北京市高三数学 最新模拟试题分类汇编9 圆锥曲线 理

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编9：圆锥曲线
一、选择题
1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线2
4y x =焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若10AB =,
则AB 的中点到y 轴的距离等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】
D ．
2 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与抛物线2
2
y x =+有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A ．[3,)+∞
B ．(3,)+∞
C ．(1,3]
D ．(1,3)
【答案】
（ ） A ．
3 ．（2013届门头沟区一模理科）已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且
y x
的取值范
围为33
(,)44
-，则该双曲线方程是 A ．
221916x y -
=
B ．
2219
16
y x -
=
C ．22116
9
x y -= D ．
22116
9
y x -
=
【答案】C
4 ．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （ ）
A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
【答案】D
5 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的离心率为2，一个焦点
与抛物线x y 162
=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为
（ ）
A ．x y 2
3
±
= B ．x y 2
3±
= C ．x y 3
3±
= D ．x y 3±=
【答案】D
6 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l :y=k (x+1)与抛物线C:y 2
= 4x,k =±1是
直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件 （ ）
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
【答案】A
7 ．（2013届北京海滨一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点
(1,0)A -，则
||
||
PF PA 的最 小值是
（ ）
A ．12
B ．22
C ．32
D ．223
【答案】B
8 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线
24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,
则双曲线C 的离心率为 （ ）
A ．2
B ．12+
C ．13+
D ．23+
【答案】
B ．
9 ．（2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形ABCDEF 的边长是2,一条抛物线恰好经过该六
边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 （ ）
A ．
3
B ．
3 C ．3 D ．23
【答案】 B;
10．（2013届东城区一模理科）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的
两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222
x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线
1C 的离心率为
（ ）
A ．
52
B ．3
C ．2
D ．31+
【答案】D
11．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线2
2y px =(p >0)的焦点为F ,已知
点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线
MN ,垂足为N ,则
||
||
MN AB 的最大值为 （ ）
A ．
3
3
B ．1
C ．
23
3
D ．2
【答案】A 二、填空题
12．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离
之积等于常数()20k k >的点的轨迹.给出下列四个结论: ①曲线C 过点(1,1)-; ②曲线C 关于点(1,1)-对称;
③若点P 在曲线C 上,点,A B 分别在直线12,l l 上,则PA PB +不小于2.k
④设0P 为曲线C 上任意一点,则点0P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点分别为1P 、
2P 、3P ,则四边形0123P PP P 的面积为定值2
4k .
其中,所有正确结论的序号是__________________. 【答案】 ②③④
13．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1
(,0)2
F ,则抛物线C 的
方程为___,若点P 在抛物线
C 上运动,点Q 在直线50x y ++=上运动,则PQ 的最小值等于____.
【答案】 292
2,
4
y x = 14．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线方程为3y x =,
则b =_________. 【答案】3;
15．（2013届房山区一模理科数学）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦距为4，且过点(2,3)，则
它的渐近线方程为 . 【答案】3y x =±
16．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知双曲线()0,012222>>=-b a b
y a x 的离心率为36
2,
顶点与椭圆15
82
2=+y x 的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为__________,渐近线方程为_______________. 【答案】 ()
x y 3
15
,0,22±
=± 17．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）若双曲线C:22
21(0)3
x y a a -
=> 2,则抛物
线2
8y x =的焦点到C 的渐近线距离是______.
【答案】 2;
18．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线
x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足.如果直线AF 的倾斜角为
ο120,那么=PF _______.
【答案】答案4抛物线的焦点坐标为(1,0)F ,准线方程为1x =-.因为直线AF 的倾斜角为ο120,所以0
60AFO ∠=,又tan 601(1)
A
y =
--o
,所以23A y =.因为l PA ⊥,所以23P A y y ==,代入
x y 42=,得3A x =,所以3(1)4PF PA ==--=.
19．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点
00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．
【答案】12+； 三、解答题
20．（2013届北京丰台区一模理科）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2，2)，
直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>，由题意
22224
42
1
a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2
8a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. …………5分 （Ⅱ）假设存在斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3）， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 的中点为N(x 0,y 0),
由22
184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222
(12)4280k x mkx m +++-=, …………………6分
222222164(12)(28)648320m k k m k m ∆=-+-=-+>，所以22840k m -+>,…7分
122412mk
x x k +=-+,
∴12022212x x mk x k +==-+，002
12m
y kx m k
=+=+, ……………8分 Q 线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3）， ∴1NQ k k ⋅=-，即
00
3
1y k x -⋅=-，∴236m k -=+，…………10分 0∆>Q ，
整理得42
362850k k ++<，显然矛盾∴不存在满足题意的k 的值。

