浙江省宁波市金兰教育合作组织2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题含答案

晨鸟教育
绝密★考试结束前
2020 学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟．
3．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数
字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
参考公式：
台体的体积公式锥体的体积公式
V 1 S S S S h 1
V Sh
1 1
2 2
3 3
其中，分别表示台体的上、下底面积，表示其中表示锥体的底面积，表示锥体的高S S h S h
1 2
台体的高球的表面积公式
柱体的体积公式V Sh S4R2
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高其中R表示球的半径
选择题部分（共40 分）
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．下列命题中，为真命题的是（）
A．若a//b，b//c，则a//c B．若a(1, 2,1) ，则a 6
C．若a(1, 1, 1) ，b(2, 2, 2)，则a b D．若a b0 ，则a0或b0
2．圆上的点到直线距离的最小值是（）
x2 y2 2x2y10 x y 4
A．1 2 2 B．2 C．2 2 1 D．1 2
3．如图，四边形A B C D为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图，若A B 2 ，则原正方形ABCD 的面积是（）
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A．4 B．2 C．1 D．16
4．已知向量a(2, x,2) ，b(1,1, 2) ，若a b，则x的值是（）
A． 2 B．2 C．3 D． 3
5．下列命题：①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；②一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；③棱台的相对侧棱延长后必交于一点；④棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．其中为真命题的是（）
A．①B．②C．③D．④
6．使不等式x2 2x 3 0成立的一个充分不必要条件是（）
A．x 2 B．x0 C．x0 或x 2 D．x1或x 3
7．在空间中，A(1,1, 2) ，B(3,3, 2)，C(2, 6, 2) ，则ABC大小为（）
A．45B．60C．90D．135
8．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”ABC A B C AC BC AA AB
，，若，当“阳马”体积最大时，“堑堵”
1 2 B A ACC 1 1
1 1 1
ABC A B C
的表面积为（）
1 1 1
A．4 4 2 B．6 4 2 C．8 4 2 D．8 6 2
9．已知圆M：(x1)2 (y2)2 5和点P(3, 5) ，过点P做圆M的切线，切点分别为A、B，则下列
命题：①k k4；②PA 2 2 ；③AB所在直线方程为：2x3y13 0 ；④△PAB外接圆的PA PB
方程为x2 y2 4x7y13 0 ．其中真命题的个数为（）
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在矩形ABCD中，AB 2 ，BC 1，E、N分别为边AB、BC的中点，沿DE将△ADE 折起，点A折至A处（A与A不重合），若M、K分别为线段A D、AC的中点，则在△ADE折起过
1 1 1 1
程中（）
A．DE可以与AC垂直
1
B．不能同时做到MN// 平面A BE且BK// 平面
1 A DE 1
C．当时，平面MN A D MN
1 A DE 1
D．直线，与平面所成角分别为、，、能够同时取得最大值
A E BK BCDE
1 1
2 1 2
非选择题部分（共110 分）
一、填空题；本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
11．在正方体中，异面直线与所成角的大小是______．
ABCD A B C D AC
BC 1
1 1 1 1
12．已知直线：与圆心为，半径为的圆相交于、两点，则圆的方程l3x y 6 0 M(0,1) 5 M A B M
1
为______，AB ______．
13．已知A(1,0, 2)，B (1,3,1) ，点M为z轴上一点，且满足M A M B，则点坐标为______．关
M A
于M的对称点的坐标为______．
14．函数 1 1与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的取值范围是y x2 y k(x2) k
