高中数学第三章不等式本章小结学案含解析新人教A版必修

第三章 不等式
本章小结
一、不等式性质及应用
利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小,可以证明不等式等．另外,作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
[例1] 设a >b >1,c <0,给出下列三个结论： ①c a >c
b
；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③
D ．①②③
[解析] 根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1,∴1a <1
b .又
c <0,
∴c a >c
b
,故①正确． 构造函数y ＝x C ．
∵c <0,∴y ＝x c 在(0,＋∞)上是减函数． 又a >b >1,∴a c <b c ,故②正确． ∵a >b >1,－c >0, ∴a －c >b －c >1.
∵a >b >1,∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c ), 即log b (a －c )>log a (b －c ),故③正确． [答案] D
规律总结 本题考查幂函数单调性的应用,不等式性质的应用,以及对数函数的性质等基础知识,考查分析解决问题的能力,难度适中．
[例2] 设x <y <0,试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． [分析] 比较大小可用作差比较法或作商比较法． [解] 解法一：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2] ＝(x －y )·(－2xy ),
∵x <y <0,∴x －y <0,－2xy <0, ∴(x －y )·(－2xy )>0,
∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． 解法二：∵x <y <0, ∴x －y <0,x 2>y 2>0,x ＋y <0,
∴(x 2＋y 2)(x －y )<0,(x 2－y 2)(x ＋y )<0, ∴0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1,
∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． 二、一元二次不等式的解法
对于可化为一元二次不等式的其他不等式,常包括以下几种类型和解法： (1)分式不等式是利用不等式同解原理将其转化为整式不等式(组)求解的．
(2)指数、对数不等式是利用指数函数或对数函数的单调性,将指数、对数不等式化成等价的代数不等式(组)求解的．
[例3] 解不等式：a (x －1)
x －2
>1(a ≠1)．
[分析] 本题考查分式不等式和含参数的不等式的解法．可先将其转化为整式不等式,再利用解一元二次不等式的知识解之,注意分类讨论．
[解] 原不等式可化为a (x －1)
x －2－1>0,
即(a －1)(x －a －2
a －1)(x －2)>0.①
当a >1时,①即为(x －a －2
a －1)(x －2)>0,
而a －2a －1－2＝－1a －1－1<0. ∴a －2a －1<2,此时,x >2或x <a －2a －1. 当a <1时,①即为(x －a －2a －1)(x －2)<0,
而2－a －2a －1＝a a －1
.
若0<a <1,则a －2a －1>2,此时2<x <a －2
a －1；
若a ＝0,则(x －2)2<0,此时无解；
若a <0,则a －2a －1<2,此时a －2
a －1<x <2.
综上所述：
当a >1时,不等式的解集为{x |x <
a －2
a －1
,或x >2}； 当0<a <1时,不等式的解集为{x |2<x <a －2
a －1}；
当a ＝0时,不等式的解集为∅；
当a <0时,不等式的解集为{x |a －2
a －1
<x <2}．
规律总结 1.在将分式不等式化归为整式不等式的过程中应注意分母的符号,不能冒然将其乘到另一边,正确的方法是移项、通分．
2．本题中,化为含参数的一元二次不等式后,先讨论了二次项系数的符号,再讨论根的大小,解题过程有条不紊,顺理成章．
三、简单的线性规划问题
由于线性规划的知识在现实中应用较为广泛,因此它成为高考的必考内容．又由于它的内容较为单一,因此试题难度不大,多以选择题、填空题的形式出现．
[例4] 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
植面积(单位：亩)分别为( )
A ．50,0
B ．30,20
C ．20,30
D ．0,50
[解析] 线性规划问题利用可行域求最优解．
设种植黄瓜x 亩,韭菜y 亩,则由题意可知 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ∈N ＋，
求目标函数z ＝x ＋0.9y 的最大值,根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l 向右平移,移至点A (30,20)处时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种植30亩,韭菜种植20亩时,种植总利润最大．
[答案] B
规律总结 本题考查线性规划问题,根据题意正确确定约束条件和目标函数是关键,同时考查了灵活运用知识分析、解决问题的能力,难度中等．
四、基本不等式
基本不等式为ab ≤a ＋b 2,其变式为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22,⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值或值域、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
[例5] 若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．24
5
B ．28
5
C ．5
D ．6
[解析] 将已知条件进行转化,利用基本不等式求解．
∵x >0,y >0,由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝1
5
(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x
y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12y
x
＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号),
∴3x ＋4y 的最小值为5. [答案] C
规律总结 本题主要考查基本不等式及其应用,考查转化与化归思想的应用,难度较大． 五、不等式与函数方程的综合应用
不等式、函数、方程联系紧密,相互渗透,尤其是一元二次方程、二次函数和一元二次不等式之间的联系尤为密切,也是高考命题的热点．
[例6] 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ,如果M ⊆[1,4],求实数a 的取值范围． [分析] 求参数的范围主要有函数思想和不等式思想,本题无论用什么思想都必须从条件入手．
[解] 因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集M ⊆[1,4],故M 为空集或[1,4]的非空子集,即关于x 的函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2的函数值恒大于0或函数的两零点在[1,4]内．
所以函数的图象为：
所以Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)<0
或⎩⎪⎨⎪⎧
f (1)＝－a ＋3≥0，
f (4)＝－
7a ＋18≥0，1≤－－2a
2
≤4，
4(a ＋2)－(－2a )2
4≤0，
即Δ＝a 2
－a －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧
3≥a ，
187
≥a ，1≤a ≤4，a 2
－a －2≥0，
所以：－1<a <2或2≤a ≤18
7,
即－1<a ≤18
7
,
所以a 的取值集合为(－1,18
7
]．
规律总结 此问题处理的思路：将不等式解集问题结合不等式与函数的关系转化成相应函数零点问题,进而转化成函数的图象问题,最后由函数图象得到图象上点的位置,将点的位置用代数式刻画,得到关于a 的不等式从而求出参数的范围．。