八年级数学下册 第2讲 三角形的证明——直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线第1课时达标训练习
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角的三角尺按如图所示的方式放置， 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重 合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝ 2，则 CD＝___3_－__1__.
13．(12 分)如图，公路 OA 和 OB 相交于点 O，∠AOB 内部有工 厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA， OB 的距离相等，且到两工厂 C，D 的距离相等，用尺规作 出货站 P 的位置(不写作法，保留作图痕迹)．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则∠CBD 的度数为( B ) A．30° B．45° C．50° D．75°
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 O 为△ABC 的三条角 平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点 D，E， F 分别为垂足，且 AB＝10，BC＝8，则点 O 到三边 AB，AC， BC 的距离分别是( A ) A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5
＝90°，在 AC 上取一点 E，以 BE 为折痕，使 AB 的一部分
与 BC 重合，A 与 BC 延长线上的点 D 重合，则 DE 的长度
为( C )
A．6
B．3
C．2 3
D． 3
8．如图，一个圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12 cm，底
面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是角平分线，DE⊥AB 于 点 E，DF⊥AC 于点 F，则下列四个结论：①DE＝DF；② AD 是线段 EF 的垂直平分线；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝ CD，AD⊥BC.其中结论正确的有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．如图，已知在三角形纸片 ABC 中，BC＝3，AB＝6，∠BCA
证明：∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°， DE⊥AB，∴DE＝CD. 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，DDFC＝ ＝BDDE， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝BE.
(2)AB＝AF＋2BE.
证明：在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中， ∵CD＝DE，AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE＝AF＋CF＋BE. 又∵CF＝BE，∴AB＝AF＋2BE.
16．(14 分)如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交 BC 边的垂 直平分线于点 P，PD⊥BA，PD 交 BA 的延长线于点 D，PE ⊥AC 于点 E.
(1)求证：BD＝CE；
证明：连接 PB，PC. ∵AP 平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE. ∵PQ 垂直平分 BC，∴PB＝PC. 在 Rt△PEC 和 Rt△PDB 中，PPCE＝ ＝PPBD，， ∴Rt△PEC≌Rt△PDB(HL)．∴BD＝CE.
10．△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，若点 O 到 BC 的距离为 2 cm，△ABC 的周长为 18 cm，则△ABC 的面 积为___1_8____cm2.
11．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的 平分线 BP 相交于点 P.若∠BPC＝40°，则∠CAP＝__5_0_°____.
(2)若 DC＝4，∠DAC＝30°，求 AD 的长．
解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC. 又∵∠DAC＝30°，DC＝4， ∴AC＝8，∴AD＝ 82－42＝4 3.
15．(14 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分 线，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，BD＝DF. 求证：(1)CF＝BE；
谢谢观赏
You made my day!
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
解：如图所示．
14．(12 分)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD＝CD， DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.
(1)求证：AB＝AC；
证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，ADDE＝ ＝ADDF， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)．∴AE＝AF. 同理可证 Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴BE＝CF.∴AE＋BE＝AF＋CF，即 AB＝AC.
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第2讲 三角形的证明——直角三角形、 线段的垂直平分线、角平分线 第1课时 达标训练
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1B
2B
3A
4C
5C
6D
7C
8 A 9 PA＝PB＝PC 10 18
11 50° 12 3－1 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题
1．如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上一点，已知线段 PA＝5，则线段 PB 的长度为( B ) A．6 B．5 C．4 D．3
的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器
外壁，且位于容器上沿 3 cm 的点 A 处，则蚂
蚁吃到饭粒需要爬行的最短路径是( A )
A．13 cm
B．2 61 cm
C． 61 cm
D．2 34 cm
9．在△ABC 中，边 AB，BC，AC 的垂直平分线相交于点 P，则 PA，PB，PC 的大小关系是_P__A_＝__P_B_＝__P__C____．
4．如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直．若 AD＝8，则点 P 到 BC 的距离是 ( C) A．8 B．6 C．4 D．2
5．如图，点 P，Q 分别为 BC，AC 上的点，过点 P 分别作 PR ⊥AB 于点 R，作 PS⊥AC 于点 S.若 AQ＝PQ，PR＝PS，则 下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP. 其中正确的是( C ) A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
(2)若 AB＝6 cm，AC＝10 cm，求 AD 的长． 解：在 Rt△ADP 和 Rt△AEP 中， ∵PD＝PE，PA＝PA， ∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)． ∴AD＝AE. ∴BD＝AB＋AE. ∴AB＋AC＝AB＋AE＋CE＝BD＋CE＝16 cm. 又∵BD＝CE，∴BD＝8 cm.∴AD＝2 cm.
