选修2-1阶段质量检测(三) 空间向量与立体几何 Word版含解析

阶段质量检测（三） 空间向量与立体几何
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )
①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)；
②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)；
③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)；
④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )
A ．1
B ．2 C.12 D ．3
3．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( )
A ．7
B ．－20
C ．28
D ．11
4．已知二面角α-l -β的大小为π3
，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3
5．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )
A ．(－2,2,0)
B ．(2，－2,0) C.⎝⎛⎭⎫－12，12，0 D.⎝⎛⎭⎫12
，－12，0 6．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；
②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ＝2OA －2OB －OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面；
④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
8．在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 分别是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量，设a 为非零向量，且〈a ，i 〉＝45°，〈a ，j 〉＝60°，则〈a ，k 〉＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )
A.83
B.38
C.43
D.34
10．三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )
A.13
B.23
C.33
D.23
11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面
ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一
个动点，且满足MP ＝MC .则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )
12.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，
Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )
A.23
B.
33 C.23
D.53 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知a ＝(3λ，6，λ＋6)，b ＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.
14．若a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．
15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1＝a AB ＋2b AD ＋3c A A 1，则abc ＝________.
16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为AF 的中点．沿EF 将矩形折成120°的二面角A -EF -B ，此时KG 的长为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )．a ∥b ，b ⊥c ，求：
(1)a ，b ，c ；
(2)a ＋c 与b ＋c 夹角的余弦值．
18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．
(1)求证：EF ⊥CD ；
(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．
19．(本小题满分12分)已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，
AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝DA ＝CD ＝2AB
＝2，M 点为PC 的中点．
(1)求证：BM ∥平面PAD ；
(2)在平面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD .
20.(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π2
.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.
(1)证明：DE⊥平面PCD.
(2)求二面角A-PD-C的余弦值．
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P-AM-D的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
22．(本小题满分12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD
＝2AB＝22，∠ABC＝90°，如图①把△ABD沿BD翻折，使得平面
ABD⊥平面BCD.
(1)求证：CD⊥AB；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；
(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出BN BC
的值；若不存在，说明理由．。