2021年高三上学期一调考试理数试题 含解析

2021年高三上学期一调考试理数试题 含解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项
是符合题目要求的.
1.集合，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
考点：集合的运算
2.设，则的大小关系是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
试题分析：由对数函数和指数函数的性质可得
0.90.80.8 1.1log 0.9log 0.81,log 0.90, 1.11a b c =<==<=>
故，选C
考点：对数函数和指数函数的性质
3.已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：在上为增函数，故
()22
2202
112020
x x x x
f x a a a x x x
++
<⇔<⇔<⇔+<⇔-<<，则使成立的一个充分不必要条件是
考点：指数函数的性质，充分不必要条件
4.已知函数，则的值等于（）
A． B． C． D．0
【答案】C
考点：由函数解析式求函数值
5.曲线与轴所围图形的面积为（）
A．4 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】
试题分析：曲线与轴所围图形的面积为
3
22
2
3
2
cos cos sin sin3
2
2
S xdx xdx x x
ππ
π
π
π
π
=-=-=
⎰⎰
考点：倒计时的几何意义及其运算
6.函数的图像与函数的图像（）
A．有相同的对称轴但无相同的对称中心
B．有相同的对称中心但无相同的对称轴
C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴
【答案】A
考点：三角函数的对称轴，对称中心
7.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由图可知，函数的渐近线为，排除C，D，又函数在上单调递减，而函数在在上单调递减，在
上单调递减，则在上单调递减，选A
考点：函数的单调性，渐近线
8.设是奇函数，对任意的实数，有，且当时，，则在区间上（）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】B
考点：函数的单调性
9.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则的单调递增区间是
（）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【解析】
试题分析：因为函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以函数的周期为6，所以并且函数的时取得最大值，所以函数的单调增区间为．故选A．
考点：由的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性
10.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：函数恒成立问题
11.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
试题分析：设()()()()(),()()1x x x x x g x e f x e g x e f x e e f x f x '''=-=-=+-⎡⎤⎣⎦， ，函数在定义域上单调递增，，又
()00(0)020*******,()(0)0g e f e g x g x =-=-=∴>⇒>，选B
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，属于中档题．解题时结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，这里主要还是构造新函数，通过新函数的单调性解决问题，这种方法要注意体会掌握
12.设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
考点：利用导数研究函数的性质 【名师点睛】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，属中档题.其中关键点有两个，一是由为的极值点，可得到，另一个就是由可得当最小时，最小，而最小为，进而得到不等式，解之即可.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.若非零向量满足，则向量与的夹角为
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示，设，∵两个非零向量满足，则四边形ABCD 是矩形，且 1 236
AB cos BAC BAC OAB OAD AC ππ==∠∴∠=∠=∴∠=，，．而向量与的夹角即为，故向量与的夹角为
考点：向量的夹角的计算
14.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”，若给定函数，则下列结论不成立的是： .
①； ②；
③； ④
【答案】②
考点：分段函数
15.已知是定义在上的周期为3的函数，当时，.若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是
【答案】
考点：根的存在性及根的个数判断．
16.已知分别是的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为
【答案】
【解析】
试题分析：由题意中，，由正弦定理可得，
()()()2222222
4124cos 2222b c a b c bc b a b c b c b c bc A bc bc bc +-+-+-=-⇒+-=∴====
.再由，利用基本不等式可得
，当且仅当时，取等号，
此时，为等边三角形，它的面积为
考点：正弦定理，余弦定理，三角形的面积，基本不等式
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．由条件利用正弦定理可得．再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，当且仅当时，取等号，此时，为等边三角形，从而求得它的面积 的值．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知，命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）或.
考点：复合命题的真假；函数单调性的性质．18.在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角的取值范围；
(2)若，的面积，为钝角，求角的大小.
【答案】（Ⅰ）(2)
（2）由（Ⅰ）及得，又因为，所以，从而，因为为钝角，故.
由余弦定理，得2
762
12212cos1221223
12
c
π⎛-
=+-⋅=+-⋅=+
⎝⎭
，
故.
由正弦定理，得，因此.
考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数
19.已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求过点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）若在（0,1）上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
（Ⅱ）由得， 令()()()()()2222111111,'1x x x x x x e e x x e e h x x h x x x x x x x
-+----==+-=--= 令()()()()1,'1,0,1,'10,x x x k x x e k x e x k x e =+-=-∈∴=-<在为减函数，∴，又∵
()()()
22
1110,0,'0x x x e x x h x x -+--<>∴=>. ∴在为增函数，，因此只需
考点：利用导数研究函数的性质
20.已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为-4.
（1）求实数的值；
（2）设，函数.若对任意，总存在，使，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）或.
考点：利用导数研究函数的性质
21.已知函数()()323257,ln 22
f x x x ax b
g x x x x b =+++=+++，（为常数）. （1）若在处的切线过点（0，-5），求的值；
（2）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；
（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2) （3）
【解析】 试题分析：（1）由求导公式和法则求，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把代入求出切点坐标，代入求出的值；
(2)求出方程的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数的取值范围；（3）求函数以及定义域，求出，利用导数和极值之间的关系将条件转
（Ⅲ），所以.因为存在极值，所以在上有限，即方程在上有限，则有.显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正跟.记方程的两根，则，
()()()()()222
2
1212121211ln ln 1ln 5ln 2422a a F x F x a x x x x x x +=+-+-+=-+->-，解得，满足，又，即，故所求的取值范围是.
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等.
22.已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；
（3）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21,24123++n n n n N n n n
+--+⋅⋅⋅<∈≥+. 【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
试题解析：（1），由，列表如下：
1
+ 0 - 单调递增 极大值1 单调递减
因此增区间，减区间，极大值，无极小值.
（2）因为，()()()ln 11
ln 1111x x k kx k f x k x -+-++≤⇔≤⇔-≤-，所以，
考点：利用导数研究函数的性质，数列求和
【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，数列求和等知识，属难题．解题时利用到恒成立问题的等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法，利用研究证明的结论证明不等式，同时应用到“累加求和”、“裂项求和”、“放缩法”等方法，要求有较高推理能力与计算能力，25375 631F 挟38154 950A 锊034220 85AC 薬23058 5A12 娒36899 9023 連!d20741 5105 儅737261 918D 醍33774 83EE 菮,|。