13．(12 分)如图，公路 OA 和 OB 相交于点 O，∠AOB 内部有工 厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA， OB 的距离相等，且到两工厂 C，D 的距离相等，用尺规作 出货站 P 的位置(不写作法，保留作图痕迹)．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则∠CBD 的度数为( B ) A．30° B．45° C．50° D．75°
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 O 为△ABC 的三条角 平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点 D，E， F 分别为垂足，且 AB＝10，BC＝8，则点 O 到三边 AB，AC， BC 的距离分别是( A ) A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5
＝90°，在 AC 上取一点 E，以 BE 为折痕，使 AB 的一部分
与 BC 重合，A 与 BC 延长线上的点 D 重合，则 DE 的长度
为( C )
A．6
B．3
C．2 3
D． 3
8．如图，一个圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12 cm，底
面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是角平分线，DE⊥AB 于 点 E，DF⊥AC 于点 F，则下列四个结论：①DE＝DF；② AD 是线段 EF 的垂直平分线；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝ CD，AD⊥BC.其中结论正确的有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．如图，已知在三角形纸片 ABC 中，BC＝3，AB＝6，∠BCA
证明：∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°， DE⊥AB，∴DE＝CD. 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，DDFC＝ ＝BDDE， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝BE.
(2)AB＝AF＋2BE.
证明：在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中， ∵CD＝DE，AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE＝AF＋CF＋BE. 又∵CF＝BE，∴AB＝AF＋2BE.
16．(14 分)如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交 BC 边的垂 直平分线于点 P，PD⊥BA，PD 交 BA 的延长线于点 D，PE ⊥AC 于点 E.
(1)求证：BD＝CE；
证明：连接 PB，PC. ∵AP 平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE. ∵PQ 垂直平分 BC，∴PB＝PC. 在 Rt△PEC 和 Rt△PDB 中，PPCE＝ ＝PPBD，， ∴Rt△PEC≌Rt△PDB(HL)．∴BD＝CE.
10．△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，若点 O 到 BC 的距离为 2 cm，△ABC 的周长为 18 cm，则△ABC 的面 积为___1_8____cm2.
11．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的 平分线 BP 相交于点 P.若∠BPC＝40°，则∠CAP＝__5_0_°____.
(2)若 DC＝4，∠DAC＝30°，求 AD 的长．
解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC. 又∵∠DAC＝30°，DC＝4， ∴AC＝8，∴AD＝ 82－42＝4 3.
15．(14 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分 线，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，BD＝DF. 求证：(1)CF＝BE；
谢谢观赏
You made my day!
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
解：如图所示．
14．(12 分)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD＝CD， DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.
(1)求证：AB＝AC；
证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，ADDE＝ ＝ADDF， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)．∴AE＝AF. 同理可证 Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴BE＝CF.∴AE＋BE＝AF＋CF，即 AB＝AC.
期末提分练案
第2讲 三角形的证明——直角三角形、 线段的垂直平分线、角平分线 第1课时 达标训练
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1B
2B
3A
4C
5C
6D
7C
8 A 9 PA＝PB＝PC 10 18
11 50° 12 3－1 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题
1．如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上一点，已知线段 PA＝5，则线段 PB 的长度为( B ) A．6 B．5 C．4 D．3
的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器
外壁，且位于容器上沿 3 cm 的点 A 处，则蚂
蚁吃到饭粒需要爬行的最短路径是( A )
A．13 cm
B．2 61 cm
C． 61 cm
D．2 34 cm
9．在△ABC 中，边 AB，BC，AC 的垂直平分线相交于点 P，则 PA，PB，PC 的大小关系是_P__A_＝__P_B_＝__P__C____．
4．如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直．若 AD＝8，则点 P 到 BC 的距离是 ( C) A．8 B．6 C．4 D．2
5．如图，点 P，Q 分别为 BC，AC 上的点，过点 P 分别作 PR ⊥AB 于点 R，作 PS⊥AC 于点 S.若 AQ＝PQ，PR＝PS，则 下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP. 其中正确的是( C ) A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
(2)若 AB＝6 cm，AC＝10 cm，求 AD 的长． 解：在 Rt△ADP 和 Rt△AEP 中， ∵PD＝PE，PA＝PA， ∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)． ∴AD＝AE. ∴BD＝AB＋AE. ∴AB＋AC＝AB＋AE＋CE＝BD＋CE＝16 cm. 又∵BD＝CE，∴BD＝8 cm.∴AD＝2 cm.