2019-2020年高三数学第二轮复习函数性质学案

2019-2020年高三数学第二轮复习函数性质学案
一、考试要求：
1 •了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。

2 •从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法.
3 •培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.
二考点扫描
1、奇偶性判断：
1.1确定函数的奇偶性，一般看：①定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系。

常用的方
法有：⑴ 利用函数奇偶性定义判断；(2) 用求和(差)法判断，即看f(-x) ± f(x)与
0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)十f(x)与土1的关系。

1.2 一般性质
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，
②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称，
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称
的两个区间上单调性相同，④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
1 1
f(x) [f(x) f(-X)] •—[f (x)-f(-x)]⑥奇±奇=奇偶土偶=偶奇乂奇=偶偶X偶=偶奇X偶2 2
=奇
2、单调性
2.1判断函数单调性(求单调区间)的方法：
(1) 从定义入手；(2)从导数入手；(3)从图象入手；(4)从熟悉的函数入手
(5)从复合函数的单调性规律入手。

注：先求函数的定义域
2.2、函数单调性的证明：定义法；导数法。

2.3、一般规律
(1 )若f(x),g(x) 均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；(2)若f(x)为增函数，则-f(x)
为减函数；
(3)互为反函数的两个函数有相同的单调性；
(4 )单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。

(5 )单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；
(6)单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的X1、X2具有任意性，不能用特殊值代替。

若求单调区间则应求“极大”区间。

3、抽象函数、函数对称性与周期性的几个结论：
周期性：若存在常数T(T丰0)，使对定义域内任意x都有f(x+T) = f(x),则f(x)叫周期函数，符合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。

①y=f(x)的定义域为R,满足条件f(a+x)=f(b —x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称；
②定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b —f(2a —x)，则y=f(x)关于点(a,b)对称；
③若y=f(x)既关于直线x=a对称，又关于x=b (a* b)对称，贝U y=f(x) 一定是周期函数，
且T=2|a — b|是它的一个周期；
④ 函数f(x)在R 上单调递增，若f(a)>f(b)，则a>b;函数f(x)在R 上单调递减，若f(a)>f(b), 则 a<b; ⑤ f(x+a)=f(x) (a 丰 0) T T=a ; f(x+a)=f(x — b) ---------------- T =a+b ; f(x) 关于直线 x=a 对称，且为偶 函数T T=2a f(x-a)=f(x+a) (a 丰 0) T T=2a ; f(x-a)= -f(x) (a 丰 0) T T=2a ; f(x-a)= -(a
丰 0) T T=2a ；
4.
复合函数.y=f ［g(x)］ 是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的， 1)函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域；
(2)
单调性规律：同增异减 ;
3)奇偶性规律：：若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数；若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是 奇函数； 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数。

三•小题热身
1 •下面四个结论：①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数
的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x € R)，其中正确命
题的个数是 ()A. 1 B .2不 C • 3 D • 4 2 •判断下列函数的奇偶性： (1)
f(x)
= lg(-x);
⑵f(x) = x •;
(3)f(x) = + (4)f(x) = +
3 •求函数的单调区间.
2
「卄
lx +x (x c0) “亠心“
4 •判断f (x)
2
的奇偶性.
[-X +x (XA0)
四•典型例题
f(x) =log 2c. x 2
1 -x) g(x) 2x 且f (-3) =5丄，求 f(3)
8
_ _____ 2
例 2.已知函数 f(x)，当 x<0 时，f(x)=x +2x-1
① 若f(x)为R 上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。

② 若f(x)为R 上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。

在］0, 1］上是x 的减函数，贝U a 的取值范围是(
A. (0 , 1) B . (1 , 2) C • (0 , 2) D • [2 ,
)
(2) 是否存在实数a ,使得f(x)=log a (ax —在区间［2 , 4］上是增函数？若存在，求出 a 的取值 范围；若
不存在，说明理由。

