第5章_声波在管道中的传播

n 1, 2,3,....
17
——管口阻抗为零——短路！
——管口阻抗为无限——开路！如 果管口是一个声源，将导致声源 的制动而声辐射停止！
例：闭箱式扬声器，辐射的高频
特性常出现谷点！——x=l处加
吸声材料——低频：能保持容性；
高频：相当于无限长管道！
x=0
x=l
管道末端开口且开口在无限大障板上：Za(l)=？
1/4波长的奇数倍
l (2n 1)
4
Za (0)
0c0
S2
0c0
Za (l)
Za (0)
0c0
S2
0c0
Ra (l) iX a (l)
(0c0 )2
S2
Ra (l) iX a
Ra2 (l)
X
2 a
(l) (l)
(0c0 )2 Ra (l) iX a (l)
S2
X
2 a
(l
)
Ra (0)
v
pi 0
0c0
eikx
|
rp
| ei(kx ) eit
x=0处的声阻抗率
Zs
|x0
p v x0
1 1
| |
rp rp
| ei | ei
0c0
或者声阻抗
U=vS 体积速度 (單位時間 的體積流)
Za
|x
0
p U
x0
p vS
x0
1 1
| |
rp rp
| ei | ei
0c0
S
6
设负载的声阻抗为Za
(0c0 )2
S2
Ra (l)
X
2 a
(l
)
X a (0)
(0c0 )2
S2
1 X a (l)
Ra (0) iX a (0)
20
如果管口存在声源作活塞振动，振动速度为 u u0 eit
那么，声源向管内辐射的平均声功率为
W
1 2
Rr (0)u02
1 2
S 2Ra (0)u02
1 4
3
8
2
1 2
Rr (0)u02
1 2
S 2Ra (0)u02
0c0
4
S(ka)2 u02
比值
Wl0 ~ (ka)2 1 W
W
1 2
Rr (0)u02
1 2
S 2Ra (0)u02
1 4
3
8
2
0 c0 Su02
——可见，当声源的振动速度恒定时，在声源前加 一段长度等于1/4波长奇数倍的短管，可大大提高声 源的辐射功率！——特别是单频声波——电声测量 中常用的技术。
p v
pi vi
pr vr
0c0
pi0 eikx pr0 eikx pi0 eikx pr0 eikx
已知管道末端负载的声阻抗为Zs(l), 故
Zs (l) 0c0
pi0 eikl pr0 eikl pi0 eikl pr0 eikl
0c0
( pi0 / pr0 ) eikl eikl ( pi0 / pr0 ) eikl eikl
0c0Su02
如果管长等于零，声源辐射的平均声功率
Za (0)
0c0
S
lim l0
Za (l)S i0c0 0c0 iZa (l)S
tan kl tan kl
lim
l0
Z
a
(l
)
lim
l0
Ra
(l)
Rr S2
0c0
2S
(ka)
2
;
lim
l0
X
a
(l
)
Xr S2
80c0 3 S
ka
21
Wl 0
kl2n1214波长的奇数倍21如果管口存在声源作活塞振动振动速度为那么声源向管内辐射的平均声功率为如果管长等于零声源辐射的平均声功率可见当声源的振动速度恒定时在声源前加一段长度等于14波长奇数倍的短管可大大提高声源的辐射功率
第5章 声波在管道中的传播
5.1 均匀的有限长管道 5.2 有限长管道的阻抗转移公式 5.3 突变截面管道和有旁支的管道 5.4 声波导理论 *5.5 管道中声波的衰减
入射波和反射波
pi pi0 exp[i(t kx)]
vi
pi0
0c0
exp[i(t
kx)]
pr pr0 exp[i(t kx)]
vr
pr 0
0c0
exp[i(t
kx)]
13
管道中任意一点的声压和质点速度为
p pi pr ;
v
vi
vr
pi
0c0
pr
0c0
管道中任意一点的声阻抗率为
Zs (x)
1
5.1 均匀的有限长管道
只有在管道中才能得到真正的平面波； 管道中声传播能量集中——听诊器； 利用管道进行声学测量——材料的声吸收系数； 工业中的管道消声问题
管内声场
入射波和反射波
pi pi0 exp[i(t kx)] pr pr0 exp[i(t kx)]
2
定义反射系数
为了方便
总声压
M a
dU dt
RaU
1 Ca
Udt Pa eit
U P Za
Za
P U
Ra
iMa
1
Ca
Ra
iX a