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______．
15．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm）．此几何体的表面积为______ c m2 ，；此几
何体的体积为______ c m3 ．
16．若命题“方程x2 mx 3 0 在1, 2上有解”为假命题，则m的取值范围是______．
17．已知在棱长为12 的正四面体ABCD的内切球球面上有一动点P，则PA的最小值为______，1
PA PB
的最小值为______．
3
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知命题p：实数x满足x2 5x 6 0，命题q：实数x满足m 2 x m2．
（1）当m5时，若“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19．三棱柱中，侧棱与底面垂直，， 1 2，、分别是ABC A B C ABC90AB BC BB M N
1 1 1
AB、的中点．
AC
1
（1）求证：MN// 平面BB C C；
1 1
（2）求MN与平面AAC C所成角的大小．
1 1
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20．已知圆：，圆：．
C x2 y2 2x0 C x2 y2 4x2my2m2 0
1 2
（1）求m的取值范围并求出半径最大时圆C的方程；
2
（2）讨论圆和圆的位置关系，并说明理由．
C C
1 2
21．如图，四棱锥P ABCD的底面是菱形，AB 2 ，，侧面底面，且
DAB PAB ABCD△PAB
3
是正三角形．
（1）求证：PD AB；
（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
22．已知直线x2y 2 0 与圆C：x2 y2 4y m0 相交，截得的弦长为2 5 ．
5
（1）求圆C的方程；
（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数y x2 的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线MN 与圆C相切；
（3）若函数图象上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，判断直y x2 P Q R PQ PR C
线QR与圆C的位置关系，并加以证明．
2020 学年宁波金兰合作高二上期中试卷试题
参考答案
一、1．B 2．C 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．D
二、11．6012．x2 (y1)2 5 ；10 13．(0, 0,3)；(1,0,8)
424 8 5 8 2 64
14．, 1 15．；16．(,2 3) (4,)
3 3
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17．PA的最小值为4 6 2 6 2 6 ；PA 1 PB的最小值为4 33 ．
3 3
18．解：（1）由题意p：1x 6 ，命题q：3 x7 ，因为“p且q”为真，所以p，q都为真命题，得x3, 6．
1m 2 （2）因为p是q的必要不充分条件，则x m 2 x m2是x1x6的真子集，所以，
m 2 6
所以m1, 4．
19．解1：（1）连接BC，，因为在中，，为别是，AC的中点，所以
AC△ABC M N AB
1 1 1
MN BC MN BCC B MN//
// BCC B
，又因为平面，所以平面．
1 1 1 1 1
（2）取AC上靠近A的四等分点D，连接MD、ND，因为ABC90，AB BC BB，所以
1 2
MD AC，因为三棱锥中，侧棱与底面垂直，
ABC A B C
1 1 1
所以所以平面，所以为与平面所成角．MD AA MD AAC C
AA CC MND MN
1 1 1 1 1
1
在Rt△MND中，MDN90，，，
MN BC 1 2
2 MD AC 1
2 4 2
2
MD 1
2
所以．
sin MND
MN 2 2
所以MN与平面AAC C所成角的大小为．
1 1
6
解2：
如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，所以，
(2, 0, 0) A B(0, 0, 2) A(0, 2, 2) M(0,1, 2)
C
1
(0, 2, 0)
1
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N M N(1, 0,1)
(1, 1, 1)
，，所以，．
A(0, 0, 2) 1 1 (2, 2, 0)
A
1
AC
AAC C n(x, y, z) 2 0
n
(1,1, 0)
z
设平面的法向量为，则解得
1 1
2x2y0
MN n
设直线MN与平面所成角为，则，
AAC C sin 1 1
1 1
2 2
2 MN n
