2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练 三十九 直接证明与间接证明 Word版含解析

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课时分层提升练三十九
直接证明与间接证明
……………………30分钟60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断,其中正确的个数为
( )
①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0;
②a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①假设等式成立,则需a=b=c,不合题意,故错误;②假设全部不成立,则可知a=b=c,不合题意,所以正确;③令a=1,b=2,c=3,此时不符合题意,所以错误.
2.分析法又称执果索因法,若用分析法解决问题“设a>b>c,且a+b+c=0,求证: <a”索的因应是 ( )
A.a-b>0
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)<0
【解析】选 C.<a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔
a2+2ac+c2-ac-3a2<0
⇔-2a2+ac+c2<0
⇔2a2-ac-c2>0
⇔(2a+c)(a-c)>0
⇔(a-b)(a-c)>0.
3.(2019·张家口模拟)已知a,b,c∈(0,2),则(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a 中
( )
A.至少有一个不小于1
B.至少有一个不大于1
C.都不大于1
D.都不小于1
【解析】选 B.假设(2-a)b>1,(2-b)c>1,(2-c)a>1,三式相乘得(2-a)b·(2-b)c·(2-c)a>1,
由a,b,c∈(0,2),
所以0<(2-a)a≤=1,
同理(2-b)b≤1,(2-c)c≤1,
则(2-a)a·(2-b)b·(2-c)c≤1与
(2-a)b·(2-b)c·(2-c)a>1矛盾,即假设不成立,所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能同时大于1,所以至少有一个不大于1.
4.用分析法证明:欲使A>B,只需C<D,这里C<D是A>B的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选 A.分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,所以C<D是A>B的充分条件.
5.若1<x<10,下面不等式正确的是( )
A.(lgx)2<lgx2<lg(lgx)
B.lgx2<(lgx)2<lg(lgx)
C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx2
D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx2
【解析】选D.因为1<x<10,所以0<lgx<1,
于是0<(lgx)2<lgx,lgx2=2lgx>lgx>0.
又lg(lgx)<0,所以lg(lgx)<(lgx)2<lgx2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.等式“=”的证明过程:“等式两边同时乘得,左边=·===1,右边=1,左边=右边,故原不等式成
立”,应用的证明方法是________.(填“综合法”或“分析法”) 【解析】从已知出发,根据公式进行等价变形,直至证得结论,所以是综合法.
答案:综合法
7.如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是
____________.
【解析】a+b>a+b,即(-)2(+)>0,需满足a≥0,b≥0且a≠b.
答案:a≥0,b≥0且a≠b
8.设S=+++…+,则不大于S的最大整数[S]是____________.
【解析】由题意,=1+=1+-,
所以S=+++…+
=1+1-+1+-+…+1+-
=2 014+1-=2 015-,
所以不大于S的最大整数[S]是2 014.
答案:2 014
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若x,y都是正实数,且x+y>.
求证:<4与<4中至少有一个成立.
【证明】假设<4和<4都不成立,
即≥4和≥4同时成立.
因为x>0且y>0,所以2+x≥4y,且2+y≥4x,
两式相加,得4+x+y≥4x+4y,
所以x+y≤,这与已知条件x+y>相矛盾,
所以<4与<4中至少有一个成立.
10.已知a,b∈R,a>b>e(其中e是自然对数的底数),求证:b a>a b. 【证明】因为b a>0,a b>0,所以要证:b a>a b,
只要证:a l n b>b l n a,
只要证>.(因为a>b>e),
取函数f(x)=,因为f′(x)=,
所以当x>e时,f′(x)<0,
所以函数f(x)在(e,+∞)上单调递减.
所以当a>b>e时,有f(b)>f(a),
即>,原不等式得证.
……………………20分钟40分
1.(5分)已知函数f(x)=,a>0,b>0,A=f,B=f(),C=f,则A,B,C的大
小关系是 ( )
A.A≤B≤C
B.A≤C≤B
C.B≤C≤A
D.C≤B≤A
【解析】选A.因为≥≥,又函数f(x)=在(-∞,+∞)上是单调递减函数,
所以f≤f()≤f.
2.(5分)已知b>a>0,且a+b=1,那么( )
A.2ab<<<b
B.2ab<<<b
C.<2ab<<b
D.2ab<<b<
【解析】选B.根据题意得到
=
=(a2+b2)(a+b)=a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab.
因为b>a>0,所以a2+b2>2ab,=<b.
因为a+b=1>2,所以2ab<.
所以1-2ab>1-=,即a2+b2>.
而b-(a2+b2)=b-(1-2ab)=b-1+2ab=-a+2ab=a(2b-1)>0,
所以b>a2+b2.所以b>>>2ab.
3.(5分)命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)
=cos2θ-sin2θ=cos2θ”该过程应用了____________.(填“综合法”“分析法”或“反证法”)
【解析】由证明过程可知,推理的出发点是对同角三角平方关系的运用(即从定理出发),是直接证明中的综合法.
答案:综合法
4.(5分)若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是____________.
【解析】取a=1得P=1+<4,Q=2+>4,
所以P<Q.证明如下:要证P<Q,只要证P2<Q2,只要证2a+7+2)< 2a+7+2,只要证a2+7a<a2+7a+12,只要证0<12,显然0<12成立,所以P<Q成立.
答案:P<Q
5.(10分)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=(n∈N*).
(1)证明:数列是等差数列,并求数列{a n}的通项公式.
(2)设b n=a n a n+1(n∈N*),数列{b n}的前n项和记为T n,证明:T n<.
【解析】(1)由已知可得,当n∈N*时,a n+1=,
两边取倒数得,==+3,
即-=3,所以数列是首项为=2,
公差为3的等差数列,
其通项公式为=2+(n-1)×3=3n-1,
所以数列{a n}的通项公式为a n=.
(2)由(1)知a n=,
故b n=a n a n+1==,
故T n=b1+b2+…+b n
=×+×+…+×==-·.
因为>0,所以T n<.
6.(10分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0<x<c时,f(x)>0.
(1)证明:是f(x)=0的一个根.
(2)试比较与c的大小.
(3)证明:-2<b<-1.
【解析】(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,
所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2,
因为f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的根,
又因为x1x2=,所以x2=,
所以是f(x)=0的一个根.
(2)假设<c,又>0,由0<x<c时,f(x)>0,
知f>0与f=0矛盾,
所以≥c,又因为≠c,所以>c.
(3)由f(c)=0,得ac+b+1=0,
所以b=-1-ac.
又a>0,c>0,所以b<-1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x=-=<=x2=,即-<.
又a>0,所以b>-2,所以-2<b<-1.
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