线性目标函数的几种“变式”及相应最值的求法
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【 摘要】 在线性规划问题中ꎬ我们常常会遇到非线性目
标函数的问题ꎬ遇到这类问题ꎬ我们该如何处理呢?
【 关键词】 线性规划ꎻ目标函数ꎻ几种变式
线性规划是优化的具体模型之一. 在本模块的教学中ꎬ
教师应引导学生体会线性规划的基本思想ꎬ借助几何直观
解决简单的线性规划问题ꎬ不必引入很多名词. 在« 普通高
解题技巧与方法
１４０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
线
性目标函数的几种“ 变
式” 及
相应最值的求法
线性目标函数的几种“
变式”
及相应最值的求法
◎谯 用 ( 贵州省罗甸县第一中学ꎬ贵州 黔南布依族苗族自治州 ５５０１００)
等学校招生全国统一考试大纲( 课程标准实验版) » 中ꎬ对线
性规划有这样的描述:“ 对线性规划仍以考查线性目标函数
的最值为重点ꎬ还可能以考查线性规划思想方法的形式出
现ꎬ如利用代 数 式 的 几 何 意 义 ( 距 离、 斜 率、 面 积 等) 求 最
值” . 基于此ꎬ我们说目标函数存在几种变式.
例 １ 某厂拟生产甲、乙两种试销产品ꎬ每件销售收入
题中抽象出简单的二元线性规划问题ꎬ然后加以解决.
解 设甲、乙两种产品分别生产 ｘꎬｙ 件ꎬ约束条件是
ìïｘ ＋ ２ｙ≤４００ꎬ
ï２ｘ ＋ ｙ≤５００ꎬ
目标函
íｘ≥０ꎬ
ï
îｙ≥０ꎬ
数是 ｚ ＝ ３ｘ ＋ ２ｙ. 要求出适当
的 ｘꎬｙꎬ使得 ｚ ＝ ３ｘ ＋ ２ｙ 取得
最大值ꎬ要先画出可行域ꎬ如
图所 示ꎬ 考 虑 ３ｘ ＋ ２ｙ ＝ ａꎬ
ｘ ＋２
点 Ａ( － ２ꎬ － ２) 连线的斜率.
１
４
图中 ｋ ＡＢ ＝ ꎬｋ ＡＣ ＝ ꎬ所以 ｚ
２
３
１
４
的取值范围是 ≤ｚ≤ .
２
３
变式三:距离型目标函数
｜ Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ｜
ｄ＝
或
Ａ２ ＋ Ｂ２
ｋ ＡＢ ＝
{
ｄ ＝ ( ｘ － ａ) ２ ＋ ( ｙ － ｂ) ２
例 ４ ( ２０１３ 年 高 考 北 京 题 ) 设 Ｄ 为 不 等 式 组
３ｘ ＋ ｙ≤３ꎬ
所表示的平面区域为 Ｄ. 若直线 ｙ ＝ ａ( ｘ ＋ １) 与 Ｄ 有公共点ꎬ
则 ａ 的取值范围是
.
解 题中不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
因为直线 ｙ ＝ ａ( ｘ ＋ １) 过定点 Ａ( － １ꎬ０) ꎬ由图结合题意可知
{
３
ꎬｋ ＝ ３. 所以要使直
７ ＡＣ
线 ｙ ＝ ａ( ｘ ＋ １) 与平面区域 Ｄ
{
２ ５
距离为
ꎬ所以区域 Ｄ 上的点与
５
点( １ꎬ ０ ) 之 间 的 距 离 的 最 小 值
２ ５
为
.
５
ｘ≥０ꎬ
变式:设 Ｄ 为 不 等 式 组 ２ｘ － ｙ≤０ꎬ 表 示 的 平 面 区
ｘ ＋ ｙ － ３≤０ꎬ
域ꎬ区 域 Ｄ 上 的 点 与 点 ( １ꎬ ０ ) 之 间 的 距 离 的 最 大 值
ａ 是参 数ꎬ 将 它 变 形 为 ｙ ＝
３
ａ
－ ｘ ＋ ꎬ这是斜率为 －
２
２
３
、随 ａ 变 化 的 一 组 直 线.
２
ａ
ａ
是直线在 ｙ 轴上的截距ꎬ当 最大时 ａ 最大ꎬ当然直线要
２
２
与可行域相交ꎬ即在满足约束条件时目标函数取得最大值.
在这个问题中ꎬ使 ３ｘ ＋ ２ｙ 取得最大值的( ｘꎬｙ) 是两直
线 ２ｘ ＋ ｙ ＝ ５００ 与 ｘ ＋ ２ｙ ＝ ４００ 的交点(２００ꎬ１００) . 因此ꎬ甲、
乙两种产品分别生产 ２００ꎬ１００ 件时ꎬ可得最大收入为 ８００ 千
元.