——聲阻抗
Ca
V0
0 c02
;Ma
0 l0
S
; Ra
Rm S2
——与V0的 形状无关！
赫姆霍茲共振腔作为管道末尾的声负载
( Ra S
4RaS 0c0 0c0 )2 ( X aS )2
tan tan
kl kl
——管输入声阻抗率
管口的声阻抗为
Za (0)
Zs (0) S
0c0
S
Za (l)S i0c0 0c0 iZa (l)S
tan kl tan kl
——管输入声阻抗——不仅与管道长度有关，
而且与管道末端负载的声阻抗有关！
15
意义分析
管道末端刚性：Za(l)
Za (0)
0c0
min(tI
)
(S12
4 S21)2
——透射极小，反射极大！ 滤波作用。
当 kD n
D
n
2
——1/2波长的整数倍！
max(tI ) 1 ——全透射，无反射！
29
扩张式消声器 ——透射或反射与中间插管粗细无关，但一般采 用扩张管(小管道气流的阻力大)——扩张式消声 器——抗性消声器！——无阻部分——只反射声 波，而不消耗声能量！ ——多节扩张管——对应不同频率！
用无限大障板上的活塞辐射器来近似 (ka<<1)（第6章）
Rr
0c0k 2 2
( a2 )2;
Xr
0c0 a2
8
3
ka
18
Za (l) Ra (l) iX a (l)
Ra (l)
Rr S2
0c0 (ka)2
2S
——注意：
X a (l)
Xr S2
80c0 3 S
ka
力阻抗化 成声阻抗。
1 1
| |
rp rp
| ei | ei
0c0
S
Za
Ra
iX a
| rp
| ei
Za S 0c0 Za S 0c0 a
|
rp
|2
( Ra S ( Ra S
0c0 )2 0c0 )2
( X a S )2 ( X a S )2
1
|
rp
|2
1
( Ra S ( Ra S
0c0 )2 0c0 )2
V0
0 c02S 2
9
短管運動方程(質點彈簧系統)
Mm
d 2
dt 2
SPa eit
Rm
d
dt
1
Cm
dv
1
M m dt Rmv Cm
vdt SPa eit
令體積速度 U=vS
M m
S2
dU dt
Rm S2
U
1 Cm S 2
Udt Pa eit
Ma
Ra
Ca
聲質量 聲阻 聲容(聲順)
10
4、 S1 S2
rp 0 —软边界，声压反相！
问题：
一般通过管道面积的变小，使声能量密度变大，但不
能突变截面——这样声能量反而透不过去！
25
截面突变——声能基本反射回去了！
截面渐变——声能密度集中了！
26
中间插管道的情况
与中间有隔层的平面波传播类似
4 tI 4 cos2 k2D (R12 R21)2 sin2 k2D
3 腔體內，媒質壓縮與膨脹時腔璧不變形(剛性)
8
短管空氣整體振動
质量： M m 0l0 S
摩擦(黏滯)：Rm 彈性力：腔内絕熱過程，物態方程 PV P0 V0 常数
P0 P1 V0 S P0 V0
P1
0 c02
S
V0
c02
P0 0
F
P1
S
0 c02
S 2
V0
1
Cm
Cm
kx)]
23
突变区：声场复杂，提“法向速度连续”不确切！
近似：声波长>>突变区（不均匀区）——等效 成一点——质量守恒！
界面边界条件 声压连续(x=0)
pi pr pt
体积速度连续(x=0)
S1(vi vr ) S2vt
声ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ反射和透射系数
p0i p0r p0t S1( p0i p0r ) S2 p0t
pi 0 pr 0
rp
| rp
| ei
p pi0 exp[i(t kx)] pr0 exp[i(t kx)]
pi0 eikx | rp | ei(kx ) eit | p0 | ei(t )
| p0 | pi0
1 |
rp
|2
2 |
rp
|
cos 2k
x
4
极大
| p0 |max pi0 1 | rp |2 2 | rp | pi0 (1 | rp |)
M m 0V
Za
(0)
i
0c0
Skl
1
(kl)2 3
i 1 i V 0 i 1 i M m
Ca
3S 2
Ca
3S 2
——串联一个声质量——空气质量的1/3！
2、当频率和管长满足：kl=(2n-1)/2 或者kl=n
0, kl (2n 1) / 2, n 1, 2,3,....
