(共18页)2022年全国各地中考数学解析版试卷分类汇编总汇开放性问题规律探索

2022年各地中考数学试卷解析版分类汇编
开放性问题、规律探索
1. 〔2022•四川巴中〕如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．
〔1〕请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．
〔2〕在问题〔1〕中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．考点：矩形的判定．
分析：〔1〕根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，
〔2〕由〔1〕可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．
解答：〔1〕答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，
在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH〔SAS〕；
〔2〕解：∵BH=CH，EH=FH，
∴四边形BFCE是平行四边形〔对角线互相平分的四边形为平行四边形〕，
∵当BH=EH时，那么BC=EF，
∴平行四边形BFCE为矩形〔对角线相等的平行四边形为矩形〕．
点评：此题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是根底题，难度不大．
2. 〔2022•山东威海〕猜测与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，假设M为AF的中点，连接DM、ME，试猜测DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
〔1〕假设将〞猜测与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，那么DM和ME的关系为DM=DE．
〔2〕如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，
考点：四边形综合题
分析：猜测：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．
〔1〕延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用
直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，
〔2〕连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线
等于斜边的一半证明，
解答：猜测：DM=ME
证明：如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH〔ASA〕
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
〔1〕如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH〔ASA〕
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME，
故答案为：DM=ME．
〔2〕如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在RT△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，
在RT△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．
点评：此题主要考查四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段．
3. 〔2022•山东枣庄〕如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
〔1〕求证：△BOE≌△DOF；
〔2〕假设OD=AC，那么四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
专题：计算题．
分析：〔1〕由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得
到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；
〔2〕假设OD=AC，那么四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得
到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为
矩形即可得证．
解答：〔1〕证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF〔AAS〕；
〔2〕假设OD=AC，那么四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的
性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
4. 〔2022•山东烟台〕在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
〔1〕如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE 与DF的位置关系，并说明理由；
〔2〕如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，〔1〕中的结论还成立吗？〔请你直接答复“是〞或“否〞，不需证明〕
〔3〕如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，〔1〕中的结论还成立吗？请说明理由；
〔4〕如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．假设AD=2，试求出线段CP的最小值．
考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.
分析：〔1〕AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
〔2〕是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+
∠ADF=90°，所以AE⊥DF；
〔3〕成立．由〔1〕同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
〔4〕由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得
OC的长，再求CP即可．
解答：〔1〕AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；
〔2〕是；
〔3〕成立．
理由：由〔1〕同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF
延长FD交AE于点G，
那么∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°．
∴AE⊥DF；
〔4〕如图：
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△ODC中，OC=，
∴CP=OC﹣OP=．
点评：此题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第〔4〕题要认真分析．
5. 〔2022•浙江杭州，第23题，12分〕复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣〔4kx+1〕x﹣k+1〔k是实数〕．
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论〔性质〕写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：
①存在函数，其图象经过〔1，0〕点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④假设函数有最大值，那么最大值比为正数，假设函数有最小值，那么最小值比为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
考点：二次函数综合题
分析：①将〔1，0〕点代入函数，解出k的值即可作出判断；
②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；
③根据二次函数的增减性，即可作出判断；
④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的
纵坐标表达式，即可作出判断．
解答：解：①真，将〔1，0〕代入可得：2k﹣〔4k+1〕﹣k+1=0，
解得：k=0．
运用方程思想；
②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；
③假，如k=1，﹣=，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；
④真，当k=0时，函数无最大、最小值；
k≠0时，y最==﹣，
∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；
当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．
点评：此题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般．
规律探索
一、选择题
1. 〔2022•山东威海〕如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．假设点A1的坐标为
〕
A．0B．
﹣3×〔〕2022C．〔2〕2022D．
3×〔〕2022
考点：规律型：点的坐标专题：规律型．
分析：
根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2=OC2=3×；
OA3=OC3=3×〔〕2；OA4=OC4=3×〔〕3，于是可
