高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算3课件

共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.
2.若A,B,C三点共线,则向量
在同一直线上,因此必定存在实数,
, ,
使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依
据.
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第二十二页，共四十三页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.
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第六页，共四十三页。
一
二
四
三
思维(sīwéi)辨
析
2.填空(tiánkòng):数乘向量的运算律
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.
又=2e1-8e2=2(e1-4e2),
∴=2,∴ ∥ .
∵AB 与 BD 有交点 B,∴A,B,D 三点共线.
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第二十一页，共四十三页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,两个向量
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
用已知向量表示未知向量
角度2
【例 3】 如图,在△ABC 中,BD=2DC.若=a,=b,则
=(
)
2
1
1
2
2
1
1
2
A.3a+3b
B.3a-3b
C.3a+3b
D.3a-3b
2
3
1 2
a+ b.
3 3
解析由题意可得, = + = +
的方向相同.
答案(1)6
3
4
(2)相同
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第五页，共四十三页。
一
二
三
四
思维(sīwéi)
辨析
二、数乘运算的运算律
问题(wèntí)思考
1.已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
提示各式均是成立的(如图).
一
角度3
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
证明三点共线问题
【例 4】 已知 e1,e2 是两个不共线的向量,若=2e1-8e2,
=e1+3e2,=2e1-e2,求证:A,B,D 三点共线.
证明∵=e1+3e2,2e1-e2,
∴ = − =e1-4e2.
)
)
)
(4)若向量a和b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0. (
)
(5)若向量
共线,则A,B,C,D四点共线. (
)
(6)实数既可以与向量相乘,也可以相加减. (
)
,
(7)向量a与b共线,当且仅当有唯一一个实数x,使b=xa. (
)
(8)若m=3a+4b,n= a+2b,则m∥n. (
质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化
为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
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第十九页，共四十三页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
变式训练 2 如图,四边形 OADB 是以向量=a,=b 为邻边的
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
解(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
2
1
3
7
2 5
11
-
2
12
③原式=3 4-3 + 3 - 2 + 4 =3
(2)由 x-4y=2b,可得 x=4y+2b,代入 2x+3y=a,
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一
个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用
共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.
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第十七页，共四十三页。
变式训练
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
1 1
1(1)3 2 (2 + 8)-(4-2)
思维辨析
的结果是(
)
A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
a=
, b=
.
1
1
解析(1)原式= (a+4b-4a+2b)= (-3a+6b)=-a+2b=2b-a.
解(1)∵b=-2a,∴a与b共线.
1
6
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
(2)∵a= b,∴a与b共线.
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
∵e1与e2是两非零不共线向量,
∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
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第十六页，共四十三页。
2
3
1
3
2
3
= + ( − )= + =
答案C
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第十八页，共四十三页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除
了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性
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第十页，共四十三页。
一
三
二
四
思维(sīwéi)
辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)对于任意向量a和任意实数λ,λa与a一定是共线向量. (
(2)向量λa与a的方向不是相同(xiānɡ tónɡ)就是相反. (
(3)若向量a和b共线,则必有b=λa. (
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
共线向量定理及其应用
角度1
向量共线的判定
【例2】 判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共
线向量).
(1)a=5e1,b=-10e1;
1
1
(2)a= e1- e2,b=3e1-2e2;
2 3
(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.
提示λa与a是共线向量;如果b∥a(a≠0),那么b=λa一定成立.
2.填空:共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数(shìshù)λ,使b=λa.
3.关于共线向量定理的说明:
(1)定理中,向量a为非零向量,即定理不包含0与0共线的情况.
(2)条件a≠0是必须的.否则当a=0,b≠0时,虽然b与a共线,但不存在实数λ,使
提示如图,a+a+a= ,(-a)+(-a)+(-a)=,可以发现:a+a+a 与 a
的方向相同,模是 a 的模的 3 倍;(-a)+(-a)+(-a)与 a 的方向相反,模是
a 的模的 3 倍.
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第三页，共四十三页。
一
二
三
四
思维(sīwéi)
辨析
2.填空(tiánkòng):
几何意义
3.掌握共线向量定理,会判断或证
共线向量定理——应用
明两个向量共线.培养逻辑推理素
养.
