 ≤ − ≤ − ≤ 4 − ≤ 5 ,则
的取值范围是___________

__________.
− ≤ − ≤ −,
[解析]由− ≤ − ≤ − ≤ − ≤ ，可得ቊ
− ≤ − ( − ) + ( − ) ≤ + ,即− ≤ − ≤ .因为 > ,






−
所以− ≤
≤ .

C级 学科素养创新练

12.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点(, ),(, )作如下定义:

>

,那么称点