高三数学第二轮复习集合与简易逻辑学案

2006届高三数学第二轮复习集合与简易逻辑学案
一、考试要求
1.理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。

了解空集和全集的意义。

了解属于、包含、相等关系的意义。

能掌握有关的术语和符号，能正确地表示
一些较简单的集合。

2.理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；
二、考点扫描
1．集合中元素特征：确定性，互异性，无序性；集合按元素特征分类：数集，点集。

2、两类关系：
（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；
（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；
（3）当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

如果一个集合A有n个元素（Crad(A)=n）,那么它有个个子集，个非空真子集王新敞
注：（1）元素与集合间的关系用符号表示；（2）集合与集合间的关系用符号表示王新敞
3、集合运算：交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，
A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝。

4命题：
（1）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 王新敞
（2）或”、“且”、“非”的真值判断：1）“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；
2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真王新敞
（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。

其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。

因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、分条件与必要条件（1）定义：对命题“若p则q”而言，
当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q 的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件。

（2）如果已知p⇒q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

判断两条件间的关系技巧：（1）；（2）王新敞
6、反证法是中学数学的重要方法。

会用反证法证明一些代数命题。

三小题训练
1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N 。

2．2004年全国卷三：设集合()
{}
22
,1,,
M x y x y x R y R
=+=∈∈，()
{}
2
,0,,
N x y x y x R y R
=-=∈∈，则集合M N 中元素的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4
3、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的
条件。

4．（2002上海春）若全集I=R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≥0}，
则不等式组
⎩
⎨
⎧
<
<
)
(
)
(
x
g
x
f
的解集可用P、Q表示为___ __
5．（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N*｝，则（）
A.I＝A∪B
B.I＝I A∪B
C.I＝A∪I B
D.I＝I A∪I B
6.（00上海春）设I是全集，非空集合P、Q满足P Q I.若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式可以是
（只要写出一个表达式）
四．典型例题
例1．（2004上海理）记函数f(x)=
1
3
2
+
+
-
x
x的定义域为A,
g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B
.(1) 求A；(2) 若B⊆A, 求实数a的取值范围.
例2．(03全国)已知.0
>
c设P：函数x c
y=在R上单调递减.Q:不等式1
|
2
|>
-
+c
x
x的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.
例3．命题p :函数2
1
()lg()16
f x ax x a =-+
的定义域为R ； 命题q :不等式211x ax +<+对一切正实数均成立.
如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.
例4．（理科题）集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R， 有f (x ＋T )=T f (x )成立．注：标注理科字样的例习题，供学有余力的同学使用，以后不再说明
（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数 f (x )= a x
(a ＞0，且a ≠1)的图象与y=x 的图象有公共点，证明：f (x ) = a x
∈M.
五．强化训练
1、（03北京卷）设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22
等于（ ）
A ．}1|{>x x }0|{>x x }1|{-<x x D ．}11|{>-<x x x 或
2．（2002北京，1）满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
3、全国卷四．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂=（ ）
A ．{0}
B ．{0，1}
C ．{1，2}
D ．{0，2}王新敞
4. 04湖北卷．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意B x A x ∉∈有,
②A ⊄ B ⇔=B A φ ③A ⊄B ⇔A
B ④A ⊄ B ⇔存在B x A x ∉∈使得,王新敞
其中真命题的序号是 （把符合要求的命题序号都填上）王新敞
5、（2005年北京卷理）设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2
>1}，则下列关系中正确的是 （ ） （A ）
M ＝P （B ）P M （C ）M P （ D ）
U
M P =∅
6、(2005年湖北卷)设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}。

若P={0，2，5}，Q={1，2，
6}，则P+Q 中元素的个数是 ( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
7、04全国卷一．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．(I C A)∪B=I B ．(I C A)∪(I C B)=I C ．A ∩(I C B)=φ D ．(I C A) (I C B)= I C B 王新敞
8．（2000广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ）
A .15 B.16 C.3 D.4
9．（1996上海，1）已知集合M ＝｛（x ，ｙ）｜x ＋ｙ＝2｝，N ＝｛（x ，ｙ）｜x －ｙ＝4｝，那么集合M ∩N 为（ ）
A.x =3，y =－1
B.（3，－1）
C.{3，－1}
D.{（3，－1）}
10、（1999全国，1）如图7—1，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，
则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M ∩P ）∩S
B.（M ∩P ）∪S
C.（M ∩P ）∩
I
S D.（M ∩P ）∪
I
S
11．（1995全国，1）已知I 为全集，集合M 、N I ，若M ∩N ＝N ，则（ ）
A.
I
M ⊇
I
N B.M
I
N C.
I
M
I
N D .M ⊇
I
N
12、(2005年湖北卷理)对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a=b ”是“ac=bc ”
的充要条件；②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a>b ”是“a 2
>b 2
”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件。