例1已知g(x)是奇函数,
(1)若 y=log(2-ax)
例 5. (xx 广东理科卷 19)设函数 f(x)在(q,七c )上满^(2—x) = f(2 + x),f(7 — x)=f(7 + x), 且在闭区间[0 , 7]上，只有(I)试判断函数的奇偶性；(H)试求方程在闭区间 [—XX , XX]
上的根的个数，并证明你的结论
五•强化训练
1. (xx 河南、广西、广东 7)函数f (x ) =x | x +a |+ b 是奇函数的充要条件是(
)
2 2
A.
ab =0 B.a +b =0 C.a =b D.a +b =0
2. ( 1996上海文，6)若y =f (x )是定义在R 上的函数，贝U y =f (x )为奇函数的一个充要条件
为( )
A.f (x ) =0;
B.
对任意 x € R, f (x ) =0 都成立
C.存在某 x °€ R ,使得 f (X 0) +f
(— X 0) =0 D.对任意的 x € R , f (x ) +f (— x ) =0 都成立
3.
(xx 福建卷)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且则方程 =0在区间(0, 6)内解的个数 的最
小值是()
A . 2
B . 3
C . 4 D. 5
4 •已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。

1 — X
5. (xx.全国I )已知函数 f(x) =lg 若 f(a)二b 则 f(-a)二(
)
1 +x
A. B . C .
D .
6.
( 05天津)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线对称，
则f (1)+ f (2)+
f (3)+ f (4)+ f (5)= ____________________ .
7 .定义在实数集上的函数
f(x)，对任意x , y € R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)
• f(y)且f(0)丰0
①求证：f(0)=1②求证：y=f(x)是偶函数
3x 例 4.已知函数 f(x) 2 (X .0).(1)
X +x +1
(2)若》1, > 1,证明：
试确定函数的单调区间 ,并证明你的结论
x 2 x 4
-
,X 0,
8 (理科)已知函数f(x)二
-
x 2 —x +4
… ,
X ::: 0. L x
(1)求证：函数是偶函数；
⑵ 判断函数分别在区间、上的单调性
，并加以证明
⑶若,求证:.
9 •(理科)函数在上是增函数，求的取值范围.
江苏省赣马高级中学高三数学《函数性质》作业
(xx 年高考•江西卷•理 13文13)若函数f (x) = log n (xx 2 2a 2)是奇函数，则a =_
8 .设f (-)的定义域为关于坐标原点对称的区域，则 f (0)= 0是f (x )为奇函数的()
(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件
(C )充要条件
(D )既不充分也不必要条件
9.设f (-)，则f (0)= 0是f (x )为奇函数的
()
为( )A.
B . C
.2 D . 4
7 . (xx 年咼考•上海卷•理
13文13)若函数，则该函数在上是(
)
A
. 单调递减无最小值 B .单调递减有最小值
C .
单调递增无最大值
D .单调递增有最大值
(xx •湖北) 6 •
2. A . 0 B . 1 3 . ( xx 福建)定义在R 上的偶
(xx •宁夏)设函数为奇函数，则() ( ) A . f (sin)< f (cos)
C. 4. 若的最小正周期是，且当时，，
)
B. C.
若与在区间上都是减函数，则的值范围是(
D.
A .
B .
C .
(0, 1) D.
函数f(x)二a 2 log a (- 1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为 a ,则a 的值
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
10 .函数是奇函数的充要条件是()
2 2
A . ab=0
B . a+b=0
C . a=b
D . a +b =0
11. 的递增区间是_______________ 。

12. 函数( )
(A)是奇函数，不是偶函数(B是偶函数，不是奇函数
(C)既不是偶函数，也不是奇函数(D既是偶函数，又是奇函数
13. 定义在R上的函数y=f(x)，对任意x i, X2都有f(x i+X2)=f(x i)+f(x 2)，判断函数y=f(x)的
奇偶性并证明。

2
14. (xx浙江卷)已知函数f (x)和g(x)的图象关于原点对称，且f (x) = x + 2x.
(I )求函数g(x)的解析式；(n )解不等式g(x) > f(x) - | x-1| ；
(川)若h(x) = g(x) - f (x) + 1在［—1, 1］上是增函数，求实数的取值范围.
14.已知函数f(x) =sin(x •吵• cos(x - v)的定义域为R.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)设，若为偶函数，求的值.
湖北省黄冈中学XX届高三第二轮复习数学第
《函数》学案
一、考试要求：
1 .了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。

2 .从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法.
3 .培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想
方法解决问题的能力.
二考点扫描
1、奇偶性判断：
1.1确定函数的奇偶性，一般看：①定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系。

常用的方
法有：(1)利用函数奇偶性定义判断；(2) 用求和(差)法判断，即看f(-x) ± f(x)与
0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)十f(x)与土1的关系。

