高考等值试卷★预测卷(全国III卷) 数学文(word版)

2020届重庆市南开中学高考冲刺预测卷
文科数学（全国Ⅲ卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={x |x 2
≤x }，B ={x ||x |≥1}，则A ∩B = A ．∅ B ．[01]，
C ．{1}
D ．()-∞+∞， 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1+i)=2i ，则z =
A ．2
B ．1+i
C ．-1+i
D ．1-i
3．改革开放40年来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．有研究所统计了近些年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是
A ．2012年——2018年空气净化器的销售量逐年在增加
B ．2016年销售量的同比增长率最低
C ．与2017年相比，2018年空气净化器的销售量几乎没有增长
D ．有连续三年的销售增长率超过30%
0% ♦ 空气净化器销售量（万台）
同比增长率（%）
4．下列函数是奇函数且在R 上是增函数的是
A ．()sin f x x x =
B ．2()f x x x =+
C ．()e x f x x =
D ．()e e x x f x -=- 5．“0<x <1”是“sin x 2
<sin x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知椭圆E ：22221x y a b
+=(a >b >0)
，A 、B 分别为E 的左顶点和上顶点，
若AB 的中点的纵坐标为1
2
，则E 的方程为
A ．2214x y +=
B ． 22
132
x y
+= C ．22143x y += D ．2
213
x y += 7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的
建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为
A ．8
3
+4π
B ．8
3
+8π
C ．8+4π
D ．8+8π
8．
将函数()sin 22f x x x =+的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点(8
π
，1)，则ϕ的最小值为 A ．
512
π
B ．712π
C ．524
π
D ．
724
π
9．已知双曲线22221x y a b
-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 2+y 2=a 2
的切线，
交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45º，则双曲线的离心率为
A ．2
B ．3 C
D
10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，
则该正四面体模型棱长的最大值为 A ．2
B
．．4 D
．11．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |2
+|OA |2
=20，若平面内
点P 满足3PB PA =u u u r u u u r
，则|PO |的最大值为
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
12．已知函数2()2ln f x x x m x =--(m ∈R )存在两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，1
()()e 2
x g x x =-，
则12()g x x -的最小值为
俯视图
主视图
左视图
A ．21
e -
B
．．21e D
二、填空题：本大题共4小题 每小题5分，共20分。

13．已知函数2log 1()(3)1x x f x f x x >⎧=⎨
+≤⎩
，，
，，则(2)f -=________．
14．已知向量a ，b 的夹角为45º，若a =(1，1)，|b |=2，则|2a +b |=________．
15．设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≥-⎩
，
，且z =x +ay 的最大值为7，则a =________．
16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a cos C -c cos A =3
5
b ，则tan(A -C )
的最大值为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：（共60分） 17．（本小题满分12分）
设等比数列{a n }的公比为q ，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，且S 3=4a 2-1，q >1．
（1）求{a n }的通项公式； （2）记数列{
n
n
a }的前n 项和为T n ，若4-T n =(n +2)S n 成立，求n ． 18．（本小题满分12分）
第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组[1525)，，第2组[2535)，，第3
组[3545)，，第4组[4555)，，第5组[5565)，，得到的频率分布直方图如上图所示．
（1）求a ；
（2）现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？
)
附：
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，n =a +b +c +d ． 19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ADE -BCF 中，侧面ABCD 是为菱形， E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点．
（1）求证：AC ⊥CF ；
（2）若∠BAD =60º，AE =AB =2，求四面体B -CEF 的体积． 20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 经过定点F (0，1)且与直线y +1=0相切，记动圆M 的圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，OM 、ON 的斜率分别为k OM ，