其中真命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
13、（2005年山东卷）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ⊂是()U C A B U ⋃=的（ ）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件 14、已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的取值范围: (I)A
B =∅; (II)A B B =.
15．（2004·辽宁理科18）设全集U ＝R
（1）解关于x 的不等式01|1|>-+-a x （∈a R ） （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合B ＝｛0)3
cos(3)3sin(|=-+-π
ππ
πx x x ｝，若(C U B A )恰
有3个元素,求a 的取值范围．
图7—1
江苏省赣马高级中学高三数学《集合与简易逻辑》作业
1．（2003年上海卷）a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2
+b 1x +c 1>0和a 2x 2
+b 2x +c 2>0的解集分别
为集合M 和N ，那么“
2
1
2121c c b b a a ==”是“M=N ”的（ ） A ．充分非必要条件.
B ．必要非充分条件.
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件.
2．（2005年上海市春）若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ”的 ( )
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 3、（1995上海）“ab <0”是“方程ax 2
+by 2
=c 表示双曲线”的（ ）
A .必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件 C.充分必要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件
4（2001上海，3）a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +（a －1）y =a －7平行且不重合的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件
5、（2005湖南）集合A ＝｛x |1
1
+-x x ＜0}，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件，
则b 的取值范围可以是（ ）A ．－2≤b ＜0B ．0＜b ≤2C ．－3＜b ＜－1D ．－1≤b ＜2
6、（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断:①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．
命题：_____. 7．已知集合{}{}
A x x x R
B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇，则a 的取值范围是（ ） A.
01≤≤a B. a ≤1 C. a <1 D. 01<<a
8、（2000上海春，15）“a =1”是“函数y =cos 2
ax －sin 2
ax 的最小正周期为π”的（ ）
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
9、集合},3
sin |{Z n n y y M ∈==π
的子集的个数有（ ） （A ）无穷多个（B ）32个（C ）16个（D ）8个
10设集合M ={}
0≤-m x x ，}12|{R ，x y y N x
∈-==，若M ∩N =φ，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-≥m
B ．1->m
C ．1-≤m
D ．1-<m
11、命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则 （ ） A.甲是乙的充分非必要条件； B.甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件；
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
12、已知集合{}{}
A x x x R
B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇， 求a 的取值范围。

13、一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要条件
是（ ）
A ．1<a
B ．0>a
C ．1-<a
D ．1>a
14．(03全国)已知.0>c 设P ：函数x
c y =在R 上单调递减.Q:不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q
有且仅有一个正确，求c 的取值范围.
15．（理科）已知数列}a {n 的前n 项和为).R a (n )1a (n S 2
n ∈-+= 设集合
}N n |)n S ,a {(A n n +∈= ,}.R y ,x ,1y x 4
1
|)y ,x {(B 22∈=-=
(1) 求数列}a {n 的通项公式;
(2) 若以集合A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由; (3) “B A 至多只有一个元素”是否正确? 如果正确, 请给予证明; 如果不正确, 请举
例说明.
江苏省赣马中学高三数学二轮复习《集合与简易逻辑》教案 三 典型例题
1．已知集合M={y|y=x 2
+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N 。

解析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。

M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。

其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。

M={y|y=x 2
+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M ∩N=M={y|y ≥1}
说明：实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。

一般地，集合{y|y=f(x)，x ∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。

此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2
+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x 2
+1上的所有点，属于图形范畴。

集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y ≥1}={x|x ≥1}。

2．2004年全国卷三：设集合(){}
2
2
,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈，(){
}
2
,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈，则集合M
N
中元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4王新敞
3．若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D 是A 的什么条件。

答案 ：B .
4(2002上海春）若全集I =R ，f （x ）、g （x ）均为x 的二次函数，P ={x |f （x ）＜0}，Q ={x |g （x ）≥0}，则不等式组⎩⎨
⎧<<0
)(0
)(x g x f 的解集可用P 、Q 表示为_____.
解析：①利用“⇒”、“⇔”符号分析各命题之间的关系 D ⇒C ⇔B ⇒A ∴ D ⇒A ，D 是A 的充分不必要条件
说明：符号“⇒”、“⇔”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。