得到OA2022=3×〔〕2022，由于而2022=4×503+2，那么可判
断点A2022在y轴的正半轴上，所以点A2022的纵坐标为3×〔〕
2022．
解答：解：∵∠A2OC2=30°，OA1=OC2=3，
∴OA2=OC2=3×；
∵OA2=OC3=3×，
∴OA3=OC3=3×〔〕2；
∵OA3=OC4=3×〔〕2，
∴OA4=OC4=3×〔〕3，
∴OA2022=3×〔〕2022，
而2022=4×503+2，
∴点A2022在y轴的正半轴上，
∴点A2022的纵坐标为3×〔〕2022．
应选D．
点评：此题考查了规律型：点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现
不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查
了含30度的直角三角形三边的关系．
ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位〞为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M的坐标变为( )
A．(—2022,2) B．〔一2022，一2〕 C. (—2022,—2) D. (—2022,2)
考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．
专题：规律型．
分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是〔2，2〕，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．
解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)
∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为〔2－1，－2〕，即〔1，－2〕，
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：〔2－2，2〕，即〔0，2〕，
第3次变换后的点M的对应点的坐标为〔2－3，－2〕，即〔－1，－2〕，
第2022次变换后的点M的对应点的为坐标为〔2－2022，2〕，即〔－2022，2〕
故答案为A．
点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为〔2－n，－2〕，当n为偶数时为〔2－n，2〕是解此题的关键．
3. 〔2022•山东烟台〕将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
…
假设2的位置记为〔1，4〕，2的位置记为〔2，3〕，那么这组数中最大的有理数的位置记为〔〕
A．〔5，2〕B．〔5，3〕C．〔6，2〕D．〔6，5〕考点：规律探索．
分析：根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案．
解答：3=，3得被开方数是得被开方数的30倍，
3在第六行的第五个，即〔6，5〕，应选：D．
点评：此题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解题关键．4.〔2022•十堰〕根据如图中箭头的指向规律，从2022到2022再到2022，箭头的方向是以以下图示中的〔〕
A．B．C．D．
考
点：
规律型：数字的变化类
分析：观察不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况解答即可．
解答：解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2022÷4=503…1，
∴2022是第504个循环组的第2个数，
∴从2022到2022再到2022，箭头的方向是．应选D．
点评：此题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
5．〔2022•四川宜宾〕如图，将n个边长都为2的正方形按如下图摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，那么这n个正方形重叠局部的面积之和是〔〕
A．n B．n﹣1 C．〔〕n﹣1D．n
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
专题：规律型．
分析：根据题意可得，阴影局部的面积是正方形的面积的，两个正方形
可得到一个阴影局部，那么n个这样的正方形重叠局部即为〔n
﹣1〕个阴影局部的和．
解答：解：由题意可得一个阴影局部面积等于正方形面积的，即是×4=1，
5个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为：1×4，
n个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为：1×〔n﹣1〕
=n﹣1．
应选：B．
点评：此题考查了正方形的性质，解决此题的关键是得到n个这样的正
方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和的计算方法，难点是求得一
个阴影局部的面积．
6．〔2022•四川内江〕如图，A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n．△A1B1P1、△A2B2P2、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n，那么S n为〔〕
A．B．C．D．
考
点：
一次函数图象上点的坐标特征．
专
题：
规律型．
分析：根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、B n、B n+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、S n，进而得出答案．
解答：解：∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1
作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，
∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，
那么B1〔1，2〕，
同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，
那么B2〔2，4〕，
B3〔2，6〕…
∵A1B1∥A2B2，
∴△A1B1P1∽△A2B2P1，
∴=，
∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2，
∴A1B1边上的高为：，
∴=××2==，
同理可得出：=，=，
∴S n=．
应选；D．
点评：此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．
二、填空题
1. 〔2022•上海〕一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b〞，例如这组数中的第三个数“3〞是由“2×2﹣1〞得到的，那么这组数中y 表示的数为﹣9．
考点：规律型：数字的变化类
分析：根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b〞，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．
解答：解：∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b
∴2×3﹣x=7
∴x=﹣1
那么7×2﹣y=23
解得y=﹣9．
故答案为：﹣9．
点评：此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．
2. 〔2022•四川巴中〕如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角〞．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角〞中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了〔a+b〕n〔n为非负整数〕的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，〔a+b〕2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，
〔a+b〕3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出〔a+b〕4的展开式，〔a+b〕4=．
考点：规律探索．
分析：由〔a+b〕=a+b，〔a+b〕2=a2+2ab+b2，〔a+b〕3=a3+3a2b+3ab2+b3可得〔a+b〕n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于〔a+b〕n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得〔a+b〕4的各项系数依次为1、4、6、4、1．
解答：〔a+b〕4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
点评：此题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
3.〔2022•遵义〕有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如下图的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，那么滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是3．
考点：专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．
分析：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．
解答：解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，∵2022÷4=503…2，
∴滚动第2022次后与第二次相同，