1.2 一般性质
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，
②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称，y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关原点对称，
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称
的两个区间上单调性相同，④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
1 1
f(x) [f(x) f(_x)] •—[f (x)-f(-x)]⑥奇±奇=奇偶土偶=偶奇乂奇=偶偶X偶=偶奇X偶
2 2
=奇
2、单调性
2.1判断函数单调性(求单调区间)的方法：
(1)从定义入手；(2)从导数入手；(3)从图象入手；(4)从熟悉的函数入手
(5)从复合函数的单调性规律入手。

注：先求函数的定义域
2.2、函数单调性的证明：定义法；导数法。

2.3、一般规律
(1 )若f(x),g(x) 均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；(2)若f(x)为增函数，则-f(x)
为减函数；
(3)互为反函数的两个函数有相同的单调性；
(4 )单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。

(5 )单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；
(6)单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的X1、X2具有任意性，不能用特殊值代替。

若求单调区间则应求“极大”区间。

3、抽象函数、函数对称性与周期性的几个结论：
周期性：若存在常数T(T丰0)，使对定义域内任意x都有f(x+T) = f(x),则f(x)叫周期函数，符合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。

①y=f(x)的定义域为R,满足条件f(a+x)=f(b —x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称；
②定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b —f(2a —x)，则y=f(x)关于点
(a,b)对称；③若y=f(x)既关于直线x=a对称，又关于x=b (a* b)对称，贝U y=f(x) 一定是周期函数，
且T=2|a —b|是它的一个周期；
④函数f(x)在R上单调递增，若f(a)>f(b)，则a>b;函数f(x)在R上单调递减，若f(a)>f(b), 则a<b;
⑤f(x+a)=f(x) (a 丰 0) T T=a；f(x+a)=f(x —b) -------------- T=a+b；f(x) 关于直线x=a 对称，且为偶
函数T T=2a f(x-a)=f(x+a) (a 丰 0) T T=2a；f(x-a)= -f(x) (a 丰 0) T T=2a；f(x-a)= -(a
丰 0) T T=2a；
4、复合函数.y=f[g(x)] 是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，
1)函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域；(2) 单调性规律：同增异减；
3)奇偶性规律：：若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数；若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数；
若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数。

三•小题热身
1 •下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数
的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x € R)，其中正确命题的个数是()A. 1 B .2不 C • 3 D • 4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误.
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确.
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=O，但不一定x € R,如例1中的⑶，故④错误，选A
说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零.
2判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x) = lg(-x)；⑵f(x) = x •;
⑶ f(x) = + ⑷f(x) = +
解：(1)此函数的定义域为R.
••• f(-x)+f(x) = lg(+x )+lg (-x) = lg1 = 0
••• f(-x) = -f(x)，即f(x)是奇函数。

(2)此函数定义域为{ x | x € R,且x丰0},它关于原点对称。

■/ f(-x) = -x .= -x = x •= f(x)
• f(x)是偶函数。

评述：对于判断奇偶性问题应注意：x为定义域内任意值，因此定义域本身应关于原点对
称，这是奇偶性问题的必要条件•
本题通过确定函数奇偶性，训练学生运算能力，使之具备运算“准确、熟练、快捷、合理”的能力。

4 .求函数的单调区间.
解析：对数的真数大于零，，单调减，内层函数在上单调增，在上单调减。

所以，复合函数的单调增区间为：单调减区间为，
「卄x +x (x c O) “亠心“
5 •判断f (x) 的奇偶性.
[-x2+x (XA0)
2 2
当时，，贝V f ( -x)二-(-X)-x = -(x X)二-f(x),
当时，，贝V f ( -x) = ( -X)2 -x = -(-X2 x) = - f (x), 综上所述，对任意的，都有，•为奇函数.四•典型例题
------ 1
例1.已知g(x)是奇函数，f(x) =log2( • X2 1 -x) g(x) 2X且f (-3) =5—，求f(3)
8
简解：」f(x)=|og2(Px上！-x)+g(x)+2X相加得：
f (-x) = lo
g 2( J x2+1 +x) _g(x) +2 亠
3 _3
■ f(3) = 23 2 - f (-3) =3
例2.已知函数f(x)，当x<0 时，f(x)=x +2x-1
①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。

②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。

< 2
x +2x —1 (x<0)
答案：①可确定，f(x)=*0
(x=0)
—x 2
+2x —1 (x >0)
②不可确定，T x>0时，虽可确定f(x)=x 2
-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。

