高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》真题汇编附解析

新数学《复数》高考知识点
一、选择题
1．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是
A ．12R z z ∈
B ．12R z z ∈
C ．12R z z +∈
D ．12
R z z ∈ 【答案】D
【解析】
利用排除法：
当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i
+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，
本题选择D 选项.
2．a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i
+=，则a=（ ） A ．2
B
C
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
||220,a i a a a i
+==∴=>∴=Q ，选B.
3．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.
【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
4．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则
z i =（ ） A ．12i -
B ．12i +
C ．12i -+
D ．12i -- 【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得z ，代入
z i
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
由题意，2z i =-+， 则
2
2(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ．
【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则
a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.
【详解】
因为()1223(z z i a bi =++)()
23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，
因为0b ≠，所以
23
a b =-，选B. 【点睛】
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi
6．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -
∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因
, 故由题设
, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.
7．已知复数21i z =
-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +
【答案】C
【解析】
分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----=
==---+--， 则2z =，选项A 错误；
z 的实部为1-，选项B 错误；
z 的虚部为1-，选项C 正确；
z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．复数21i z i
+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是
A ．z =
B ．z 的共轭复数为31+22i
C ．z 的实部与虚部之和为1
D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D
【解析】
【分析】 利用复数的四则运算，求得1322
z i =
+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．
【详解】 由题意()()()()22121313111122
i i i i z i i i i i ++++====+--+-，
则22
z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．
【点睛】
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为
b (,)a b 、共轭为a bi -．
9．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．(0,1)(1,)⋃+∞
D ．(1,)-+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a x a y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，
则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，
解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .
故选：C
【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
10．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.
【详解】 ()2
222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；
213,25302
t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
11．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）
A ．5
B ．15
C ．25
D 【答案】D
【解析】
【分析】 化简得到1355
z i =
+，再计算复数模得到答案. 【详解】
(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++=
==-，∴1355z i =+，∴||z =. 故选：D .
【点睛】 本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.
12．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =
A ．12i +
B ．12i -
C ．1i +
D ．1i -
【答案】C
【解析】
【分析】
设出复数z ，根据复数相等求得结果.
【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11
a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.
故选：C .
【点睛】
本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.
13．在复平面内，复数21i z i =
+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112
i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.
本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A ．2
B ．2
C ．22
D ．5 【答案】D
【解析】
分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.
详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212
i z i i i i +=
=+-=-+, 因此5,z = 选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi
15．在复平面内，复数121i z i -=
+对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C
【解析】
试题分析：
1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故
选C ．
考点：复数的代数运算及几何意义．
16．若复数1a i z i +=
-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1
B ．-1
C ．12
D ．12
- 【答案】A
【解析】
【分析】
由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.
【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2
a a a a z ++-+++===--+Q ，
所以3·z i =()()()()
34
1i 1i 1i 122a a a a -++--++=，
因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --
= 可得1a =，1a =时3,?
10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
17．已知复数122i z i +=
- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1
B ．0
C ．1
D ．i 【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．
【详解】 复数()()()()1221252225
i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ）
A ．i
B ．1
C ．i -
D ．1-
【答案】B
【解析】 ()()1i 1i z +=-，则()()()2
1i 1i 2i 1i 1i 1i 2
z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.
19．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
【解析】
∵()112z i i +=-，∴()()()()
221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322
z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．
20．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( )
A ．恒等于1
B ．最大值为1，无最小值
C ．最小值为1，无最大值
D ．无最大值，也无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值．
【详解】
解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，
由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++， 2222(1)(3)x y x y ∴+-=++，
解得1y =-；
||1z ∴=，
即||z 有最小值为1，没有最大值．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．。