②.答案：P ∩I Q 解析：∵g （x ）≥0的解集为Q ，所以g （x ）<0的解集为
I Q ，因此⎩⎨
⎧<<0
)(0
)(x g x f 的解集
为P ∩
I
Q .
评述：本题以不等式为载体，重点考查集合的补集、交集的概念及其运算，活而不难.
5．（1996全国理，1）已知全集I ＝N *
，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *
｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（ ）
A.I ＝A ∪B
B.I ＝
I
A ∪
B C.I ＝A ∪
I
B D.I ＝
I
A ∪
I
B
6.（00上海春）设I 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q I .若含P 、Q 的一个集合运
算表达式，使运算结果为空集∅，
则这个运算表达式可以是 （只要写出一个表达式） 解析：①.答案： C 方法一：
I
A 中元素是非2的倍数的自然数，
I
B 中元素是非4的倍数的自然
数，显然，只有Ｃ选项正确.
以
I
B ＝
方法二：因A ＝｛2，4，6，8…｝，B ＝｛4，8，12，16，…｝，所｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I ＝A ∪
I
B ，故答案为Ｃ.
方法三：因B A ，所以
I
A
I
B ，
I
A ∩I
B ＝
I
A ，故I ＝
A ∪
I
A ＝A ∪
I
B .
方法四：根据题意，我们画出文氏图1—4来解，易知B A ，如图：可以清楚看到I =A ∪I
B 是成立的.
评述：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求.
②.答案：P ∩
I
Q 阴影部分为
I
Q （如图1—8）
显然，所求表达式为
I
Q ∩P =∅，
或
I
Q ∩（Q ∩P ）或
I
Q ∩（Q ∪P ）=∅.
评述：本题考查集合的关系及运算. 四典型例题
例 1、（2004上海理）记函数f(x)=1
3
2++-
x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B.(1) 求A ；
(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围. 【解】(1)2－
13++x x ≥0, 得1
1
+-x x ≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.
图1—2
图1—8
图1—4
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥2
1
或a≤－2, 而a<1, ∴
21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[2
1
,1) 例2．
例3．命题p :函数2
1
()lg()16
f x ax x a =-+
的定义域为R ； 命题q :
1ax <+对一切正实数均成立.
如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.
解： 命题p 为真命题⇔函数2
1
()lg()16
f x ax x a =-+的定义域为
R 21
016
ax x a ⇔-+>对任意的x 均成立0a ⇔=时，-x >0解集为R ；或者
2
0 2.1104
a a a >⎧⎪
⇔>⎨-<⎪⎩ 命题q 为真命题
⇔1ax <+对一切正实数均成立
1a x ⇔>
==
对一切正实数均成立
. 0,12,1x >>><
所以，命题q 为真命题a ≥1
根据题意知，命题p 与q 为有且只有一个为真命题. 当命题p 为真命题且命题q 为假命题时a 不存在；当命题q 为真命题且命题p 为假命题时a 的取值范围是[1，2].
综上，命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，实数a 的取值范围是[1，2].
错误原因：对命题的真假性判断理解不清。

没有把命题p 与q 的等价命题找出来，导致讨论的问题复杂化。

例4．（理科）集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R， 有f (x ＋T )=T f (x )成立．
（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；
（2）设函数 f (x )= a x
(a ＞0，且a ≠1)的图象与y=x 的图象有公共点，证明：f (x ) = a x
∈M. [思路分析] (1)对于非零常数T ，f (x ＋T)=x ＋T ， T f (x )=T x ．
因为对任意x ∈R，x ＋T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉
(2)因为函数f (x ) = a x
(a ＞0且a ≠1)的图象与函数y=x 的图象有公共点，
所以方程组：⎩⎨⎧==x
y a y x 有解，消去y 得a x
=x ，
显然x =0不是方程a x
=x 的解，所以存在非零常数T ，使a T
=T ． 于是对于f (x )=a x
有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T
x =⋅=⋅==++ 故f (x ) = a x ∈M．
三、巩固训练
1、（03北京卷）设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22
等于（ A ）
A ．}1|{>x x }0|{>x x }1|{-<x x D ．}11|{>-<x x x 或
2．（2002北京，1）满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：C
解析：M ={2，3}或M ={1，2，3}
评述：因为M ⊆{1，2，3}，因此M 必为集合{1，2，3}的子集，同时含元素2，3. 3、全国卷四理．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂=（ ）
A ．{0}
B ．{0，1}
C ．{1，2}
D ．{0，2}王新敞
4. 04湖北卷理．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A ⊄ B ⇔=B A φ ③A ⊄B ⇔A
B ④A ⊄ B ⇔存在x A x ∉∈使得,王新敞
其中真命题的序号是 （把符合要求的命题序号都填上）
5、（2005年北京卷理）设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2
>1}，则下列关系中正确的是 （ C ） （A ）M ＝P （B ）P
M （C ）M P （ D ）
U
M P =∅
6、(2005年湖北卷理)设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}。