A . (0 , 1)
B . (1 , 2)
C . (0 , 2)
D . ［2 , )
本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使 log(2-ax)有意义，即a > 0且a 丰1,2-ax > 0 .②使log(2-ax)在［0,1］上是x 的减函数.由于所给函数可分解为 y=logu ,u=2-ax , 其中u=2-ax 在a >0时为减函数，所以必须a > 1;③［0 , 1］必须是y=log(2-ax)定义域的子集.
解法一：因为f(x)在］0, 1 ］上是x 的减函数，所以f(0) >f(1), 即 log2 > log(2-a).
所以f >b
«l<a <2,故选良
［2 - a> 0
解法二：由对数概念显然有 a > 0且a 丰1,因此u=2-ax 在］0, 1］ 上是减函数，y= logu 应为增函数，得a > 1，排除A, C,再令
2 _
刊二测y 二呃的定义域为仟，总)，何0, 1］不是该区间的子集.
故排除D,选B.
说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需 要概念清
楚，推理正确.
(2)是否存在实数a ,使得f(x)=log a (ax —在区间［2 , 4］上是增函数？若存在，求出 a 的取值
范围；若不存在，说明理由。

解：设，则f(x)=log a (at 2
— t)，由对数函数定义，at 2
—1>0
2 1 2 1
T
a>0, t>0 ,.•• t>，又知g(t) =at -t = a(t )
()是以t=为对称轴的抛物线，且，
2a 4a
>1
因而g(t)在定义区间上是增函数，要使原函数在
［2 , 4］上递增，应有 1 .，解之得：a>1,
2
a
•••存在实数a ，只须a>1，即满足条件。

点评：本题的易错点：一是不会对复合函数单调性进行讨论，二是忽视真数在 ［2 , 4］上恒
大于零。

3x
例2.已知函数f(x)二r
(x 0) .(1)试确定函数的单调区间，并证明你的结论；
例3. (1)若y=log(2-ax)在］0, 1］上是x 的减函数，则
a 的取值范围是(
x +x +1
(2)若》1, > 1,证明：
解：(1)函数在区间上是增函数，函数在区间上是减函数• 下面证明：设，则
3x 1
3x 2
二 ~2
…~2
2 2
x 1 x 1
1 x
2 x 2 1 (x 1 x 1 1)(x 2 x 2 1) 2 2
3［(x 1x 2 x 1x 2
x 1^(x 1
x 2 x 1x 2
x 2)］
3[(X 1
X
2
- x 1 x 2
) (x 1
_ X 2
)]
2 2 - (X 1 X 1
1)(X 2 X 2
1)
3( x 2 — X1)(x 1 x 2 — 1) 2 2 ， ..................................................................
(x-i
x 1 1)(x 2 x 2
1)
2
1 2 3
T X 1 X 1 1 = (X 1 ) ,
2 4
•••,同理•又，••• • ............ (4 分)
①当时，,• •••函数在区间上是增函数
②当时，，•••• •••函数在区间上是减函数•
综上所述:函数在区间上是增函数，在区间上是减函数• ............. (6分) (2)由可知，函数在区间上减函数，
•••••• f(xj 乞 f(1) =1,f(X2：Hf(1) =1 ................ (8 分)
又在函数中，•/ 3,
• • • , , • ................ (10 分)
''5
* * ■
• • ........... (12 分) 例5. (xx 广东理科卷19)
设函数f(x)在「：,；)上满足(2-力二f(2 x),f(7-x)二f(7 X)，且在闭区间［0, 7］上，只 有(I)试判断函数的奇偶性；
(n)试求方程在闭区间［—xx , xx ］上的根的个数，并证明你的结论 解：(I)由于在闭区间［0 , 7］上，只有，故.若是奇函数，则，
矛盾.所以，不是奇函数.
由 f(2—x)二 f(2 x),=
f(x) = f(4—x),= f (7 -x)二 f(7 x) 一 f(x)二 f (14-x) —
,从而知函数是以为周期的函数.
若是偶函数，则•又f(-1) = f (-1 • 10) = f (9)，从而.
由于对任意的(3,7］上，，又函数的图象的关于对称， 所以对区间［7 , 11) 上的任意均有.所 以，，这与前面的结论矛盾.
所以，函数是非奇非偶函数.
(II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间(0, 10)有且只有两个解，并且 •由于函数是以为周期的函数，故•所以在区间
［—xx,xx ］上，方程共有个解.
(1分)
2 2
3x 1 (x 2 x 2 1) -3x 2
(x !
x 1 1)
2 2
(x-i
x 1 1)(x 2 x 2 1)
3[(X 1X 2(X 2 - X 1)-(X 2 -xj]
(3分)
f (4-x)二 f(14-x)
在区间［xx,xx］上，方程有且只有两个解.因为
f(2001) =f(1)=0, f(2003) =f(3) =0 ,
所以，在区间［xx,xx］上，方程有且只有两个解.
在区间［-xx, - xx］上，方程有且只有两个解.因为
f (-2009) = f (1) = 0, f (-2007) = f (3) = 0 ,
所以，在区间［—xx, —xx］上，方程无解.
综上所述，方程在［—xx,xx］上共有802个解.
五•强化训练
1. (xx河南、广西、广东7)函数f (x) =x| x+a|+ b是奇函数的充要条件是( )
2 2
A.ab=0
B.a+b=0
C.a=b
D.a+b=0
解析：若a2+b2=0, 即卩a=b=0 时，f (—x) = (—x) | x+0|+0= —x| x|= —f (x)
••• a2+b2=0是f (x)为奇函数的充分条件.
又若f (x)为奇函数即f (—x) = —x| ( —x) +a|+b=—( x| x+a|+ b),贝U
必有a=b=0,即a2+b2=0,「. a2+b2=0是f (x)为奇函数的必要条件.
2. ( 1996上海文，6)若y=f (x)是定义在R上的函数，贝U y=f (x)为奇函数的一个充要条件
为(
A. f (x) =0;
B. 对任意x€ R, f (x) =0都成立
C. 存在某X o€ R,使得f (X o) +f (—X o) =0］
D. 对任意的x€ R, f (x) +f (—x) =0都成立
.答案：D
解析：由奇函数定义可知：若f (x)为奇函数，则对定义域内任意一个X,都有f ( —x) =—f (x), 即卩 f (—x) +f (x) =0,反之，若有f (x)+f ( —x) =0,即f (—x) =—f (x),
由奇函数的定义可知f (x)为奇函数.
3. (xx福建卷)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间(0, 6)内解的个数的最小值是()A. 2 B. 3C. 4D. 5
4 •已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。

