【走向高考】高三数学一轮复习 133不等式选讲课件(北师大)

ad＋bc
取“＝”号．
，当且仅当a＝b(或c＝d)，时
定理2 (排序不等式)设有两个有序实数组
a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn， 则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥ (乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥ (逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.
其中j1，j2，…jn是1,2，…，n的任一排列方式．上式 当 且 仅 当 a1 ＝ a2 ＝ … ＝ an( 或 b1 ＝ b2 ＝ … ＝ bn) 时 取 “ ＝ ” 号．
[点评] 本题考查了绝对值的概念，分类整合的思想 方法，对数的运算，式子的变形，灵巧而精致，深化了作 差比较和作商比较这两种基本方法．
(1) 作 差 法 的 一 般 步 骤 是 “ 作 差 — 变 形 — 判 断 符 号”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用 的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式” 变形为一个常数、一个常数与几个平方和或几个因式的积 的形式，当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时， 则常用判别式法判断符号．
的 解 集 为 {x| －
2<x<1}．
(3)x≥1 时，|x＋2|＋|x－1|<4
⇔x＋2＋x－1<4
⇔2x<3⇔x<32.
所
以
不
等
式
组
x≥1 |x＋2|＋|x－1|<4
的解集为
{x|1≤x<32}． 因此原不等式的解集为(1)(2)(3)的并集：
{x|－52<x<32}．
[点评] (1)解这类绝对值符号内是一次式的不等式， 其一般步骤是：
解不等式|x＋3|＋|x－3|>8. [解析] 解法1：由代数式|x＋3|、|x－3|知，－3和3把 实数集分为三个区间：x<－3，－3≤x<3，x≥3. 当x<－3时，－x－3－x＋3>8，即x<－4，此时不等式 的解集为x<－4.① 当－3≤x<3时，x＋3－x＋3>8，此时不等式无解．② 当x≥3时，x＋3＋x－3>8，即x>4，此时不等式的解集 为x>4.③ 取①②③式的并集得原不等式的解集为
[例 2] 已知二次函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定 义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为 M；
(1)试证明|1＋b|≤M. (2)试证明 M≥12； (3)当 M＝12时，试求出 f(x)的解析式．
[分析] 开口向上的二次函数在闭区间[－1,1]上的最 大值，只能在端点－1,1处取到．故M≥|f(1)|或M≥|f(－1)|.
所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|. 当 0<a<1 时 ， |loga(1 － x)| － |loga(1 ＋ x)| ＝ loga(1 － x) ＋ loga(1＋x)＝loga(1－x2)>0， 所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|. 综上所述，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
[解析] (1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a ＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝ 2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.
(2)依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|. 又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|. ∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a ＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.
(2)作商法的一般步骤为“作商—变形—判断商与数1 的大小关系”．
(3)一般地，证幂、指数不等式，常用作商法，证对 数不等式，常用作差法．
当“差”或“商”式中含有字母时，一般需对字母的 取值进行分类讨论．
设 a＋b>0，n 为偶数，求证：ban－n 1＋abn－n 1≥1a＋1b. [证明] ban－n1＋abn－n 1－1a－1b ＝an－bnaabn－n1－bn－1 当 a>0，b>0 时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n>0. 所以an－bnaabn－n1－bn－1≥0. 故ban－n 1＋abn－n 1≥1a＋1b.
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上页： a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此证明 a＞b，只 要证明 a－b＞0 即可，这种方法称为求差比较法． a＞b＞0⇔ab＞1 且 a＞0，b＞0.因此当 a＞0，b＞0 时 要证明 a＞b，只要证明ab＞1 即可，这种方法称为求商比 较法． 求差比较法与求商比较法统称为比较法．
推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有 (a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2当向量(a1， a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立。
6．排序不等式
定理1 设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那
么ac＋bd≥
①令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的 根；
②把这些根由小到大排序，并把实数集分为若干个区 间；
③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解 这些不等式，求出它们的解集；
④取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集． 对于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|<c的不等式， 利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去 解不等式，更为直观、简捷，这又一次体现了数形结合思 想方法的优越性！
知识梳理
1．不等式的性质：
性质1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.
性质2 如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .
性质3 如果a＞b，那么 a＋c＞b＋c .
推论 如果a＞b，c＞d，那么 a＋c＞b＋d
.
性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c ＜0那么 ac＜bc .
已知 f(x)＝ 1＋x2，a2≠b2，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.
[解析] 证法一：|f(a)－f(b)|＝| 1＋a2－ 1＋b2|＝ 1＋|aa22－ ＋b21| ＋b2<||aa2|＋－b|b2||≤|a|a2－ ＋bb2| |＝|a－b|.