本例中目标函数是线性的ꎬ下面谈谈几种变式.
变式一:含参数型目标函数ꎬ形如 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｙ
ｘ≥０ꎬ
例 ２ ( ２０１３ 年高考全国题) 记不等式组 ｘ ＋ ３ｙ≥３ꎬ
为
.
这是两种不同的距离ꎬ前者为点到直线的距离ꎬ后者为
两点间的距离.
总之ꎬ无论我们遇上什么样的目标函数ꎬ只要抓住其几
何特征ꎬ认真体会其数学思想ꎬ就可以顺利地解决问题.
{
数学学习与研究 ２０２０ １
分别为 ３ 千元、２ 千元. 甲、乙两种产品都需要在 ＡꎬＢ 两种设
备上加工ꎬ在 ＡꎬＢ 上加工一件甲所需工时分别为 １ 时、２ 时ꎬ
加工一件乙所需工时分别为 ２ 时、１ 时ꎬＡꎬＢ 两种设备每月
有效使用时数分别为 ４００ 和 ５００. 如何安排生产可使收入
最大?
这个问题的数学模型是二元线性规划ꎬ要求从实际问
３
有公共点ꎬ则 ≤ａ≤３. 其实
７
是将问题转化为直线的斜率
的取值范围来求.
变 式 二: 斜 率 型 目 标 函
ｙ－ｂ
数ꎬ形如 ｚ ＝
ｘ－ａ
ｙ≥０ꎬ
ｙ ＋２
例 ３ 已知 ｙ≤２ｘꎬ
求ｚ＝
的取值范围.
ｘ ＋２
ｙ≤４ － ２ｘꎬ
解 题中不等式组表示
的可行域如图阴影部分所示.
ｙ ＋２
ｚ＝
表示可行域内的点与
ｘ≥０ꎬ
２ｘ － ｙ≤０ꎬ 表示的平面区域ꎬ区域 Ｄ 上的点与点(１ꎬ０) 之
ｘ ＋ ｙ － ３≤０
间的距离的最小值为
解 题中不等式组表示的可
行域如图阴影部分所示. 区域 Ｄ 上
的点与点(１ꎬ０) 之间的距离的最小
值为点(１ꎬ０) 到直线 ２ｘ － ｙ ＝ ０ 的
距离ꎬ点(１ꎬ０) 到直线 ２ｘ － ｙ ＝ ０ 的
标函数的问题ꎬ遇到这类问题ꎬ我们该如何处理呢?
【 关键词】 线性规划ꎻ目标函数ꎻ几种变式
线性规划是优化的具体模型之一. 在本模块的教学中ꎬ
教师应引导学生体会线性规划的基本思想ꎬ借助几何直观
解决简单的线性规划问题ꎬ不必引入很多名词. 在« 普通高
解题技巧与方法
１４０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
线
性目标函数的几种“ 变
式” 及
相应最值的求法
线性目标函数的几种“
变式”
及相应最值的求法
◎谯 用 ( 贵州省罗甸县第一中学ꎬ贵州 黔南布依族苗族自治州 ５５０１００)
等学校招生全国统一考试大纲( 课程标准实验版) » 中ꎬ对线
性规划有这样的描述:“ 对线性规划仍以考查线性目标函数
的最值为重点ꎬ还可能以考查线性规划思想方法的形式出
现ꎬ如利用代 数 式 的 几 何 意 义 ( 距 离、 斜 率、 面 积 等) 求 最
值” . 基于此ꎬ我们说目标函数存在几种变式.
例 １ 某厂拟生产甲、乙两种试销产品ꎬ每件销售收入
题中抽象出简单的二元线性规划问题ꎬ然后加以解决.
解 设甲、乙两种产品分别生产 ｘꎬｙ 件ꎬ约束条件是
ìïｘ ＋ ２ｙ≤４００ꎬ
ï２ｘ ＋ ｙ≤５００ꎬ
目标函
íｘ≥０ꎬ
ï
îｙ≥０ꎬ
数是 ｚ ＝ ３ｘ ＋ ２ｙ. 要求出适当
的 ｘꎬｙꎬ使得 ｚ ＝ ３ｘ ＋ ２ｙ 取得
最大值ꎬ要先画出可行域ꎬ如
图所 示ꎬ 考 虑 ３ｘ ＋ ２ｙ ＝ ａꎬ
ｘ ＋２
点 Ａ( － ２ꎬ － ２) 连线的斜率.
１
４
图中 ｋ ＡＢ ＝ ꎬｋ ＡＣ ＝ ꎬ所以 ｚ
２
３
１
４
的取值范围是 ≤ｚ≤ .