所以MN与平面AAC C所成角的大小为．
1 1
6
20．（1）1：圆的标准方程
C x2 y2 4x2my2m2 0 C(x2)2 (y m)2 4 m2
：，化为圆的标准方程：：，
2 2
所以4 m2 0 m(2, 2) ，r 4 m2 2，当m0时，r，此时：
max 2 C
2
(x2)2 y2 4
．
（1）1：圆的一般方程
D E4F16 4m8m
2 2 2 2
C x2 y2 4x2my2m2 0 r m
4 2
2
由：得．2
2 2
当m0时，r，此时C：x2 y2 4x0．
max 2
2
（2） ： ，即圆 是以 为圆心，1 为半径的圆；
C
(x 1)2 y 2 1 C
(1, 0) 1
1
C
(x 2)2
(y m )2 4 m 2
C
(2,
m ) 4 m 2
m
(2, 2)
：
，即圆
是以
为圆心，
为半径的圆，其中
；
2
2
C 1C 2
9 m 2 3
2
r
r
m 1
2
1
4
3 因
为 ，
，
所以当 m
0时， C C
r
r ，两圆外切；当 m (2, 0) (0, 2) 时， C C
r
r ，两圆外离．
1 2
1
2
1 2
1
2
21．（1）（证线面垂直）
证明：取 AB 的中点O ，连接OD ，OP ， 由题意知，△ABD 为等边三角形，所以 AB
OD ，又△PAB 是等边三角形，所以 AB OP ，又
OP OD O OP OD
POD
AB
POD
PD
POD
，
，
平面
，所以
平面
，又
平面
，所以
PD
AB
．
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（2）1：（坐标法）
如图，由（1）知，AB OP，PO 平面PAB，平面PAB 平面ABCD AB，平面PAB 平面
ABCD PO ABCD O OB x OD y OP
，所以平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，则P0, 0, 3，B(1, 0, 0) ，C 2, 3,0，D0, 3,0，B D 1,3,0，
PD PC 2, 3, 3
，．设平面的一个法向量为，即
PBD n (x, y, z ) 0,
n BD 0, 3, 3
n PD
0,
x3y0, 取，得，，即，y x 3 z 1 n
3,1,1
1
3y3z
0,
设直线PC与平面PBD所成角为，则sin cos , 2 3 6 ，
n PC
10 5 5
6
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
5
（2）设点C到平面PBD的距离为h，直线PC与平面PBD所成的角是，sin h，
PC
同方法一得，PO平面ABCD，PD PO DO 6 ，又PB2，BD2，
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BD 2 PB 2 PD2 1
cos PBD
15
所以，所以，所以
sin PBD
2BD PB 4 4
1 15
．
S PB BD sin PBD
△PBD
2 2
1 1
2 15
1 15 1
由，有．得，．
V V
S h S PO h 3 3 h
C PB
D P BCD PBD BCD
△△
3 3 3 2 3 5
又PD AB，AB//CD，所以PD CD，所以PC PD CD 10 ，
PC PBD 6
h 6
所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．
sin
PC 5 5
22．解析：（1）解：圆C：x 2 y 2 4y m 0 ，可化为圆x 2 (y 2)2 m 4 ，圆心到直线的距离
2 2
d 2 5
2 5 2
，因为截得的弦长为，所以，所以，所以圆的方程为
m 3
C m 4
5 5 5 5
x 2 (y 2)2 1
；
2
（2）证明：设过原点O的切线方程为y kx，即kx y 0 ，圆心到直线的距离1，所以
k 1
2
k 3 O y3x y x2 x 3 y 3 C ，设过原点的切线方程为，与函数，联立可得，所以与圆
相切；
b a
2 2
（3）解：设P a a，Q b b，，可得，
, , k a b
R c,c 2
2 2
PQ
b a
直线PQ的方程为y a2 (a b)(x a) ，即为y(a b)x ab，
同理可得，直线PR的方程为y(a c)x ac，直线QR的方程为y(b c)x bc，
2 ab 2 ac
因为直线PQ和PR都与圆C相切，所以1，1，即为
(a b)2 1 2
(a c) 1
b a ab a
2 1 2 2 2
3 0 c2 1a2 2ac a2 3 0 b c
，，即有，为方程
2a a 3
2
x2 1a2 2ax a2 3 0 bc
的两根，可得，，
1 a 1 a
2 2
Earlybird
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a 3 1a
2 2
2
2 11
bc a2 a2
由圆心到直线QR的距离为1，则直线QR与圆C相切．
1a
2
1( ) 2
b c a
2 2
111
a
2
a
2
Earlybird。