证法二：如图所示，设 A(1，a)，B(1，b)． 在△AOB 中，|OA|－|OB|<|AB|， ∴| 1＋a2－ 1＋b2|<|a－b|，即|f(a)－f(b)|<|a－b|.
[例3] 若0<x<1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大 小(a>0且a≠1)．
[分析] 利用作差比较法或作商比较法均可证明本 例．
[解析] 证法一：(作差比较法)因为0<x<1，所以0<1 －x<1,1＋x>1,0<1－x2<1.
当a>1时，因为|loga(1－x)|－|loga(1＋x)| ＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0，
证法二：(作商比较法) 因为llooggaa11－ ＋xx＝|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x) ＝log(1＋x)1－1 x＝log(1＋x)11－＋xx2 ＝log(1＋x)(1＋x)－log(1＋x)(1－x2) ＝1－log(1＋x)(1－x2)>1. 所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
5．柯西不等式
定理1 对任意实数a，b，c，d，有 (a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 ，
当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．
定理2 设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实 数，则有(a12＋a22＋…an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…an)与向量(b1，b2，…， bn)共线时“＝”成立．
第二章 函数与基本初等函数
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2021年12月 2021/12/152021/12/152021/12/1512/15/2021 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2021/12/152021/12/15December 15, 2021 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2021/12/152021/12/152021/12/152021/12/15
推论1 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd . 推论2 如果a＞b＞0，那么 a2＞b2 . 推论3 如果a＞b＞0，那么 an＞bn(n为正整数) ．
2．绝对值不等式： 设a是任意一个实数，在数轴上|a|表示 实数a对应的 点与原点O的距离 ，|x－a|的几何意义是实数x对应的 点与实数a对应的点之间 的距离． 定理：对任意实数a和b，有 |a＋b|≤|a|＋|b| 3．平均值不等式： 定理1 对任意实数a，b有a2＋b2≥ 2ab ( 上 式 当 且仅当 a＝b 时，取“＝”号)．
(1)x≤－2 时，|x＋2|＋|x－1|<4 ⇔－2－x＋1－x<4 ⇔－2x<5⇔x>－52. 所以不等式组x|x≤＋－2|＋2 |x－1|<4 的解集为{x|－52<x≤ －2}．
(2)－2<x<1 时，|x＋2|＋|x－1|<4
⇔x＋2＋1－x<4⇔－1<0.
所
以
不
等
式
组
－2<x<1 |x＋2|＋|x－1|<4
(3)当 M＝12时，|f(0)|＝|b|≤12，
－12≤b≤12.①
同理－12≤1＋a＋b≤12②
－12≤1－a＋b≤12③②＋③得－32≤b≤－12④
由①④得 b＝－12，当 b＝－12时，分别代入②③得
－1≤a≤0， 0≤a≤1
⇒a＝0，因此 f(x)＝x2－12.
[点评] 对于含有绝对值的不等式的证明常用途径有 二：一是去掉绝对值符号，即利用绝对值的定义和|x|<a⇔ －a<x<a(a>0)，|x|>a⇔x>a或x<－a(a>0)去掉绝对值符号； 二是利用含绝对值的不等式性质(||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|)来 证明．
{x|x<－4或x>4}． 解法2：不等式|x＋3|＋|x－3|>8表示数轴上与A(－3)， B(3)两点距离之和大于8的点，而A、B两点距离为6.因此 线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6. 如图所示，要找到与A，B距离之和为8的点，只需由 点B向右移1个单位(这时距离之和增加2个单位)，即移到 点B1(4)，或由点A向左移1个单位，即移到点A1(－4)． 可以看出，数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(－4)向 左的点到A、B两点的距离之和均大于8. ∴原不等式的解集为{x|x<－4或x>4}.
(2)分析法 从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知 条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明 方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过 的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的 方法，这种证明不等式的方法称为综合法．
(4)放缩法 通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大 (或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式 的方法称为放缩法． (5)反证法： 通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论 一定成立，其证明的步骤是： ①作出否定结论的假设；②进行推理导出矛盾；③否 定假设肯定结论
7．贝努利不等式： 对任何实数 x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥ 1＋nx
[例1] 解不等式|x＋2|＋|x－1|<4. [分析] (1)根据绝对值的意义，分区间分别去掉绝对 值符号，解不等式． (2)根据绝对值的几何意义． [解析] |x＋2|＝0和|x－1|＝0的根分别是－2和1，把 实数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)． 在这三个区间上|x＋2|＋|x－1|有不同的解析表达式， 它们构成了三个不等式组．