高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章 3.2 第二课时 复数的乘方与除法运算

第二课时 复数的乘方与除法运算
问题1：在实数中，若a ·b ＝c (a ≠0)，则b ＝c a .反之，若b ＝c
a ，则a ·
b ＝
c .那么在复数集
中，若z 1·z 2＝z 3，有z 1＝z 3
z 2
(z 2≠0)成立吗？
提示：成立．
问题2：若复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)，则z 1
z 2如何运算？
提示：通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b i
c ＋
d i 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数
c －
d i ，化简后可得结果，即
a ＋
b i
c ＋
d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i
c 2＋
d 2
＝
ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2
i(c ＋d i ≠0)．
对任意复数z ，z 1，z 2和m ，n ∈N *，有 (z )m ·(z )n ＝(z )m ＋
n ； (z m )n ＝z mn ；
(z 1·z 2)n ＝z n 1·z n
2.
2．虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n ＝1，i 4n ＋
1＝i ，i 4n ＋
2＝－1，i 4n ＋
3＝－i. 3．复数的除法运算及法则
把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商．且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2
i.
由
a ＋
b i
c ＋
d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋d
2i ，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．
[对应学生用书P41]
虚数单位i 的幂的周期性
[例1] 求1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014的值．
[思路点拨] 利用i n 的性质计算，i 4n ＝1，i 4n ＋
1＝i ，i 4n ＋
2＝－1，i 4n ＋
3＝－i ，还可以利用等比数列求和来解．
[精解详析] 法一：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014 ＝1－i 2 0151－i ＝1－i 2 014·i 1－i ＝1＋i 1－i
＝i.
法二：∵i n ＋i n ＋
1＋i n ＋
2＋i n ＋
3＝0(n ∈N *)， ∴1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014
＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 009＋i 2 010＋i 2 011＋i 2 012)＋i 2 013＋i 2 014 ＝1＋i －1＝i.
[一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n
＋i n ＋
1＋i n ＋
2＋i n ＋
3＝0(n ∈N *)．
1．若z ＝－1－i 2
，则z 2 014＋z 102＝________.
解析：∵z 2＝⎝
⎛⎭⎪
⎫－1－i 22＝－i ，
∴z 2 014＋z 102＝(－i)1 007＋(－i)51 ＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3 ＝i ＋i ＝2i. 答案：2i
2．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6 ·… ·i 12，则z 1与z 2的关系为z 1________z 2(用“＝”或“≠”填)．
解析：∵z 1＝i 4(1－i 9)1－i ＝i 4(1－i )
1－i ＝1，
z 2＝i 4
＋5＋6＋…＋12
＝i (4＋12)×92
＝i 72＝(i 4)18＝1，
∴z 1＝z 2. 答案：＝
复数的除法
[例2] 计算：(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪
⎫1＋i 22；
(2)(2＋2i )3(4＋5i )
(5－4i )(1－i )
.
[思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．
[精解详析] (1)原式＝(1＋23i )i 1＋23i ＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪
⎫1＋i 22＝i ＋5－1－i ＝i ＋4－i ＝4. (2)原式＝22(1＋i )3(5－4i )i
(5－4i )(1－i )
＝22(1＋i )4i (1－i )(1＋i )＝22[(1＋i )2]2i 2
＝2·(2i)2i ＝－42i.
[一点通] 复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助．
b －a i ＝(a ＋b i)(－i)，－b ＋a i ＝(a ＋b i)i.
3．设复数z ＝2i
－1＋i ，则复数z 2的实部与虚部的和为________．
解析：∵z ＝2i
－1＋i ＝2i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝2i (－1－i )2
＝－i ＋1，
∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i. 实部为0，虚部为－2. 因此，实部与虚部的和为－2. 答案：－2
4．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z ＝________. 解析：∵z (2－i)＝11＋7i ，
∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i
5＝3＋5i.
答案：3＋5i 5．化简：
()－1＋
3i 3(1＋i )6＋－2＋i
1＋2i
＝________.
解析：原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋3i 2i 3＋(－2＋i )(1－2i )5＝i ＋i ＝2i.
答案：2i
1．复数除法的运算技巧
在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复
数，使分母“实数化”，最后再化简．
2．注意复数计算中常用的整体
(1)i 的性质：i 4n ＝1，i 4n ＋
1＝i ，i 4n ＋
2＝－1，i 4n ＋
3＝－i(n ∈N *)； (2)(1±i)2＝±2i ，
1＋i 1－i ＝i ，1－i
1＋i
＝－i ； (3)设ω＝－12＋3
2
i ，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω，ω3＝1.
[对应学生用书P42]
一、填空题
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝________. 解析：z ＝2i
1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (1＋i )2＝－1＋i.
答案：－1＋i
2．设i 是虚数单位，复数10
3－i
的虚部为________． 解析：
103－i ＝10(3＋i )(3－i )(3＋i )
＝3＋i. 答案：1
3．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1
z 2＝________.
解析：∵z 1＝－2－3i ，z 2＝
3－i (2＋i )2
， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i. 答案：4－3i
4．(浙江高考)已知 i 是虚数单位，计算1－i (1＋i )2 ＝________.
解析：
1－i (1＋i )2 ＝1－i 2i ＝(1－i )i －2
＝－1－i 2＝－12－1
2i. 答案：－12－1
2
i
5．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________. 解析：设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8① 则i S ＝i 2＋2i 3＋…＋7i 8＋8i 9②
①－②得
(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9 ＝i (1－i 8)1－i －8i
＝－8i.
∴S ＝－8i 1－i ＝－8i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－8i (1＋i )2
＝4－4i. 答案：4－4i 二、解答题
6．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2i )·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪
⎫1＋i 220.
解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2i )·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋i 220
＝[](1＋2i )·1＋(－i )52－i 10 ＝(1＋i)2－i 10 ＝1＋2i.
7．复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .
解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i
2＋i ＝1－i.
∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i
1－i ＝－2i ＋m i －m 2
＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫
m 2
－2i ＜0， ∴⎩⎨⎧
－m
2＜0，
m
2－2＝0，
∴m ＝4.∴a ＝4i.
8．已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根． (1)求a 、b 的值；
(2)试判断1－i 是否是方程的根． 解：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根， ∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝0，a ＋2＝0， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝2. ∴a 、b 的值为a ＝－2，b ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0， 把1－i 代入方程，
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然方程成立． ∴1－i 也是方程的一个根.。