k ON ，且满足k OM ·k ON =1
2
-，△OMN 的面积为8，求直线l 的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数()(1)2ln f x a x x =-+(a ∈R )在定义域上满足()f x ≤0恒成立． （1）求实数a 的值； （2）令()()f x ax
g x x x a
+=⋅
-在()a +∞，上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，P (2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点Q (ρ，θ)(0≤θ≤π)为C 上的动点，M 为PQ 的中点．
（1）请求出M 点轨迹C 1的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为A (1，π)，若直线l 经过点A 且与曲线C 1交于点E ，F ，弦
EF 的中点为D ，求
AD
AE AF
⋅的取值范围．
23． [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a >0，b >0．
（1）若关于x 的不等式|x +3|-|x -1|≤a 2
-3a 对任意实数x 都成立，求实数a 的最小
A B
C
D
E
F
O
值；
（2
．
2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷
文科数学（全国Ⅲ卷）参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共60分．
1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B 11．C 12．B 二、填空题：每小题5分，共20分．
13．2 14．
15．-5 16．3
4
三、解答题：共70分．
17．解：（1）∵ a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，
∴ 4a 2=a 1+2+a 3+1= a 1+a 3+3，
即 4a 1q =a 1+a 1q 2
+3，①…………………………………………………………………2分 由S 3=4a 2-1可得a 1+a 1q +a 1q 2
=4a 1q -1，即a 1-3a 1q +a 1q 2
+1=0，②…………………3分 联立①②及q >1解得a 1=1，q =2，
∴ 12n n a -=．……………………………………………………………………………5分 （2）T n =
0121
1232222
n n
-+++⋅⋅⋅+， 12T n =1231123122222n n n n
--+++⋅⋅⋅++，
两式作差得12T n =0121111122222
n n n -+++⋅⋅⋅+-
=1
122212212
n n n n n -
+-=--， 于是1
2
42n n n T -+=-
．……………………………………………………………………8分 又∵ S n = 122112
n
n -=--，……………………………………………………………10分
∴ 4-T n =(n +2)S n 可化为
1
1
212
n n -=-，即12(21)1n n -⋅-=， 可变形为2(2)220n n --=，整理得(22)(21)0n n -+=，
解得n =1．………………………………………………………………………………12分 18．解：（1）∵ 0.010×10+0.015×10+0.030×10+a ×10+0.010×10=1，
∴ a =0.035．…………………………………………………………………………… 3分
（2）由题意可知从第1A 1，A 2，
从第2B 1，B 2，B 3．……………………5分
从这5人中随机抽取2人的所有情况有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，
B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10种．
这两人恰好属于不同组别有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，
B 3)，共6种．
∴ 所求的概率为P 8分 （3）选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：200×0.010×10=20人，第2组：200×0.015×10=30人， 第3组：200×0.035×10=70人，第4组：200×0.030×10=60人， 第5组：2000.010×10=20人，
∴ 青少年组有20+30+70=120人，中老年组有200-120=80人，
∵ 参与调查者中关注此问题的约占80%，即有200×(1-80%)=40人不关心民生问题， ∴ 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人． 于是得2×2列联表：
10分
∴ 22
200(90107030) 4.68751604080120
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯<6.635，
∴ 没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关．…………………………………12分 19．（1）证明：如图，连接AC ，易知AC ∩BD =O ．
∵ 侧面ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ．
又由题知EO ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴ EO ⊥AC ，
而EO ∩BD =O ，且EO ，BD ⊂面BED ， ∴ AC ⊥面BED ． ∴ AC ⊥ED ． ∵ CF //ED ，
∴ AC ⊥CF ．……………………………………………………………………………6分 （2）在菱形ABCD 中，∠BAD =60º，AB =2， 可得BD =2，OA =OC
． 在Rt △OAE 中，AE =2，得OE =1． ∴ V E -BCD =13×S △BCD ×OE =13×
1
2×BD ×OC ×OE =13×12
×2
×
．
又∵ V E -BCD = V B -CDE ，且在平行四边形CDEF 中，S △CDE =S △CEF ， ∴ V B -CEF = V B -CDE