若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是 ( B ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
7、04全国卷一理．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（B ） A ．(I C A)∪B=I B ．(I C A)∪(I C B)=I C ．A ∩(I C B)=φ
D ．(I C A) (I C B)= I C B 王新敞
8．（2000广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ A ）
A.15
B.16
C.3
D.4
解析：根据子集的计算应有24
－1=15（个）.
评述：求真子集时千万不要忘记空集∅是任何非空集合的真子集.同时，A 不是A 的真子集. 9．（1996上海，1）已知集合M ＝｛（x ，ｙ）｜x ＋ｙ＝2｝，N ＝｛（x ，ｙ）｜x －ｙ＝
4｝，那么集合M ∩N 为（ ）
A.x =3，y =－1
B.（3，－1）
C.{3，－1}
D.{（3，－1）} 10、（1999全国，1）如图1—1，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所
表示的集合是（ Ｃ ）
A.（M ∩P ）∩S
B.（M ∩P ）∪S
C.（M ∩P ）∩
I
S
D.（M ∩P ）∪
I
S
由图知阴影部分表示的集合是M ∩P 的子集且是I
S 的子集，故答案为Ｃ．
11、（1995全国理，1）已知I 为全集，集合M 、N I ，若M ∩N ＝N ，则（ C ）
A.
I
M ⊇
I
N B.M
I
N C.
I
M
I
N D .M ⊇
I
N
答案：C
解析一：∵M ∩N =N ，∴N ⊆M ，∴
I
N ⊇
I
M
解析二：画出韦恩图1—5，显然：
I
M ⊆
I
N .故选C.
评述：本题主要考查集合的概念和集合的关系，题目中不给出具体集合，对分析问题解决问题能力提高了要求.
12、(2005年湖北卷理)对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：
①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a>b ”是“a 2
>b 2
”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件。

其中真命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
13、（2005年山东卷）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ⊂是()U C A B U ⋃=的（ ）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件 14．已知{3}A x x a =-≤,2
{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的取值范围: (I)A
B =∅; (II)A B B =.
正确答案： (I):(1)a<0,A=,∅∅解当时有A
B=,
{
≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{
B=x x<-8或x>1}
由∅A B=,有
3813a a -+≥-⎧⎨
≥+⎩ 得11
2a a ≤⎧⎨≤-⎩
与≥a 0,矛盾! 故当∅A
B=时,a 的取值范围是(,0)-∞;
(II)解:(1)a<0,A=,∅当时有A
B=B ,
{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}
由A
B=B,必有A B ⊆,得38a +<-或31a -+>得11a <- (舍去)或2a <
得02a ≤<故当A
B=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.
15．（2004·辽宁理科18）设全集U ＝R
（1）解关于x 的不等式01|1|>-+-a x （∈a R ）
（2）记A 为（1）中不等式的解集，集合
B ＝｛0)3
cos(3)3sin(|=-+-
π
ππ
πx x x ｝，若(C U B A )恰有3个元素,
求a 的取值范围．
解：（1）由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得当1>a 时，解集是R ；当1≤a 时，解集是
}2|{a x a x x -><或王新敞
（2）当1>a 时， A C U =φ；当1≤a 时，A C U =}.2|{a x a x -≤≤ 因)3
cos(3)3sin(πππ
π-+-
x x x x x ππ
πππππsin 2]3sin )3cos(3cos )3[sin(2=-+-=王新敞
由Z B Z k x Z k k x x =∈=∈==所以即得,),(,0sin πππ 王新敞
当B A C U )(怡有3个元素时，a 就满足⎩⎨⎧<--≤<4
)2(21
a a a 解得0
1≤<-a 王新敞
图1—1
图1—5
江苏省赣马高级中学高三数学《集合与简易逻辑》作业
1．（2003年上海卷）a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2
+b 1x +c 1>0和a 2x 2
+b 2x +c 2>0的解集分别
为集合M 和N ，那么“
2
1
2121c c b b a a ==”是“M=N ”的（ ） A ．充分非必要条件.
B ．必要非充分条件
.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.
2．（2005年上海市春）若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ”的 ( )
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件 .（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.
3、（1995上海）“ab <0”是“方程ax 2
+by 2
=c 表示双曲线”的（ ）
A .必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件 C.充分必要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件
4（2001上海，3）a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +（a －1）y =a －7平行且不重合的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件
当a =3时，直线l 1：3x +2y +9=0，直线l 2：3x +2y +4=0 显然a =3⇔l 1∥l 2.
5、（2005湖南）集合A ＝｛x |1
1
+-x x ＜0}，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件，
则b 的取值范围可以是（ ）
A ．－2≤b ＜0
B ．0＜b ≤2
C ．－3＜b ＜－1
D ．－1≤b ＜2
6、（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断:①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．
命题：_____. 7．已知集合{}{}
A x x x R
B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇，则a 的取值范围是（ ） A.
01≤≤a B. a ≤1 C. a <1 D. 01<<a
解：易知集合A 满足：-≤≤44x 若a <0 则B =φ，符合A B ⊇
若a ≥0 则集合B 满足33-≤≤+a x a
34A B a ⊇∴-≥- 且a +≤34
∴≤≤01a ∴a 的取值范围为a ≤1 ∴选B
说明：此题极易错选为A ，容易忽略B =φ的情况。