分析：用f(-x)=-f(x) (x € R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1,
1 — x
5. (xx.全国I )已知函数f(x) =lg 若f(a)=b.则f(-a)=( )
1 + x
A B. C . D .
6. ( 05天津)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+
f (3)+ f (4)+ f (5)= _____________________ .
解析：f(x)是定义在R上的奇函数，说明原点是一个对称中心，图象又关于直线对称，所以点(1, 0)也对称中心，可以以正弦函数图像为例，判断其周期是2, f (1)= f (2)= f (3)=
f (4)= f (5)=0。

则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=__0.
7. 定义在实数集上的函数f(x)，对任意x, y€ R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x) • f(y)且f(0)丰0
①求证：f(0)=1②求证：y=f(x)是偶函数
证：①令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f (0) •/ f(0)工0 • f(0)=1
综上所述,对于，都有，•函数是偶函数 ......... (4分)
2
x + x + 4
4 (2) 当时，f (X)二 _ - _ 二 X _
1，
x
x
设，则 f(X 2)-f(xj 2
-(x i x
2 -
4)
......................... (6 分)
x 1 x 2
当时，；当时，，
•函数在上是减函数，函数在上是增函数 .... .... (8分) (3) 由⑵知，当时，， .......... (9分) 又由⑴知，函数是偶函数，•当时，， .............. (10分) •••若，，则，， (11 分) •，即 ...... (12 分)
9.函数在上是增函数，求的取值范围.
分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：①对任意的总有；②当时，恒成立. 解：•••函数在上是增函数，•对任意的有 a
a
，即 log 9(x 1 8
) - log 9(X 2 8 )，得，即 X 1
X 2
要使恒成立，只要； 又•••
函数在上是增函数，
•••， 即，综上的取值范
围为.
另解：(用导数求解)令，函数在上是增函数, •在上是增函数，， •••,且在上恒成立，得.
②令 x=0，则 f(y)+f(-y)=2f(0)
-f(y) • f(-y)=f(y)
••• y=f(x)是偶函数
0,
8.已知函数f (x)二
x 2
x -x 4
：
(1) ⑵ ⑶ 解：⑴ f(x)
求证：函数是偶函数 判断函数分别在区间、 若，求证:.
当时，，贝U
2
x x 4
上的单调性 ,并加以证明；
f (x)二
,f(-X )
2
(-x) -(-x) 4
x
(2分) (-X)
则
x 2 -x 4
,f(-x)
(-x)2 (-x) 4 (-x)
江苏省赣马高级中学高三数学《不等式》作业
1. (xx年高考•江西卷•理13文13)若函数f(X)二log n(x • ••. x22a2)是奇函数，则a=_
2. ( xx •宁夏)设函数为奇函数，则()
A . 0
B . 1
C .
D . 5
3 . ( xx •福建)定义在R上的偶函数满足，当时，贝U ( ) A. f (sin)< f (cos)
B. f (sin1)> f(cos1)
C. f (cos)< f (sin) D . f (cos2)> f (sin2)
4. ( xx •天津• 12)定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，
则的值为( )
A B. C. D.
5 . ( xx •湖南)若与在区间上都是减函数，则的值范围是( )A . B . C . ( 0, 1) D.
6. (xx •湖北)函数f(x^a2 log a(x - 1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a的值
为( )A. B . C.2 D . 4
7 . (xx年咼考•上海卷•理13文13)若函数，则该函数在上是( )
A
.单调递减无最小值 B .单调递减有最小值
C .单调递增无最大值
D .单调递增有最大值
8 .设f (x)的定义域为关于坐标原点对称的区域，则 f (0)= 0是f (x)为奇函数的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
正确答案：(D)
错因分析：f (x)为奇函数，在0属于定义域内的值时，则有 f (0)= 0。