． ∴ V E -BCF = V B -CEF
． 即四面体E -BCF
的体积为
3
． ……………………………………………………12分 20．解：（1）由题意知，M 到定点F (0，1)的距离与到定直线y =-1的距离相等， ∴ M 的轨迹C 为抛物线，其中焦点F (0，1)，准线为l ：y =-1． 设其方程为x 2
=2py (p >0)，于是
12
p
=，即p =2， ∴ C 的方程为x 2=4y ．…………………………………………………………………4分 （2）由题意知，l 的斜率必然存在． 设l ：y =kx +b (b ≠0)，
A
B
C
D
E
F
O
联立2
4y kx b x y =+⎧⎨
=⎩，，
消去y 得x 2
-4kx -4b =0． Δ=(4k )2
+16b >0． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
于是x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4b ， ……………………………………………………………7分 ∴ y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2
x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2
=b 2
．
∵ k OM ·k ON =
212121
442
y y b b x x b ==-=--， 解得b =2．………………………………………………………………………………9分 故直线l 的方程为y =kx +2， ∴ 直线l 恒过定点R (0，2)． 则△OMN 的面积为S △OMN =
1
2
|OR |·|x 1-x 2|=8， ∴ |x 1-x 2|=8，……………………………………………………………………………10分
即|MN |=21212()464x x x x +-=， ∴ k 2
+b =4，
即k 2
+2=4，解得k 2
=2，即k
=
∴ 直线l
x -y +2=0
x +y -2=0．……………………………………12分
21．解：（1）()f x 的定义域为(0)+∞，，且22()ax
f x a x x
-'=
-=
， …………………1分 当a ≤0时，()f x '>0，故()f x 在(0)+∞，上单调递增，
由于(1)=0f ，所以当1x >时，()(1)0f x f >=，不合题意．………………………2分
当0a >时，2
()
()a x a f x x
--'=
， ∴ 当20x a <<
时，()0f x '>；当2
x a
>时，()0f x '<， 所以()f x 在2
(0)a
，上单调递增，()f x 在2()a +∞，上单调递减，
即max 2
()()f x f a
=22ln22ln a a =-+-．
所以要使()f x ≤0在(0)+∞，时恒成立，则只需max ()f x ≤0，
亦即22ln22ln a a -+-≤0．…………………………………………………………3分 令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则22
()1a a a a
ϕ-'=-
=
， ∴ 当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>， 即()a ϕ在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．
又(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =．…………………………………5分 （2）由（1）知a =2，()222ln f x x x =-+， ∴ ()()f x ax g x x x a +=⋅-22ln (2)2
x x x
x x +=>-，
于是2
2(2ln 4)
()(2)
x x g x x --'=
-．…………………………………………………………6分 令()2ln 4s x x x =--，则22
()1x s x x x
-'=-
=
， 由于2x >，所以()0s x '>，即()s x 在(2)+∞，上单调递增； 又(8)0s <，(9)0s >，
∴ 0(89)x ∃∈，，使得0()0s x =，即002ln 4x x =-， 且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在0(2)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增． ∴ min
0()()g x g x =000022ln 2
x x x x +=
-2
00
0022x x x x -==-．……………………………10 分 即0m x =，
∴ 0()()f m f x =000222ln 2(1110)x x x =-+=--∈--，，
即11()10f m -<<-．…………………………………………………………………12分 22．解：（1）∵ C 的直角坐标方程为x 2+y 2
=4，…………………………………………1分
∴ 点Q (x 0，y 0)满足x 2+y 2=4(y ≥0)． …………………………………………………2分
设M (x ，y )，则00222
x y
x y +=
=，，即x 0=2x -2，y 0=2y ，
∴ (2x -2)2+(2y )2
=4(y ≥0)，
整理得C 1的轨迹方程为(x -1)2
+y 2
=1(y ≥0)．…………………………………………5分 （2）直线l 过点A (-1，0)，
所以直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩，，
(θ为参数，θ为倾斜角，[0)6π
θ∈，)
代入C 1：24cos 30t t θ-+=，
则1212
4cos 3t t t t θ+=⎧⎨=⎩，
，
∴ 12
12||2cos 22
]
||||33
t t AD AE AF t t θ+==∈⋅⋅，． ……………………………………10 分 23．解：（1）∵ |x +3|-|x -1|=|x +3|-|1-x |≤|(x +3)+(1-x )|=4， ……………………………3分
∴ a 2
-3a ≥4，
解得a ≥4，或a ≤-1（舍去）．
∴ a 的最小值为4．……………………………………………………………………5分 （2）∵
+
≥0
∴
)．…………………………………………………………10分。