２
３
变式三:距离型目标函数
｜ Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ｜
ｄ＝
或
Ａ２ ＋ Ｂ２
ｋ ＡＢ ＝
{
ｄ ＝ ( ｘ － ａ) ２ ＋ ( ｙ － ｂ) ２
例 ４ ( ２０１３ 年 高 考 北 京 题 ) 设 Ｄ 为 不 等 式 组
３ｘ ＋ ｙ≤３ꎬ
所表示的平面区域为 Ｄ. 若直线 ｙ ＝ ａ( ｘ ＋ １) 与 Ｄ 有公共点ꎬ
则 ａ 的取值范围是
.
解 题中不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
因为直线 ｙ ＝ ａ( ｘ ＋ １) 过定点 Ａ( － １ꎬ０) ꎬ由图结合题意可知
{
３
ꎬｋ ＝ ３. 所以要使直
７ ＡＣ
线 ｙ ＝ ａ( ｘ ＋ １) 与平面区域 Ｄ
{
２ ５
距离为
ꎬ所以区域 Ｄ 上的点与
５
点( １ꎬ ０ ) 之 间 的 距 离 的 最 小 值
２ ５
为
.
５
ｘ≥０ꎬ
变式:设 Ｄ 为 不 等 式 组 ２ｘ － ｙ≤０ꎬ 表 示 的 平 面 区
ｘ ＋ ｙ － ３≤０ꎬ
域ꎬ区 域 Ｄ 上 的 点 与 点 ( １ꎬ ０ ) 之 间 的 距 离 的 最 大 值
ａ 是参 数ꎬ 将 它 变 形 为 ｙ ＝
３
ａ
－ ｘ ＋ ꎬ这是斜率为 －
２
２
３
、随 ａ 变 化 的 一 组 直 线.
２
ａ
ａ
是直线在 ｙ 轴上的截距ꎬ当 最大时 ａ 最大ꎬ当然直线要
２
２
与可行域相交ꎬ即在满足约束条件时目标函数取得最大值.
在这个问题中ꎬ使 ３ｘ ＋ ２ｙ 取得最大值的( ｘꎬｙ) 是两直
线 ２ｘ ＋ ｙ ＝ ５００ 与 ｘ ＋ ２ｙ ＝ ４００ 的交点(２００ꎬ１００) . 因此ꎬ甲、
乙两种产品分别生产 ２００ꎬ１００ 件时ꎬ可得最大收入为 ８００ 千
元.
本例中目标函数是线性的ꎬ下面谈谈几种变式.
变式一:含参数型目标函数ꎬ形如 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｙ
ｘ≥０ꎬ
例 ２ ( ２０１３ 年高考全国题) 记不等式组 ｘ ＋ ３ｙ≥３ꎬ
为
.
这是两种不同的距离ꎬ前者为点到直线的距离ꎬ后者为
两点间的距离.
总之ꎬ无论我们遇上什么样的目标函数ꎬ只要抓住其几
何特征ꎬ认真体会其数学思想ꎬ就可以顺利地解决问题.
{
数学学习与研究 ２０２０ １
分别为 ３ 千元、２ 千元. 甲、乙两种产品都需要在 ＡꎬＢ 两种设
备上加工ꎬ在 ＡꎬＢ 上加工一件甲所需工时分别为 １ 时、２ 时ꎬ
加工一件乙所需工时分别为 ２ 时、１ 时ꎬＡꎬＢ 两种设备每月
有效使用时数分别为 ４００ 和 ５００. 如何安排生产可使收入
最大?
这个问题的数学模型是二元线性规划ꎬ要求从实际问
３
有公共点ꎬ则 ≤ａ≤３. 其实
７
是将问题转化为直线的斜率
的取值范围来求.
变 式 二: 斜 率 型 目 标 函
ｙ－ｂ
数ꎬ形如 ｚ ＝
ｘ－ａ
ｙ≥０ꎬ
ｙ ＋２
例 ３ 已知 ｙ≤２ｘꎬ
求ｚ＝
的取值范围.
ｘ ＋２
ｙ≤４ － ２ｘꎬ
解 题中不等式组表示
的可行域如图阴影部分所示.
ｙ ＋２
ｚ＝
表示可行域内的点与
ｘ≥０ꎬ
２ｘ － ｙ≤０ꎬ 表示的平面区域ꎬ区域 Ｄ 上的点与点(１ꎬ０) 之
ｘ ＋ ｙ － ３≤０
间的距离的最小值为
解 题中不等式组表示的可
行域如图阴影部分所示. 区域 Ｄ 上
的点与点(１ꎬ０) 之间的距离的最小
值为点(１ꎬ０) 到直线 ２ｘ － ｙ ＝ ０ 的
距离ꎬ点(１ꎬ０) 到直线 ２ｘ － ｙ ＝ ０ 的