而定义域为关于坐
标原点对称的区域，并不能提供上述“0属于定义域内的值”条件，如； f (0)= 0不能说明f
(x )为奇函数，如定义域为。

注意和下列问题相比较。

9.设f (x)，则f (0)= 0是f (x)为奇函数的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
正确答案：(C)
原因分析：f ( x)的图像本身是中心对成图形， f ( 0)= 0说明原点是其中的一个对成中心，f (x)是奇函数；f ( x)为奇函数，图像必过原点， f (0)= 0。

10 .函数是奇函数的充要条件是()
2 2
A . ab=0
B . a+b=0
C . a=b
D . a +b =0
正确答案：D
原因分析：不知道是一种恒等式。

不知道运用 f ( 0)= 0解题。

11.的递增区间是_________________ 。

12 .函数( )
(A)是奇函数，不是偶函数(B是偶函数，不是奇函数
(C)既不是偶函数，也不是奇函数(D)既是偶函数，又是奇函数
13 .定义在R上的函数y=f(x)，对任意X1, X2都有f(x 1+X2)=f(x J+f(x 2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。

解：令X1=X2=0 贝U f(0)=f(0)+f(0) /• f(0)=0
令X1=x x 2= -x 贝V f(0)=f(x)+f(-x) /• f(-x)= - f(x) /• y=f(x)是奇函数
. . 2
14 . (xx年高考•浙江卷)已知函数f (x)和g(x)的图象关于原点对称，且 f (x) = x + 2x .
(I )求函数g(x)的解析式；
(n)解不等式g(x)>f(x)-1 x-1| ；
(川)若h(x) = g(x) - f (x) + 1在［—1, 1］上是增函数，求实数的取值范围. 解：(I )设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
2 ，即x° 一x,
'口=o 以… .2 '
•••点在函数的图象上
二-y = x -2x,即y =-x 2x,故g x =-x 2x
(n )由g(x f (x)—x—1 ,可得2x2— x—1 兰0
当时，，此时不等式无解
当时，，解得
因此，原不等式的解集为
__ 2
(川)h x = - 1 • 2 1-‘仁x • 1
①当，=_1时，h x =4x 1 在I -1,1上是增函数，
②当二7时，对称轴的方程为x = -------- .
1 +扎
i)当「：：_1 时,1 _一1,解得■ :：: -1.
1 +丸
ii)当■-1 时,—-1解得 -仁「_0.
1 +K
14.已知函数f(x) = sin(x • v) • cos(x - r)的定义域为R.
(1) 当时，求的单调递增区间；
(2) 设，若为偶函数，求的值.
», , H Tl f—Tl
解：(1) 当时，f (x)二sin(x —) cos(x ——)=■- 2 sin(x —)（3
分）
2 2 4
由2k x 2k , k 三Z,知2 k 二-3 x _ 2 k , k 三Z,
2 4 2 4 4•••的单调递增区间是，……（6分）
⑵•••为偶函数，•对任意有
•sin（ _x 二）cos（—x _ 二）=sin（x ：：：■；■）- cos（x - v）……（8 分）
•2si n x COST 2 si nx si n v - 0, • 2.2 sin x si n（）=0,……（10 分）
4
•••不恒为0, •又，•••或.……（12分）。