Za (0) , kl n ,
1
(1 (1
G)2 G)2
4G (1 G)2
4
法向吸声系数的测量 测量驻波比
法向吸声系数
驻波管法测量材料的 法向吸声系数
问题
高频限制：平面条件（见后讨论）； 低频限制：管长至少要半波长——存在一个驻 波！——低频吸声系数测量是个难题！
5
法向吸声系数与负载声阻抗的关系
p pi0 eikx | rp | ei(kx ) eit
Xa
Ma
1
Ca
——吸声系数与频率有关！ 11
共振条件
Xa
Ma
1
Ca
0
11
fr 2 M aCa ——吸声达到极大！
——共振吸声结构在影院、厅堂声学设计中已获得广 泛应用！——穿孔吸声结构！
墙与穿孔 板有一定 的距离， 以形成共 振腔！
V0 墙 孔体
12
5.2 有限长管道的阻抗转移公式
管道末端负载的声阻抗对管口声源的影响。
( (
X X
a S )2 aS)2
( Ra S
4RaS 0c0 0c0 )2 ( X aS )2
——声能量的吸 收是由于声负载 的阻部分引起的！
7
共振吸声结构
赫姆霍茲共振腔
关键：求赫姆霍茲
共振腔的声阻抗！ 三個假定
1 線度小於波長，即 a,l0, 3 V0
2 短管體積遠小於腔體體積，即（不考慮彈性) Sl0 V0
与中间 插管粗 细无关
R12
2c2 1c1
;
R21
1c1 2c2
R12
S21
S1 S2
;
R21
S12
S2 S1
tI
4 cos2
4 kD (S12 S21)2 sin2
kD
27
tI
4 cos2
4 kD (S12 S21)2 sin2
kD
4
4 (S12 S21)2 cos2 kD (S12 S21)2
因为 S1 S2 2 S2 S1
2
S1 S2
S2 S1
4
4 (S12 S21)2 0
tI
4 cos2
4 kD (S12 S21)2 sin2
kD
4
(S12 S21)2 4 (S12 S21)2 cos2 kD
28
分析
当
kD (2n 1)
2
D (2n 1)
4
——1/4波长 的奇数倍！
x=0
无限 大
障板
1、低频：kl<<1
Za (0)
i 80c0 3 S
ka i
0c0kl
S
i(l
l)
0
S
iMa
——管口表现为质量抗！— —质量修正——管端修正！
l 8 a 0.85a
3
如果短管的两端都开口：
l 2 8 a 1.7a
3
19
2、当频率和管长满足：kl=(2n-1)/2
S
Za (l)S iZs (l)S tan kl
i
0c0
S
cot kl
1、低频：kl<<1
cot kl cos kl 1 sin kl kl
Za (0)
i
0c0
Skl
i 1
Ca
Ca
V
0c02
——短管口的声阻抗表现为声容！——赫姆霍
茲共振腔
16
如果展开保留2项
cot kl cos kl 1 kl sin kl kl 3
rp
p0r p0i
S1 S2 S1 S2
tp
p0t p0i
2S2 S1 S2
24
讨论
rp
p0r p0i
S1 S2 ; S1 S2
tp
p0t p0i
2S2 S1 S2
1、 S2 S1 2、 S1 S2 3、 S1 S2
rp 0; tp 1 —没有反射！ rp 0 —硬边界，声压同位相！ rp 1; tp 0 —绝对硬边界，声压全反射！
3
极小 | p0 |min pi0 1 | rp |2 2 | rp | pi0 (1 | rp |)
定义驻波比 | p0 |max pi0 (1 | rp |) G | p0 |min pi0 (1 | rp |)
法向吸声系数
1 | rp |2
|
rp
|
(1 G) (1 G)
能量吸收系数
22
5.3 突变截面管道和有旁支的管道
突变截面管道
入射、反射和透射波
pi pi0 exp[i(t kx)]