8、（2000上海春，15）“a =1”是“函数y =cos 2
ax －sin 2
ax 的最小正周期为π”的（ ）
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 9、集合},3
sin
|{Z n n y y M ∈==π
的子集的个数有（ ） （A ）无穷多个（B ）32个（C ）16个（D ）8个 正解：D 由题意可知：y=0,
,,2
32
3-
集合M 的元素个数为3个，其子集个数为32=8。

误解：A ，不能正确计算y 值，误认为有无数多个y 值。

10设集合M ={}
0≤-m x x ，}12|{R ，x y y N x
∈-==，若M ∩N =φ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1-≥m B ．1->m C ．1-≤m D ．1-<m 正确答案：C
错因：不能区分集合中元素的形式，把集合当成了点集。

11、命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则 （ ） A.甲是乙的充分非必要条件； B.甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件；
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件. 正确答案：B
错因：想不到及时转换为便于判断的等价命题：非命题甲：2x =且3y =；非命题乙：5x y +=。

12、已知集合{}{}
A x x x R
B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇， 求a 的取值范围。

13、一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要条件
是（ ）
A ．1<a
B ．0>a
C ．1-<a
D ．1>a
14．(03全国)已知.0>c 设P ：函数x
c y =在R 上单调递减.Q:不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q
有且仅有一个正确，求c 的取值范围.
15．（理科）已知数列}a {n 的前n 项和为).R a (n )1a (n S 2
n ∈-+= 设集合
}N n |)n S ,a {(A n n +∈= ,}.R y ,x ,1y x 4
1
|)y ,x {(B 22∈=-=
(1) 求数列}a {n 的通项公式;
(2) 若以集合A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由; (3) “B A 至多只有一个元素”是否正确? 如果正确, 请给予证明; 如果不正确, 请举
例说明.
解: (1)当1n =时, a 1a 1S a 11=-+==…………(1分)
当2n ≥时, )]1n )(1a ()1n [(]n )1a (n [S S a 2
2
1n n n --+---+=-=- ＝2a n 2-+…………(3分) 可见, 当1n =时, 满足上式.
所以, 数列}a {n 的通项公式是)N n (2a n 2a n +∈-+= …………(4分) (2)由数列}a {n 的通项公式是,2a n 2a n -+= 可知数列}a {n 是等差数列.
∴=+=2)a a (n S n 1n 2)a a (n n +, ∴).a a (2
1
n S n n +=…………(6分)
∴点)n S ,a (n n
的坐标满足方程),a x (21
y += ∴点)n S ,a (n n
在直线)a x (2
1
y +=上. 所以, 以集合A 中的元素为坐标的点)n S ,a (n n
均在直线)a x (2
1
y +=上. …………(8分) (3)由⎪⎩
⎪⎨⎧
=-+=4y 4x )a x (2
1y 22, 消去y, 得4a ax 22
--=…………①…………(9分) 当0a =时, 方程①无解, 此时, ;B A ∅= …………(10分)
当0a ≠时, 方程①只有一个解,a
24
a x 2+-= 此时方程组也只有一个解, 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-=a 44a y a
2a 4x 2
2
故上述方程组至多．．
有一解, 所以B A 至多有一个元素…………(12分)。