………13分
方程07262
2
=+-++y x y x 化为标准方程()()3132
2
=-++y x ,则圆M 的圆心()1,3-M ,半
径3=
r .由()()()
10,,1,02-=-a c c F A 得直线AF 的方程为0=+-c cy x .
由直线AF 与圆M 相切,得
3132
=++--c
c c ,
所以2=c 或2-=c (舍去). 当2=
c 时,3122=+=c a ,
故椭圆C 的方程为13
22
=+y x
(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为k , 则直线的方程为2
1-=kx y . 因为点⎪⎭
⎫
⎝⎛-
21,0在椭圆内, 所以对任意R ∈k ,直线都与椭圆C 交于不同的两点.
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=1
3
,2122y x kx y 得()04933122=--+kx x k .
设点Q P ,的坐标分别为()()2211,,,y x y x ,则
()
2
2122122113149
,313,21,21k
x x k k x x kx y kx y +-=+=+-=-
=, 所以()()2
12212y y x x PQ -+-=
()()[]
212
212
41x x x x
k -++=
()()
2
2
2314113k
k k +++=. 又因为点()1,0A 到直线21
-
=kx y 的距离1
232+=k d ,
所以APQ ∆的面积为()
22
31441921k
k d PQ S ++=⋅= 设2
311k
t +=
,则10≤<t 且31312
-=t k , ()3
4231493344
9
3134492
2+--=-=
-⋅=t t t t t S . 因为10≤<t ,
所以当1=t 时,APQ ∆的面积S 达到最大, 此时
1311
2
=+k
,即0=k . 故当APQ ∆的面积达到最大时,直线的方程为2
1-
=y 21．（2013北京东城高三二模数学理科）已知椭圆C :22
221x y a b
+=(0)a b >>的离心率32e =,原点到
过点(,0)A a ,(0,)B b -的直线的距离是5
5
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求22
11x y +的取值范围.
(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ,F ,且E ,F 都在以B 为圆心的圆上,
求k 的值.
【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为
3c a =,222
a b c -=,所以 2a b =. 因为原点到直线AB :
1x y a b -=的距离2245
5d a b
==
+,解得4a =,2b =. 故所求椭圆C 的方程为
2
21164
x y
+=. (Ⅱ)因为点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,
所以 01
01010121,2.
22
y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得 001435y x x -=,001345y x y +=. 所以2222
1100x y x y +=+.
因为点()00,P x y 在椭圆C :2
21164
x y +=上,所以2
2222
01100344x x y x y +=+=+.
因为044x -≤≤, 所以2211416x y ≤+≤.所以2211x y +的取值范围为[]4,16.
(Ⅲ)由题意221,
1164
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y ,整理得22
(14)8120k x kx ++-=.可知0∆>.
设22(,)E x y ,33(,)F x y ,EF 的中点是(,)M M M x y , 则2324214M x x k x k +-=
=+,2
1
114M M
y kx k =+=+. 所以21
M BM M y k x k
+=
=-. 所以20M M x ky k ++=. 即
22
4201414k k k k k -++=++. 又因为0k ≠,
所以2
1
8
k =
.
所以4k =±
22．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为22,且
过点A .直线
y m +交椭圆C 于B ,D (不与点A 重合)两点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 【答案】(Ⅰ)Θa c e ==22, 22211a b +=,2
22c b a +=∴2=a ,2=b ,2=c ∴22142
x y += (Ⅱ)设11(,)B x y ,22(,)D x y ,
由22
=+2142
y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪
⎩2220x m ⇒++-= ∴282m 0∆=-> 22m ⇒-<<
, 12,x x += ① 2122x x m =- ②
2212261(
)82m 22
BD x
x =+-=-Q , 设d 为点A 到直线BD:2
=+2y x m 的距离,∴26m d =
∴2212
(4)222
ABD S BD d m m ∆=
=-≤ 当且仅当2m =±(2,2)∈-时等号成立
∴当2m =±时,ABD ∆的面积最大,最大值为2
23．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭圆C:2
214
x y +=的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点,其中点M (m,1
2
) 满足0m ≠,且3m ≠±.
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率e; (Ⅱ)用m 表示点E,F 的坐标;
(Ⅲ)若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍,求m 的值.
【答案】解:(Ⅰ)依题意知2a =,3=c ,2
3=∴e ;
(Ⅱ)Θ)1,0(),1,0(-B A ,M (m,
1
2
),且0m ≠, ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-
,直线BM 斜率为k 2=m
23, ∴直线AM 的方程为y=121+-x m
,直线BM 的方程为y=123
-x m ,
由⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+,
121,142
2x m y y x 得()
22
140m x mx +-=,240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+,123,1422
x m y y x 得()
012922=-+mx x m ,2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; (Ⅲ)Θ1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=
∠,1
||||sin 2
BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =,∴5||||||
||
MA MB ME MF =,
∴
2
2
5,41219m m m m
m m m m =--++
Θ 0m ≠,∴整理方程得
22
115119
m m =-++,即22
(3)(1)0m m --=, 又Θ3m ≠±,∴230m -≠, 12
=∴m ,1m ∴=±为所求
24．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点
3(1,
)2,离心率为3
2
,点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,直线AE ,AF 与直线3x =分别交于点M ,N . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)求EM FN ⋅u u u u r u u u r
的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)设椭圆的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>,
依题意得2
22
22,3,1314a b c c a a b ⎧=+⎪⎪
⎪=⎨
⎪⎪+=⎪⎩解得24a =,21b =. 所以椭圆C 的方程为2
214
x y += (Ⅱ)显然点(2,0)A .
(1)当直线l 的斜率不存在时,不妨设点E 在x 轴上方,易得
33(1,E F ,33
(3,(3,22
M N -,所以1EM FN ⋅=u u u u r u u u r
(2)当直线l 的斜率存在时,由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-,显然0k =时,不符合题意.
由22
(1),440
y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844
,4141
k k x x x x k k -+==++.
直线AE ,AF 的方程分别为:12
12(2),(2)22
y y y x y x x x =
-=---, 令3x =,则1212(3,
),(3,)22
y y
M N x x --. 所以1111(3)(3,
)2y x EM x x -=--u u u u r ,2222(3)(3,)2y x FN x x -=--u u u
r 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--u u u u r u u u r
12
1212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+
--
2121212(1)(1)
(3)(3)(1)(2)(2)
x x x x k x x --=--+⋅
--
2121212121212()1
[3()9][1]2()4
x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅
-++
22
22222
22222244814484141(39)(1)4484141
244141
k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++
22
221653()(1)414k k k k +-=⋅++
22216511164164
k k k +==+++ 因为2
0k >,所以2
1644k +>,所以22165511644k k +<<+,即
5
(1,)4
EM FN ⋅∈u u u u r u u u r . 综上所述,EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是5
[1,)4
25．（2013届北京大兴区一模理科）已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为1
4
-，点P 的
轨迹为曲线C 。

(Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。

求证，A 、D 、N 三点共线。

【答案】解：（I ）设P 点坐标(,)x y ，则2AP y k x =
+（2x ≠-），2
BP y
k x =-（2x ≠）， 由已知1
224y y x x ⋅=-+-，化简得：2214x y +=.
所求曲线C 的方程为2
214
x y +=（2x ≠±）。

（II ）由已知直线AQ 的斜率存在， 且不等于0，设方程为(2)y k x =+，
由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩
，消去y 得：
2222(14)161640k x k x k +++-=⋅⋅⋅（1）.
因为2-，Q x 是方程（1）的两个根， 所以22164214Q k x k --⨯=+，得2
2
2814Q k x k
-=+， 又222
284(2)(2)1414Q Q k k
y k x k k k -=+=+=
++，所以222284(,)1414k k Q k k -++。

当4x =，得6M y k =，即(4,6)M k 。

又直线BQ 的斜率为14k -
，方程为1(2)4y x k =--，当4x =时，得12N y k =-，即1
(4,)2N k
-。

直线BM 的斜率为3k ，方程为3(2)y k x =-。

由2244
3(2)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，消去y 得： 2222(136)14414440k x k x k +-+-=⋅⋅⋅（2）.
因为2，D x 是方程（2）的两个根，所以 22
1444
2136D k x k -⋅=
+， 得22722136D k x k -=+，又2123(2)136D D
k
y k x k =-=-+，即22272212(,)136136k k D k k --++。

由上述计算：(2,0)A -，22272212(,)136136k k D k k --++，1
(4,)2N k
-。

A
B
G H 因为112AD k k =-
，112AN k k
=-，所以AD AN k k =。

所以A 、D 、N 三点共线。

26．（2013届北京海滨一模理科）已知圆M ：2
2
2
(2)x y r -+=（0r >）.若椭圆C ：22
221
x y a b
+=（0a b >>）的右顶点为圆M 的圆心，离心率为2
.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H
两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.
【答案】解：（I ）设椭圆的焦距为2c ， 因为2a =
，
2
c a =
，所以1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2
212
x y +=………………4分
（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )
由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22
220y kx x y =⎧⎨+-=⎩
所以22
(12)20k x +-= ，则120x x +=，122
2
12x x k
=-
+………………6分 所以22
22
88(1)
(1)1212k AB k k k
+=+=++7分 点M 2，0）到直线l 的距离2
21k d k
=
+
则2
2
2
221k GH r k
=-+………………9分
显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，
所以要使AG BH =，只要AB GH =
所以222
22
8(1)24()121k k r k k +=-++
22424
2
224242
22(1)2(331)2(1)112231231
k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分 当0k =
时，r =12分
当0k ≠时，24211
2(1)2(1)3
1322r k k =+
<+=++ 又显然242
1
2(1)2
132r k k =+>++,
<
r ≤<14分。