∴朝下的点数为3，
故答案为：3．
点评：此题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．
4.〔2022•娄底〕如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，那么第n〔n为正整数〕个图案由3n+1
个▲组成．
考点：规律型：图形的变化类．
分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．
解答：解：观察发现：
第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；
第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；
第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；
…
第n个图形有3〔n+1〕﹣3+1=3n+1个三角形；
故答案为：3n+1．
点评：考查了规律型：图形的变化类，此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的．
5. (2022年湖北咸宁)观察分析以下数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是﹣3〔结果需化简〕．
考点：算术平方根．
专题：规律型．
分析：通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：〔﹣1〕1+1×0，〔﹣1〕2+1，〔﹣1〕3+1…〔﹣1n+1〕，可以得到第16个的答案．
解答：解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，〔﹣1〕2+1，…〔﹣1n+1〕，
∴第16个答案为：．
故答案为：．
点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
6. 〔2022•江苏盐城〕如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为〔8，4〕，阴影三角形局部的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，那么S n的值为24n﹣5．〔用含n的代
考点：正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：规律型．
分析：根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影局部的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
解答：解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A〔8，4〕，
∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，
第二个正方形的边长为2，
第一个正方形的边长为1，
…，
第n个正方形的边长为2n﹣1，
由图可知，S1=×1×1+×〔1+2〕×2﹣×〔1+2〕×2=，
S2=×4×4+×〔2+4〕×4﹣×〔2+4〕×4=8，
…，
S n为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影局部，
第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，
S n=•22n﹣2•22n﹣2=24n﹣5．
故答案为：24n﹣5．
点评：此题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方
形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影S n所在的正方形和正方形的边长．
7. (2022•年山东东营)将自然数按以下规律排列：
表中数2在第二行第一列，与有序数对〔2，1〕对应，数5与〔1，3〕对应，数14与〔3，4〕对应，根据这一规律，数2022对应的有序数对为〔45，12〕．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：根据数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2022所在的位置．
解答：解：由可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，
第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；
∵45×45=2025，2022在第45行，向右依次减小，
∴2022所在的位置是第45行，第12列，其坐标为〔45，12〕．
故答案为：〔45，12〕．
点评：此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．
8．〔2022•四川遂宁〕：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．假设△ABC的周长为1，那么△A n B n C n的周长为
．
考点：三角形中位线定理．
专题：规律型．
分析：由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，△A2B2C2∽△ABC的相似比为，依此类推△A n B n C n∽△ABC的相似比为，
解答：解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，
∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，
∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
∴△A2B2C2∽△A1B1C1且相似比为，
∴△A2B2C2∽△ABC的相似比为
依此类推△A n B n C n∽△ABC的相似比为，
∵△ABC的周长为1，
∴△A n B n C n的周长为．
故答案为．
点评：此题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：
9．〔2022•四川内江〕如图，将假设干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2022个图形是□．
考点：规律型：图形的变化类．
分析：去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，依次不断循环出现，由此用〔2022﹣2〕÷6算出余数，余数是几，就与循环的第几个图形相同，由此解决问题．
解答：解：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，
〔2022﹣2〕÷6=335 (2)
所以第2022个图形是与循环的第二个图形相同是正方形．
故答案为：□．
点评：此题考查图形的变化规律，找出图形的循环规律，利用规律解决问题．
10．〔2022•四川南充〕一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，
那么a1+a2+a3+…+a2022=．
分析：分别求得a1、a2、a3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．
解：a1=﹣1，a2==，a3==2，a4==﹣1，…，
由此可以看出三个数字一循环，2004÷3=668，
那么a1+a2+a3+…+a2022=668×〔﹣1++2〕=1002．故答案为：1002．
点评：此题考查了找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键．
11．〔2022•甘肃白银〕观察以下各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜测13+23+33+…+103=．
考点：规律型：数字的变化类．
专题：压轴题；规律型．
分析：13=12
13+23=〔1+2〕2=32
13+23+33=〔1+2+3〕2=62
13+23+33+43=〔1+2+3+4〕2=102
13+23+33+…+103=〔1+2+3…+10〕2=552．
解答：解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=〔1+2+…+n〕2所以13+23+33+…+103=〔1+2+3…+10〕2=552．
点评：此题的规律为：从1开始，连续n个数的立方和=〔1+2+…+n〕2．
12．〔2022•甘肃兰州〕为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，那么
2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32022的值是．
考点：有理数的乘方
专题：整体思想．
分析：根据等式的性质，可得和的3倍，根据两式相减，可得和的2倍，根据等式的性质，可得答案．
解答：解：设M=1+3+32+33+…+32022 ①，
①式两边都乘以3，得
3M=3+32+33+…+32022 ②．
②﹣①得
2M=32022﹣1，
两边都除以2，得
M=，
故答案为：．
点评：此题考查了有理数的乘方，等式的性质是解题关键．
13．〔2022•广东梅州〕如图，弹性小球从点P〔0，3〕出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，那么点P3的坐标是；点P2022的坐标是．
考点：规律型：点的坐标．
分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
解答：解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点〔0，3〕，
当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：〔8，3〕；
∵2022÷6=335…4，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为〔5，0〕．
故答案为：〔8，3〕，〔5，0〕．
点评：此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．。