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第二页，共四十三页。
一
二
三
四
思维(sīwéi)辨
析
一、向量的数乘运算
问题思考
1.如图,已知向量a,请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),并指出(zhǐ chū)所得和向
量与向量a的模、方向有什么关系.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并
同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量.
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第十四页，共四十三页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
定义
长度
方向
规定
一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向
量的数乘,记作 λa
|λa|=|λ||a|
λ>0 λa 的方向与 a 的方向相同
λ=0 λa=0
λ<0 λa 的方向与 a 的方向相反
当 λ=0 或 a=0 时,λa=0
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第四页，共四十三页。
一
二
三
四
思维(sīwéi)
1
1
平行四边形,对角线交于 C,又 = 3 , = 3 ,试用向量 a,b
表示, , .
解∵ = − =a-b,
1
1
1
∴ = 3 = 6 = 6(a-b),
1
1 5
∴ = + =b+6(a-b)=6a+6b.
1
1
∵ = 3 = 6 ,
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第八页，共四十三页。
一
二
三
四
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第九页，共四十三页。
思维(sīwéi)辨
析
一
二
三
四
思维(sīwéi)辨
析
四、向量的线性运算
问题思考
向量的加法、减法(jiǎnfǎ)、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向
量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a+λμ2b.
1
3
3.做一做:2a+b+2a-4b 等于(
)
A.2a+3b
B.a-3b
C.2a-3b
解析原式=
1 3
+
2 2
a+(1-4)b=2a-3b.
答案(dá àn)C
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第七页，共四十三页。
D.2a-2b
一
二
三
四
思维(sīwéi)
辨析
三、共线向量定理
问题思考
1.若a是非零向量,则λa与a有什么关系?如果b∥a(a≠0),那么b=λa是否成立?
3
3
(2)由 2a-b=m,可得 2a-m=b,代入 a+3b=n 可得 a+3(2a-m)=n,
3
7
1
7
1
7
2
7
解得 a= m+ n,代入 2a-m=b 可得 b=- m+ n.
答案(1)B
3
1
(2) m+ n
7
7
1
2
- m+ n
7
7
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第十五页，共四十三页。
探究(tànjiū)
一
得b=λa;当a=0,b=0时,λ可以是任意实数.
(3)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.
(4)若b=λa(λ∈R),则a与b共线.
(5)由本性质定理知,若向量=λ,则, 共线.又, 有
公共点 A,从而 A,B,C 三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
1
1
2
∴ = + = 2 + 6 = 3
2
2
2 2
= ( + )= (a+b)= a+ b.
3
3
3 3
2
2
1
5
∴ = − = 3 + 3 − 6 + 6
1 1
= a- b.
2 6
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第二十页，共四十三页。
探究(tànjiū)
2.2.3 向量数乘运算(yùn suàn)及其几何意义
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第一页，共四十三页。
课 标 阐 释
思 维 脉 络
1.理解向量数乘的定义及几何意
义.培养数学抽象、直观想象素养. 向量数乘运算
2.掌握向量数乘的运算律,能够用
数乘的定义
已知向量表示未知向量.培养逻辑
数乘运算律
推理、数学运算素养.
辨析
1
3.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,则|-2a|=
,|3b|=
.
(2)若 a 与 b 是相反向量,则 5a 与-4b 的方向
1
.
3
解析(1)因为|a|=3,|b|=4,所以|-2a|=2|a|=6,|3b|=3|b|=4.
(2)5a 与 a 同向,-4b 与 b 反向,而 a 与 b 是相反向量,所以 5a 与-4b
三
核心素养提升
思维辨析
变式训练 3 已知 O,A,M,B 为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ
可得 2(4y+2b)+3y=a,
1
4
于是 8y+4b+3y=a,解得 y= a- b,
11 11
4
6
再代入 x=4y+2b 中可得 x=11a+11b.
4
6
= 11 + 11 ,
故方程组的解是
1
4
= - .
11
11
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第十三页，共四十三页。
5
3
11
18
= a- b.
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
2
1 1
③3 (4-3) + 3 - 4 (6-7) .
2 + 3 = ,
(2)解关于 x,y 的方程组
-4 = 2.
分析(1)根据向量的线性运算法则求解;(2)运用实数的二元一次方程组的
解法求解.
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第十二页，共四十三页。
)
答案(1)√ (2)× (3)×
3 (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√